期权定价理论[002].ppt

第八讲期权定价理论 1 模型如同汽车 你可以拥有世界上最好的汽车 但是如果你没有拥有合适的驾驶技能 纵然是最好的汽车也无法保护你免于车祸 MamdouhBarakatRisk 1997 2 期权定价的两种基本思路 一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价格变动作出假定 进而估计期权到期时的预期价格 利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克 斯科尔斯模型 另一种定价方法是在出售期权时 设计一种无风险保值方案 然后根据基础金融资产市场价格的变化 对这种保值方案不断进行调整 直至期权到期 这种期权定价方法就是所谓的 双向式模型 3 第一节套利与跌 涨平价 一 期权定价简史1 早期1877年 CharlesCastelli TheTheoryofOptionsinStocksandShares 1900年 LouisBachelier TheoriedelaSpeculation 2 中期1955年 PaulSamuelson BrownianMotionintheStockMarket 4 1955年 RichardKruizega PutandCallOption ATheoreticalandMarketAnalysis 1962年 A JamesBoness ATheoryandMeasurementofStockOptionValue 3 当代1973年 FisherBlack MyronScholes B SOptionPricingModel 5 WesentthefirstdraftofourpapertotheJournalofPoliticalEconomyandpromptlygotbackarejectionletter WethensentittotheReviewofEconomicsandStatisticswhereitalsowasrejected MertonMillerandEugeneFamaattheUniversityofChicagothentookaninterestinthepaperandgaveusextensivecommentsonit TheysuggestedtotheJPEthatperhapsthepaperwasworthmoreseriousconsideration TheJournalthenacceptedthepaper 6 二 期权定价思路假定 某种金融资产的现行市场价格 S 100一年期无风险市场利率 Rf 10 p a 如果该资产在一年期内没有其它任何收入 一年后的本利为110 该金融资产一年后的实际市场价格虽然无法预知 但我们可以将其变动范围及概率描述如下 或规定 7 预期一年后的市场价格概率 901010020110401202013010我们可以利用上述资料为下述看涨期权定价 8 协定价格K 110 期限T 1年 无风险利率Rf 10 p a 预期价格概率 call价值按概率调整 一年后 后的call价值9010001002000110400012020102130102024 9 一年后期权到期时的预期价值为4 将其按一年期利率贴现成现值 所以该看涨期权的现在价值为3 64 这一期权的定价思路 与所有期权的高级定价模型一样 含有以下变量 期权到期时基础资产的可能价格或价值 可能价格或价值的概率无风险利率 将期权预期值贴现 10 二 跌 涨平价定理 put callparity 1 套利 arbitrage 通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异 或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异 同时进行一系列组合交易 获取无风险利润的行为 2 跌 涨平价定理 put callparity 推导 11 将以下几笔交易组合起来 构成某种综合金融结构 某投资者借入一笔资金用这笔资金购买股票出售一份以该股票作为基础资产的看涨期权买入一份以该股票作为基础资产的看跌期权 12 期权的定价应使上述组合交易所产生的现金流量净值为零 即下式成立 式中各符号的含义分别为 C 看涨期权费P 看跌期权费S 股票价值 一份合约含100股 r 无风险利率 13 对上述方程进行整理后得到 即看涨期权费应该超过看跌期权费 看涨期权和看跌期权的相对价格之差约等于无风险利率 14 跌 涨平价套利表期权到期时的股价transactioncashflowS1 KS1 KSellcall C0K S1Buystock S0S1S1Buyput PK S10borrowing K K总计00 15 跌 涨平价定理告诉我们 当期权为平价期权时 不考虑股息红利的支付 看涨期权的相对价格 C S 应该大于看跌期权的相对价格 P S 其差额约等于无风险利率 跌 涨平价关系 16 第二节B S期权定价模型 B S模型 17 式中 C 看涨期权费 理论值 S 现行股价K 期权协定价t 期权至到期的时间r 无风险利率e 指数函数 2 71828 股票收益的标准偏差N 累积正态分布ln 自然对数 18 有关B S模型的假设条件1 不支付股息和红利2 期权为欧式期权3 不存在无风险套利机会4 不考虑交易成本5 利率为常数或已知6 收益呈对数正态分布 19 波动率 volatility 的计算1 正向计算法 forwards 历史波动率正向法举例 ln Pn Pn 1 N 0 0246 10 0 002460 004290 N 1 0 004290 9 0 000476 0 021817 20 历史波动率的计算时期价格相对价格相对价格的对数离差的平方2nPnPn Pn 1ln Pn Pn 1 ln Pn Pn 1 0100 001101 501 01500 01490 000154298 000 9655 0 03510 001410396 750 9872 0 01280 0002344100 501 03880 03800 0012645101 001 00500 00500 0000066103 251 02230 02200 0003827105 001 01690 01680 0002058102 750 9786 0 02170 0005829103 001 00240 00240 00000010102 500 9951 0 00490 000053总计0 02460 004290 21 期权费的决定因素1 市场因素2 会计因素五 应用B S模型需要注意的问题 22 2020 3 19 23 2 逆向计算法 backwards 隐含波动率隐含波动率是指根据期权的报价 反推出隐含于期权价格中的金融资产价格波动率 其计算思路如下 将现行市场已知的五大数据 基础金融资产的市场价格 期权执行价格 无风险利率 期权有效期 期权价格汇集 选定初始的波动率数值 任意 代入B S模型计算 若所得结果不等于原先的期权价格 则调整初始波动率 反复测试直至相等为止 24 可见 传统的计算方法是一个不断试错的过程 整个程序可能异常复杂 利用计算机可以大大减轻计算工作量 举例 假定某家公司在美国华尔街上市 现行市场相关数据归集如下 股价 S 125 93期权执行价格 X 125无风险利率 r 4 46 期权有效期 T 0 0959 时间分数 25 现在金融市场上对该公司股票看涨期权的期权价格定为 C 13 50我们需要反推出隐含在该价格中的波动率是多少 若选择初始波动率 0 5 代入B S模型求出的期权价格为 C 8 48价格过低 可以继续测试 将 0 6入 求得结果为10 02 直至结束 26 计算隐含波动率的一种便捷方法 在计算隐含波动率的过程中 需要经历一个烦琐的试错过程 为了避免过于冗繁的计算过程 ManasterandKoehler 1984 利用牛顿 拉夫森检索程序 Newton Raphson 提出了一种便捷计算方法 思路 与上述介绍过的试错过程类似 但在计算技术上加以改进 从而简化了计算步骤 27 首先设定任意一个波动率值 譬如 然后将其代入下式中进行试算 如果计算出来的价格与期权价格不吻合 就设定另一数值 代入下式中 再进行试算 28 如果计算出来的价格与期权价格不吻合 就设定另一数值 代入下式中 再进行试算 其中 是利用第一个试算数据 按B S模型计算出来的累积分布值 如果结果依然不同于期权标价 则将新设定的波动率数据代入上式中继续试算 直至吻合为止 29 举例 同前例 见上例 假定某家公司在美国华尔街上市 现行市场相关数据归集如下 股价 S 125 93期权执行价格 X 125无风险利率 r 4 46 期权有效期 T 0 0959 时间分数 期权价格 C 13 50 30 将上述数据代入 1 式 试算出来的数值如下 31 当波动率为0 4950时 运用B S模型得出的期权价格为8 41 于是 继续进行下一步试算 32 上式中的0 1533是利用0 4950从B S模型中求得的累积分布值d1 将求出的新的波动率数据代入B S模型计算 求出的期权价格为 13 49可见 只经过二步计算 期权价格与期权市场价格已经足够接近 由此判断 隐含波动率约为0 83左右 33 第三节双向式期权定价模型 BinomialOption sPricingModel 1 模型的假定 以股票为例 某种股票的现行市场价为每股S0 一段时间后 股票的价格可能出现两种变化 股价上涨 Su 股价下降 Sd 设定未来的价格变化只有以上这两种可能 34 在看涨期权到期时 期权的价值有可能增加或减少 Cu 股价上涨 Cd 股价下跌 如果期权的协定价格设为K 则有Su KCu Max 0Sd KCd Max 0 35 定价原理股票价格期权价值Su 120Cu 20100CSd 80Cd 0 36 如何来求解期权到期前的价值C 我们可以通过构造一份无风险资产组合的方法来确定C的值 以无风险利率r 借入数额为L的资金 用于购买N股股票 这份资产组合的价值就可以表达为 V0 NS0 L股票期权到期时 资产组合的价值就有两种可能 若股价上涨 Vu NSu L 1 r 若股价下跌 Vd NSd L 1 r 37 令其价值恰好等于看涨期权的价值 若等 则调整L及N 有 Cu NSu L 1 r Cd NSd L 1 r 求得均衡的N和L值 代入上式V0 NS0 L求得的V0就是期权的初始价值C 所以C NS0 L这就是双项期权定价公式 38 案例讨论 背景 张三在一家期权交易所交易A公司股票期权 A公司股票的现行市场价格为70元 市场上A公司股票看跌期权 9月份 距到期还有60天 的信息如下 执行价格为70元的看跌期权价格为4 50元 张三正在考虑是否要买入这类看跌期权 同时要确保年收益率达到10 39 1 如果其他交易成本很小 可以忽略不计 请为张三设计一套无风险套利交易方案 2 如果A公司股票的价格上升到70 50元 9月份到期 执行价格为70元的看跌期权价格为4 30元 你将如何调整你的设计方案 40 案例研究 提示 套利交易包含 买入股票 买入看跌期权 出售看涨期权 如果要获得10 的年回报率 交易之初的投资量应该是68 85元 盈利会是1 15 70 68 85 因为 如果股价高于70 空头看涨期权会被执行 如果股价低于70 多头看跌期权会被执行 无论出现哪一种情况 股票都将被出售 并同时获得70元现金 于是问题就成为 如果在60天内要得到每股70元的收益 今天应该投资多少才能得到10 的年收益率 60天里68 85元获得1 15元 其年收益率就是10 41 案例讨论继续 若执行价格为70的看跌期权价格为 4 50元 则构造套利组合时出售执行价格为70的看涨期权时 其价格就必须大于或等于5