高观点地理解和认识小学数学内容.doc

高观点地理解和认识小学数学内容王凯成（陕西省小学教师培训中心 710600）小学数学教师要高观点地理解和认识小学数学内容。所谓高观点就是指站在更高更广的知识体系中去理解和认识低浅的知识思想方法。观点越高，事物越显简单，教学越有深度和广度。小学数学教师只有高观点地理解和认识小学数学内容，这样才能居高临下、瞻前顾后地、在学生现有知识水平上高效率的进行教学。本文通过几个案例来谈谈小学数学教师如何高观点地理解和认识小学数学内容。案例1 想一想：下一个数是多少？你是怎样想的？ 1，4，7，10，_。这是人教版新课标教材小学数学一年级下册第91页的内容。一般以为1、4、7、10后面只能填13，这种认识是不正确的。 或者设1、4、7、10后面的数为a，则数列1，4，7，10，a的一个通项公式为：以上解法表明：从高观点来看，1、4、7、10后面填谁都对，只要你能说出规律。如果认为1、4、7、10、的规律是，则第5项是13；如果认为1、4、7、10、的规律是，则第5项是37。所以，这类问题应该让学生充分说话，说出自己的想法。案例2 “鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？这是人教版新课标教材六年级上册第112页的内容。从方程的角度来看，对于“鸡兔同笼”问题解二元一次方程组就能解决。其他解法是方程解法的一种注解，只是为了在学生现有知识水平上便于学生理解（因为过去的教材学生这时还没有学习解方程）而已。当然其他解法对培养学生的思维能力有独到之处，不可忽视。解法1“染色法”方程组解法如果把每只鸡的2只脚和每只兔的2只后脚都染成鲜艳的红色，则还剩94 - 352=24（只）脚没有染色。此时只有每只兔还有4 - 2=2（只）脚没有染色，故知兔有242=12（只），鸡有35 - 12=23（只）。注：这里的“染色法”相当于“假定法”中假定35只全部是鸡的解法。 设有x只鸡、y只兔，则有解法2古人的方法（人教版新课标教材六年级上册第114页的阅读资料）方程组解法（1） 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有942=47只脚。（2） 这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3） 这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。设有x只鸡、y只兔，则有案例3 三（1）班参加语文、数学课外小组学生名单语文杨明李芳刘红陈东王爱华张伟丁旭赵军数学杨明李芳刘红王志明于丽周晓陶伟卢强朱小东参加语文小组的有8人，参加数学小组的有9人，参加这两个课外小组的一共有多少人？这两个小组没有17人呀？用图表示就清楚了。有3个重复的。8+9 3 = 14这是人教版新课标教材三年级下册第108页的内容。8+9 3 = 14反映了两个有限集合元素个数之间的关系。设A、B是两个有限集合，用g(A)、g(B)、g(AB)、g(AB) 分别表示集合A、B、AB、AB元素的个数，则有：g(AB)+g(AB)= g(A)+g(B)g(AB)= g(A)+g(B) - g(AB)g(AB)= g(A)+g(B) - g(AB)这就是包含与排除即容斥原理。它是非常有用的。解答人教版新课标教材五年级下册第137页第7*题就需要用容斥原理。7* 五（1）班有25人，许多同学参加了课外小组参加音乐组的有12人，参加美术组的有10人，两个组都没参加的有6人。既参加音乐组又参加美术组的有多少人？参加音乐组或者美术组的共有25 6 = 19人，既参加音乐组又参加美术组的有12 + 10 19 = 3人。案例4 下面是人民教育出版社新课标教材小学数学六年级下册第118、119页的内容。调查一下与邮政相关的费用。业务种类计费单位资费标准 / 元本埠（bu）资费外埠资费信函首重100g内，每重20g（不足20g按20g计算） 0.80 1.20首重1012000g内，每重100g（不足100g按100g计算） 1.20 2.00 （表1）根据表1的计费办法，请填出下表。资费 / 元120g2140g4160g6180g81100g本埠外埠 （表2）从高观点来看这个问题，实质上是一个分段函数问题。所以有：资费 / 元120g2140g4160g6180g81100g本埠 0.8 1.6 2.4 3.2 4外埠 1.2 2.4 3.6 4.8 6 （表3）案例5 （1）分母是8的最简真分数有哪几个？它们的和是多少？（2）再任选几个整数，分别写出用这几个数作分母的所有最简真分数，并求出每组真分数的和。（3）你发现了什么规律？这是江苏教育出版社出版的课改新教材小学数学五年级下册第119页第27题。这里的第（1）、（2）小题相对容易，难在了第（3）小题：你发现了什么规律？也就是说：分母是n(n1,nN)的所有最简真分数之和有什么规律？我们来探讨其一般规律。解：（1）分母是n的所有最简真分数的和= 分母是n的最简真分数的个数2。如果an，a、n都是正整数且n与a互质，由整数的性质知n与n a也互质，这样与都是最简真分数，即分母是n的最简真分数成对出现（注：当=时，把与仍然看作一对）且每对和为1，就是。所以分母是n的所有最简真分数的和= 分母是n的最简真分数的个数2。（2）当分母n仅有k个质因数、时，分母是n的最简真分数的个数=。在1 n中的倍数占总数的，所以在1 n中不是的倍数的数占总数的。故知在1 n中不是的倍数的数有n个。在上述这n个数中，不是的倍数的数占这个数的。故知在1 n中既不是的倍数也不是的倍数的数共有个。在上述这个数中，不是的倍数的数占这个数的。故知在1 n中既不是的倍数也不是的倍数、也不是的倍数、也不是的倍数的数共有个。所以由（1）、（2）两点可知：当分母n仅有k个质因数、时，分母是n的所有最简真分数的和为：F（n）= 2。以上仅从五个案例说明小学数学教师要高观点地理解和认识小学数学内容。实际上，小学新课标教材渗透了很多现代数学内容，如排列与组合的简单内容等，大家都应该从高观点来理解和认识。教师从高观点