2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（理）试题（PDF版含答案）

页 1 第 数学理科数学理科 卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 02 Axx 11 Bxx 则AB U 答案 12 xx 2 已知复数z满足 2 4z 且z的虚部小于 0 则z 答案 2i 3 若一组数据7 6 8 8x的平均数为 7 则该组数据的方差是 答案 4 5 4 执行如图所示的伪代码 则输出的结果为 答案 20 5 函数 2 log2f xx 的定义域为 答案 4 6 某学校高三年级有 A B两个自习教室 甲 乙 丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自 习 则甲 乙两人不在同一教室上自习的概率为 答案 1 2 7 若关于x的不等式 2 30 xmx 的解集是 1 3 则实数m的值为 答案 4 8 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 2 2 1 3 x y 的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx 上 则实数p的值为 9 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 29 8aa 5 5S 则 15 S的值为 答案 135 10 已知函数3sin2yx 的图象与函数cos2yx 的图象相邻的三个交点分别是 A B C 则ABC 的面积为 答案 3 2 11 在平面直角坐标系xOy中 已知圆 22 48120M xyxy 圆N与圆M外切与点 0 m 页 2 第 且过点 0 2 则圆N的标准方程为 答案 22 2 8xy 12 已知函数 f x是定义在R上的奇函数 其图象关于直线1x 对称 当 0 1 x 时 ax f xe 其中e是自然对数的底数 若 2020ln2 8f 则实数a的值为 答案 3 13 如图 在ABC 中 D E是BC上的两个三等分点 2AB ADAC AE uuu r uuu ruuu r uuu r 则cos ADE 的最小 值为 答案 4 7 14 设函数 3 f xxaxb 1 1 x 其中 a bR 若 f xM 恒成立 则当M取得最小值时 ab 的值为 答案 3 4 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在分 请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答 解答时应写出文字说明 证明解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 APAB M N分别为棱 PB PC的中点 平面PAB 平面PBC 1 求证 BC 平面AMN 2 求证 平面AMN 平面PBC 页 3 第 解 1 在PBC 中 因为 M N 分别为棱 PB PC 的中点 所以 MN BC 3 分 又 MN 平面 AMN BC 平面 AMN 所以 BC 平面 AMN 6 分 2 在PAB 中 因为APAB M 为棱 PB 的中点 所以AMPB 8 分 又因为平面 PAB 平面 PBC 平面 PABI平面 PBCPB AM 平面 PAB 所以AM 平面 PBC 12 分 又AM 平面 AMN 所以平面 AMN 平面 PBC 14 分 16 本小题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 且 5 cos 5 A 1 若5a 2 5c 求b的值 2 若 4 B 求tan2C的值 解 1 在ABC 中 由余弦定理 222 2cosbcbcAa 得 2 5 202 2 525 5 bb 即 2 450bb 4 分 解得5b 或1b 舍 所以5b 6 分 2 由 5 cos 5 A 及0A 得 22 52 5 sin1 cos1 55 AA 8 分 所以 210 coscos cos cossin 4210 CABAAA 又因为0C 所以 22 103 10 sin1cos1 1010 CC 从而 3 10 sin10 tan3 cos 10 10 C C C 12 分 所以 22 2tan2 33 tan2 1tan1 34 C C C 14 分 17 本小题满分 14 分 如图 在圆锥SO中 底面半径R为 3 母线长l为 5 用一个平行于底面的平面区截圆锥 截 面圆的圆心为 1 O 半径为r 现要以截面为底面 圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆 锥 1 OO 记圆锥 1 OO的体积为V 1 将V表示成r的函数 2 求V得最大值 页 4 第 解 1 在SAO 中 2222 534SOSAAO 2 分 由 1 SNO SAO 可知 1 SOr SOR 所以 1 4 3 SOr 4 分 所以 1 4 4 3 OOr 所以 223 144 4 3 03 339 V rrrrrr 7 分 2 由 1 得 23 4 3 03 9 V rrrr 所以 2 4 63 9 V rrr 令 0V r 得2r 9 分 当 0 2 r 时 0V r 所以 V r在 0 2 上单调递增 当 2 3 r 时 0V r 所以 V r在 2 3 上单调递减 所以当2r 时 V r取得最大值 16 2 9 V 答 小圆锥的体积V的最大值为16 9 14 分 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的右顶点为A 过点A作直线l与圆 222 O xyb 相切 与椭圆C交于另一点P 与右准线交于点Q 设直线l的斜率为k 1 用k表示椭圆C的离心率 2 若0OP OQ uuu r uuu r 求椭圆C的离心率 页 5 第 1 直线 l 的方程为 axky 即0 akykx 因为直线 l 与圆 222 byxO 相切 所以b k ak 1 2 故 22 2 2 ba b k 所以椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak 4 分 2 设椭圆C的焦距为2c 则右准线方程为 2 a x c 由 c a x axky 2 得 c aca ka c a ky 22 所以 22 c acak c a Q 6 分 由 1 2 2 2 2 axky b y a x 得02 2224232222 bakaxkaxkab 解得 222 223 kab abka xp 则 222 2 222 223 2 kab kab a kab abka kyp 所以 2 222 2 222 223 kab kab kab abka P 10 分 因为0 OQOP 所以0 2 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a 即 2 22222 cakbbkaa 12 分 由 1 知 22 2 2 ba b k 所以 22 4 2 22 22 2 ba cab b ba ba a 所以caa22 即ca2 所以 2 1 a c 故椭圆C的离心率为 2 1 16 分 19 本小题满分 16 分 已知函数 1 lnf xax x aR 1 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为10 xy 求a的值 2 若 f x的导函数 fx存在两个不相等的零点 求实数a的取值范围 3 当2a 时 是否存在整数 使得关于x的不等式 f x 恒成立 若存在 求出 的最大值 若不存在 说明理由 解 1 2 11 1 lnfxxa x x x 页 6 第 因为曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为10 xy 所以 1 11fa 得0a 2 分 2 因为 2 1ln axx fx x 存在两个不相等的零点 所以 1 lng xaxx 存在两个不相等的零点 则 1 g xa x 当0a 时 0g x 所以 g x单调递增 至多有一个零点 4 分 当0a 时 因为当 1 0 x a 时 0g x g x单调递增 当 1 x a 时 0g x g x单调递减 所以 1 x a 时 max 11 ln 2g xg aa 6 分 因为 g x存在两个零点 所以 1 ln 20 a 解得 2 e0a 7 分 因为 2 e0a 所以 21 e1 a 因为 1 10ga 所以 g x在 1 0 a 上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a 所以 211 aa 因为 22111 ln 1g aaa 设 1 t a 则 2 2ln1 e yttt 因为 2 0 t y t 所以 2 2ln1 e yttt 单调递减 所以 222 2ln ee13e0y 所以 22111 ln 10g aaa 所以 g x在 1 a 上存在一个零点 综上可知 实数a的取值范围为 2 e 0 10 分 3 当2a 时 1 2 lnf xx x 22 11 121ln ln2 xx fxx x x xx 设 21 lng xxx 则 1 20g x x 所以 g x单调递增 且 11 ln0 22 g 1 10g 所以存在 0 1 1 2 x 使得 0 0g x 12 分 因为当 0 0 xx 时 0g x 即 0fx 所以 f x单调递减 当 0 xx 时 0g x 即 0fx 所以 f x单调递增 所以 0 xx 时 f x取得极小值 也是最小值 此时 0000 000 111 2 ln 2 12 4 4f xxxx xxx 14 分 因为 0 1 1 2 x 所以 0 1 0 f x 因为 f x 且 为整数 所以1 即 的最大值为1 16 分 20 本小题满分 16 分 已知数列 n a的首项 1 3a 对任意的 nN 都有 1 1 nn aka 0 k 数列 1 n a 是公比不为 1 的等比数列 1 求实数k的值 2 设 4 1 n n n n b an 为奇数 为偶数 数列 n b的前n项和为 n S 求所有正整数m的值 使得 2 21 m m S S 恰好 页 7 第 为数列 n b中的项 解 1 由 1 1 nn aka 1 3a 可知 2 31ak 2 3 31akk 因为 1 n a 为等比数列 所以 2 213 1 1 1 aaa 即 22 32 2 32 kkk 即 2 31080kk 解得2k 或 4 3 k 2 分 当 4 3 k 时 1 4 3 3 3 nn aa 所以3 n a 则12 n a 所以数列 1 n a 的公比为 1 不符合题意 当2k 时 1 12 1 nn aa 所以数列 1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a 所以实数k的值为2 4 分 2 由 1 知12n n a 所以 4 n n nn b n 为奇数 为偶数 则 2 2 4 1 4 43 4 4 21 4m m Sm L 2 4 1 43 4 21 444mm LL 1 44 4 3 m mm 6 分 则 2122 44 4 3 m mmm SSbmm 因为 22 1 324m mm bbm 又 222 322 1 3 420 m mmmm bbbb 且 23 50bb 1 30b 所以 21 0 m S 则 2 0 m S 设 2 21 0 m t m S bt S N 8 分 则1 3t 或t为偶数 因为 3 1b 不可能 所以1t 或t为偶数 当 2 1 21 m m S b S 时 1 44 4 3 3 44 4 3 m m mm mm 化简得 2 624844 m mm 即 2 42mm 0 所以m可取值为 1 2 3 验证 624 135 787 3 323 SSS SSS 得 当2m 时 4 1 3 S b S 成立 12 分 当t为偶数时 1 2 2 21 44 4 33 1 443124 4 1 3 4 m m m m m mm S S mm mm 设 2 3124 4 m m mm c 则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc 由 知3m 当4m 时 54 5 3 0 4 cc 当4m 时 1 0 mm cc 所以 456 ccc L 所以 m c的最小值为 5 19 1024 c 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S 令 2 2 21 4 m m S b S 则 2 3 14 3124 1 4m mm 即 2 31240mm 无整数解 综上 正整数 m 的值2 16 分 页 8 第 数学 附加题 21 选做题 选做题 本题本题包含包含 A B C 小题小题 请选定其中两题 并在答题卡相应的答题区域内作答 请选定其中两题 并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做 则若多做 则 按作答的前两题评分 按作答的前两题评分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 2 M t 3 1 的一个特征值为 4 求矩阵M的逆矩阵 1 M 解 矩阵M的特征多项式为 23 2 1 3 1 ft t 2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4 所以 4 630ft 所以2t 5 分 所以 23 21 M 所以 1 1313 2 13 22 13 244 2211 2 13 22 13 222 M 10 分 B 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中 以坐标原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的 极坐标方程为 cossin 12 曲线C的参数方程为 2 3cos 2sin x y 为参数 R 在曲 线C上点M 使点M到l的距离最小 并求出最小值 解 由 cossin120l 及cosx siny 所以l的直角坐标方程为120 xy 2 分 在曲线C上取点 2 3cos2sinM 则点M到l的距离 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d 6 分 当 6 时 d取最小值4 2 8 分 此时点M的坐标为 3 1 10 分 C 选修选修 4 5 不等式选讲不等式选讲 本小题满分 10 分 已知正数 x y z满足1xyz 求 111 222xyyzzx 的最小值 解 因为xyz 都为正数 且1xyz 所以由柯西不等式得 111 3 222xyyzzx 111 2 2 2 222 xyyzzx xyyzzx 5 分 2111 222 9 222 xyyzzx xyyzzx 当且仅当 1 3 xyz 时等号成立 页 9 第 第 22 题 B A C x y z B1 A1 C1 所以 111 222xyyzzx 的最小值为 3 10 分 第第 22 题题 第 第 23 题题 每题 每题 10 分 共计分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 分 请在答题卡指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 AAB B为正方形 侧面 11 BBC C为菱形 11 60BBC o 平 面 11 AAB B 平面 11 BBC C 1 求直线 1 AC 与平面 11 AAB B所成角的正弦值 2 求二面角 1 BACC 的余弦值 解 1 因为四边形 11 AAB B为正方形 所以 1 ABBB 因为平面 11 AAB B 平面 11 BBC C 平面 11 AAB BI平面 111 BBC CBB AB 平面 11 AAB B 所以AB 平面 11 BBC C 2 分 以点B为坐标原点 分别以BA 1 BB所在的直线 为x y轴 建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz 不妨设正方形 11 AAB B的边长为 2 则 2 0 0A 1 0 2 0B 在菱形 11 BBC C中 因为 11 60BBC 所以 1 0 1 3 C 所以 1 2 1 3 AC uuuu r 因为平面 11 AAB B的法向量为 0 0 1 n 设直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角为 则 1 3 6 sin cos 4 2 2 1 AC uuuu r n 即直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值为 6 4 6 分 2 由 1 可知 0 1 3C 所以 1 0 2 0CC uuuu r 设平面 1 ACC的一个法向量为 1111 xyz n 因为 11 11 0 0 AC CC uuuu r uuuu r n n 即 111 111