菱形、正方形综合.doc

.菱形一、基础知识梳理1. 菱形的判定定理： 四条边都相等的四边形是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。2. 菱形的性质定理： 菱形四条边都相等。 菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。3. 菱形的对称性： 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。4. 菱形的面积： 平行四边形面积法则适用于求平行面积。两条对角线的乘积的一半。二、典型例题2.1典型例题-菱形的基本性质例1、 已知：如图所示，在菱形ABCD中，且AE=OD，求的度数。解：四边形ABCD是菱形 _。 在 四边形ABCD是菱形 推广1、在菱形ABCD中，已知ADC=120，AC=cm。求BD的长；求菱形ABCD的面积。A DCBO例2、在菱形ABCD中，AEBC于点E；AFCD于点F；且E，F分别是BC，CD的中点，求EAF。 ABCDEF推广1、在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DE，则CDF等于？FABCDE2.2典型例题-菱形的判定EECDFA例1、ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，E为AD延长线上一点，CFBE交AD于F，连接BF、CE，求证：平行四边形BECF是菱形。 推广1、平行四边形ABCD，AC为对角线，EF垂直平分AC交AD与E点，交BC于F点；证明：四边形AFCE是菱形.BAFDECO正方形一、基本知识梳理1.1、 正方形的性质： （1）正方形四个角都是直角，四条边都相等。 （2）正方形两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。 （3）正方形的边长与对角线长的比为1.2、 正方形的对称性： 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。1.3、正方形的判定定理： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）对角线相等的菱形是正方形。 （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出发直接证其是正方形。二、典型例题例1、 如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且，求证：EF=BE+DF。 证明：将ADF旋转至ABG，则 例2. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。 （1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。 （2）PE是否总过某一定点，并说明理由。 （3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？分析：（1）易证四边形PQEF是正方形 （2）小题是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即，四边形APCE是平行四边形，易知PE与AC平分于O点。 （3）小题中显然当P、Q、E、F分别运动至正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小情形时可根据，而PE最小时为，此时。 解：（1）证明：在正方形中， 易证：_。 四边形PQEF为正方形。（2）连结AC交PE于O， 四边形APCE为平行四边形 又O为对角线AC的中点 对角线PE总过AC的中点（3）当P运动到B重合时，四边形PQEF的面积最大，等于原正方形面积。 当时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半。例3、（1）已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，交的平分线于N（如图所示）。MD与MN的大小关系怎样？（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变（如图所示），MD与MN的大小关系发生了变化吗？思考：观察图形知MD和MN分居在两个不同的三角形中，其中ADM为直角三角形，不可能证明它们全等，于是设法根据已知条件构造与BMN全等的三角形。猜想：在（1）中MD与MN的大小关系是MD=MN，考查（2）和（1）的联系，类比得到MD=MN。发现：（1）在如图所示中取AD中点H，连结MH M为AB中点，AB=AD （2）在AD上取AH=AM，连MH，则易得DH=BM，类比（1）可证得DHMNBM， 结论：无论M点在AB上的位置怎样，结论DM=MN总成立。课后练习1 已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH为矩形分析 证明四边形EFGH为矩形有几个方法而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形由于OEAB，OHAD，所以立即看出OE=OH这样EFGH明显是矩形了证明 如图4-44所示，由于OA平分A，并且OEAB，OHAD，由角平分线的性质知道OE=OH同理，OE=OF，OF=OG，OG=OH所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形2 已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED =DA，并且CED= 2AEB求证：四边形ABCD为菱形分析 在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了在ABCD中，已知AD=BC，因此只要证明了ADBC问题就解决了由于CED=2AEB，从而在AEB内部作射线EF，使AEF=AED，同时也就有BEF=BEC而由于ED=DA，所以EAD=AED，从而AEF=EAD，这就有ADEF至此，问题已经解决了证明 如图4-45所示，由于CED=2AEB，所以AEB=AEDBEC因此可在AEB内部作射线EF，使AEF=AED，BEF=BEC而由于ED= DA，所以AED=EAD从而AEF=EAD这样ADEF同理BCEF，从而ADBC既然ADBC，又已知AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形而AB=BC，所以ABCD为菱形 3 已知：如图4-55所示，E是正方形ABCD内一点，且EAB=EBA=15求证：CDE为等边三角形分析一 在CDE中，显然CE=DE，所以只要证明了CD=DE问题就解决了但直接证明CD=DE有困难，因此可改证DA=DEDA，DE是DAE的两条边，因此可证明DEA=DAE而证明这两个角相等也有困难，所以考虑加辅助线利用全等三角形证明由于ADE应该是30，而DAE=75，所以在DAE内取点F，使FDA=FAD=15，这就容易证明FDAFDE，问题得到解决证法一 如图4-55A，在DAE内部取点F，使FDA=FAD=15，连结线段EF在AEF中，FAE=60，AE=AF（为什么？），所以AEF为等边三角形，所以AF=EF又AFD=150，EFD=360-EFA-AFD=360-60-150=150，从而AFD=EFD在FDA和FDE中，FD=FD，AF=EF，AFD=EFD，所以FDAFDE从而DA=DE于是DE=DA=CD，同理CE=CD，所以CDE为等边三角形分析二 本例也可以用一种间接的方法证明如图4-55B，先在正方形内作一等边三角形CDE，只要证明了CDE和CDE重合就可以了而要证这两个三角形重合，只需证明E与E重合，要证明这两个点重合，只需证明射线AE与射线AE重合，射线BE与射线BE重合，要证明这两组射线分别重合，只需证明BAE=ABE=15但这很容易证法二 如图4-55B，在正方形ABCD内作等边三角形CDE，连结线段AE，BE在DAE中，EDA=90- 60=30BAE=90-7515，从而射线AE与射线AE重合同理，射线BE与射线BE重合，于是E与E重合这样，CDE与CDE重合，所以CDE是等边三角形点评 证法二的方法如下：当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时，可先作出具有该性质的图形，然后证明所作的图形与原图形重合，即是同一图形因而原图形具有该性质这种间接的证明方法叫做同一法4 已知：如图4-56A，直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC，E为l上一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F求证：AE=AF分析 如图4-56A，AE，AF是AEF的两边，因此要证明AE=AF，可考虑证明AEF=AFE由已知条件EC=AC，如果求出ACE的大小显然问题就解决了在初等几何中见到的特殊角常是30，45，60的角从直观上看，ACE可能是30角作EH所以l上每个点到AC上引的垂线段都相等，所以题得到解决证明 如图4-56，作DOAC于点O，作EHAC于点H，则在ACE中，ACE=30，EC=AC，所以CEA=75，CAE=75而CAD=45，所以EAF=30，所以AFE=75这样，AEF=AFE（=75），从而AE=AF点评 本例中，点E与A位于BD同侧如图4-56B，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA的延长线交于点F，这时仍有AE=AF请读者自己证明5已知：如图4-57，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的一点，并且EAF=45求证：AEF的高线AH=AB分析 如图4-57，AH，AB分别是AHE和ABE的边，这两个三角形应该全等证明了它们全等，也就证明了AH=AB这两个三角形都是直角三角形，并且有一条公共边，证明它们全等还缺少一个条件应注意EAF=45恰是直角的一半，所以FADBAE=45是直角的一半如果把FAD绕顶点A旋转90到KAB的位置，那么新得到的AEK和AEF就各有一个45角，很容易证明这两个三角形全等，进一步就有AHEABE，问题得到解决证明 如图4-57，延长CB到K，令BK=DF连结线段AK，则ABKADF，所以BAK=DAF，从而EAKEABBAK45EAF在EAF和EAK中，AE=AE，AF=AK，EAF= EAK，所以EAFEAK，所以AEF=AEK在AHE和ABE中，AEH=AEB，EHA= EBA=直角，AE为公共边，所以AHEABE，从而AH=AB6如图l480，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGEB，垂足为G，AG交BD于F，则OE=OF（1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB，AG交 EB的延长线于 G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 课后阅读：判定正方形为什么不强调判定定理？答：在“四边形”这一章里，顺次学习了平行四边形、矩形、菱形的性质、判定定理，可是学到正方形时，书上就只有性质定理，而没有判定定理了是遗漏了吗？不！这是因为正方形的判定方法有多种多样先看看正方形与其他四边形的关系：要判定正方形，可以从平行四边形出发，证一组邻边相等且夹角为90；可以从矩形出发，证一组邻边相等；可以从菱形出发，证一角为直角等等；或者干脆从定义出发，都可进行判定只要搞清它们之间的关系，看清题目中的条件，就不会感到束手无策例1 已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH求证：四边形EFGH是正方形分析：这个图形是一种旋转型的图形，有四个直角三角形如果能证出其中两个全等，那么就能证得周边四个直角三角形全等，从而证得四边形EFGH的四条边相等，且各个角是直角，即能得到结论(证明略)例2 求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形分析：四边形ABCD是矩形，每个内角是90，加上内角平分线的条件，可以得到1=2=8=45，那么容易得到H、