2.2.1椭圆的标准方程.doc

代数是书写的几何，几何是图形的代数椭圆的标准方程（第二课时）学案 一.史料引入，感受文化从数学史的角度看，圆锥曲线是在经历古希腊的古典时期、亚历山大前期、亚历山大后期到 16 世纪以后的整个历史时期而不断形成、发展和完善起来的.它的起源与发展曲折离奇，充满情趣。大自然中的任一段树干或一节竹子都可以看作数学中的圆柱体，当人们锯树或竹子时，会发现锯得情况不同，形成的截面形状就有所差异（锯正则圆，锯歪则椭圆）；有人还会进一步认识到树干其实是底粗顶细的，贴切一点讲就是一种圆锥体，这就是说圆锥体的截面是一个圆或椭圆；后来，人们从圆锥体的截面中，又找到了另外两种圆锥截线，这也许是人类对圆锥曲线最早的认识。古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。公元前 3 世纪，在产生了具有完整体系的欧几里得（Euclid，公元前450-公元前374年）的几何原本的故乡，一批古希腊数学家从生活中的例子找到圆锥截线的线索，进而探讨它们的几何性质，奠定了后代研究圆锥曲线的基石，最突出的成果是数学家阿波罗尼斯（Apollonuius，公元前262-公元前190年）的名著圆锥曲线论，它几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽。但在随后的 1000多年里，人们对圆锥曲线的研究基本没有任何新的进展。直到德国天文学家开普勒（Kepler，1571-1630）继承了哥白尼的日心说，在研究行星运动时，发现了行星运动的三大定律，知道太阳系中每颗行星都沿着各自的椭圆轨道环绕太阳运行，而太阳则处在椭圆的一个焦点中；意大利物理学家伽利略（Galilei，1564-1642）在研究抛物运动时得出下落距离和时间成平方关系，其轨迹为抛物线。这些发现让“圆锥曲线”再度受到重视。1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）将椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。法国数学家笛卡儿（Ren Descartes，1596-1650）和费马（Pierre de Fermat，1601-1665）创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼斯，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一，实现了数与形之间的转化。二、回顾旧知，查漏补缺上节课我们已经学习了椭圆的定义，图像以及标准方程，回顾旧知，填写表格。定义图像关系式标准方程椭圆标准方程的推导过程：以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系.设点是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为，设与的距离之和为，即，根据两点之间的距离公式得到：先将一个根式移项得再平方并化简为：两边再平方，整理得：两边同除以得：.令，得到.在化简过程中每个等式所表示的图形保持一致性，都代表同一个椭圆.那么，为什么这些式子都表示椭圆呢？请同学们分成6个小组，从数和形的角度分别探究（3）、（4）式。三、自主探究，思维风暴（1）对于（3）式的探究第_组数形总结： （2）对于（4）式的探究第_组数形总结： （3）其他探究第_组数形总结： 四、课堂练习，小试牛刀例1：如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.例2：点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹.例3：如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.例4：如图，在圆上取一点，过点做轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时