2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.1归纳与类比课件理北师大版201805113119.ppt

13 1归纳与类比 第十三章推理与证明 算法 复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 归纳推理根据一类事物中具有某种属性 推断该类事物中 都有这种属性 我们将这种推理方式称为归纳推理 简言之 归纳推理是由到 由到的推理 归纳推理的基本模式 a b c M且a b c具有某属性 结论 任意d M d也具有某属性 知识梳理 部分事物 每一个事物 部分 整体 个别 一般 2 类比推理由于具有某些类似的特征 在此基础上 根据 的其他特征 推断也具有类似的其他特征 我们把这种推理过程称为类比推理 简言之 类比推理是两类事物特征之间的推理 类比推理的基本模式 A 具有属性a b c d B 具有属性a b c 结论 B具有属性d a b c d与a b c d 相似或相同 两类不同对象 一类对象 另一类对象 3 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理的结果 4 演绎推理是根据已知的事实和正确的结论 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 不一定 正确 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 但其结论是错误的 5 一个数列的前三项是1 2 3 那么这个数列的通项公式是an n n N 6 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 已知在数列 an 中 a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是A an 3n 1B an 4n 3C an n2D an 3n 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析a2 a1 3 4 a3 a2 5 9 a4 a3 7 16 a1 12 a2 22 a3 32 a4 42 猜想an n2 3 在等差数列 an 中 若a10 0 则有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 在等比数列 bn 中 若b9 1 则存在的等式为 答案 解析 解析利用类比推理 借助等比数列的性质 1 2 3 4 5 6 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 解析 答案 题组三易错自纠4 正弦函数是奇函数 f x sin x2 1 是正弦函数 因此f x sin x2 1 是奇函数 以上推理A 结论正确B 大前提不正确C 小前提不正确D 全不正确 1 2 3 4 5 6 解析f x sin x2 1 不是正弦函数 所以小前提错误 5 2017 济南调研 类比平面内 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 的性质 可得出空间内的下列结论 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 则正确的结论是 填序号 解析 答案 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解析显然 正确 对于 在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行 也可以异面或相交 对于 在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行 也可以相交 解析 答案 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 命题点1与数字有关的等式的推理典例 2016 山东 观察下列等式 题型一归纳推理 多维探究 解析 答案 命题点2与不等式有关的推理典例 2017 济宁模拟 已知ai 0 i 1 2 3 n 观察下列不等式 解析 答案 命题点3与数列有关的推理典例 2017 湖北七市教科研协作体联考 观察下列等式 解析 答案 解析根据式子中的规律可知 等式右侧为 解析由2 1 1 3 1 2 5 2 3知 从第三项起 每一项都等于前两项的和 则第6年为8 第7年为13 第8年为21 第9年为34 第10年为55 故选D A 21B 34C 52D 55 命题点4与图形变化有关的推理典例 2017 大连调研 某种树的分枝生长规律如图所示 第1年到第5年的分枝数分别为1 1 2 3 5 则预计第10年树的分枝数为 解析 答案 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1 与数字有关的等式的推理 观察数字特点 找出等式左右两侧的规律及符号可解 2 与不等式有关的推理 观察每个不等式的特点 注意是纵向看 找到规律后可解 3 与数列有关的推理 通常是先求出几个特殊现象 采用不完全归纳法 找出数列的项与项数的关系 列出即可 4 与图形变化有关的推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 并用赋值检验法验证其真伪性 跟踪训练 1 将自然数0 1 2 按照如下形式进行摆列 根据以上规律判定 从2016到2018的箭头方向是 解析 答案 解析从所给的图形中观察得到规律 每隔四个单位 箭头的走向是一样的 比如说 0 1 箭头垂直指下 4 5箭头也是垂直指下 8 9也是如此 而2016 4 504 所以2016 2017也是箭头垂直指下 之后2017 2018的箭头是水平向右 故选A 2 如图 有一个六边形的点阵 它的中心是1个点 算第1层 第2层每边有2个点 第3层每边有3个点 依此类推 如果一个六边形点阵共有169个点 那么它的层数为 解析 答案 A 6B 7C 8D 9 解析由题意知 第1层的点数为1 第2层的点数为6 第3层的点数为2 6 第4层的点数为3 6 第5层的点数为4 6 第n n 2 n N 层的点数为6 n 1 设一个点阵有n n 2 n N 层 则共有的点数为1 6 6 2 6 n 1 1 6 3n2 3n 1 由题意 得3n2 3n 1 169 即 n 7 n 8 0 所以n 8 故共有8层 题型二类比推理 师生共研 解析 答案 2 在平面上 设ha hb hc是 ABC三条边上的高 P为三角形内任一点 P到相应三边的距离分别为Pa Pb Pc 我们可以得到结论 把它类比到空间 则三棱锥中的类似结论为 解析设ha hb hc hd分别是三棱锥A BCD四个面上的高 P为三棱锥A BCD内任一点 P到相应四个面的距离分别为Pa Pb Pc Pd 于是可以得出结论 解析 答案 1 进行类比推理 应从具体问题出发 通过观察 分析 联想进行类比 提出猜想 其中找到合适的类比对象是解题的关键 2 类比推理常见的情形有平面与空间类比 低维的与高维的类比 等差数列与等比数列类比 数的运算与向量的运算类比 圆锥曲线间的类比等 跟踪训练 2018 晋江模拟 在我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法 1261年 一书中 用如下图1所示的三角形 解释二项和的乘方规律 在欧洲直到1623年以后 法国数学家布莱士 帕斯卡的著作 1655年 介绍了这个三角形 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国 所以有些书上称这是 中国三角形 Chinesetriangle 如图1 17世纪德国数学家莱布尼茨发现了 莱布尼茨三角形 如下图2 在杨辉三角中相邻两行满足关系式 其中n是行数 r N 请类比上式 在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 1112113311464115101051 图1 图2 解析 答案 题型三演绎推理 师生共研 证明 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 大前提是等比数列的定义 这里省略了 2 Sn 1 4an 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 对于任意正整数n 都有Sn 1 4an 结论 第 2 问的大前提是第 1 问的结论以及题中的已知条件 证明 演绎推理是由一般到特殊的推理 常用的一般模式为三段论 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找准正确的大前提 一般地 当大前提不明确时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练 1 2017 全国 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则A 乙可以知道四人的成绩B 丁可以知道四人的成绩C 乙 丁可以知道对方的成绩D 乙 丁可以知道自己的成绩 解析 答案 解析由甲说 我还是不知道我的成绩 可推知甲看到乙 丙的成绩为 1个优秀 1个良好 乙看丙的成绩 结合甲的说法 丙为 优秀 时 乙为 良好 丙为 良好 时 乙为 优秀 可得乙可以知道自己的成绩 丁看甲的成绩 结合甲的说法 甲为 优秀 时 丁为 良好 甲为 良好 时 丁为 优秀 可得丁可以知道自己的成绩 故选D 2 已知函数y f x 满足 对任意a b R a b 都有af a bf b af b bf a 试证明 f x 为R上的单调增函数 证明 证明设x1 x2 R 取x1x1f x2 x2f x1 x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 x10 f x2 f x1 y f x 为R上的单调增函数 高考中的合情推理问题 高频小考点 合情推理在近年来的高考中 考查频率逐渐增大 题型多为选择 填空题 难度为中档 解决此类问题的注意事项与常用方法 1 解决归纳推理问题 常因条件不足 了解不全面而致误 应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳 2 解决类比推理问题 应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由 再去类比另一类问题 考点分析 典例 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 答案 解析 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 b2018是数列 an 的第 项 5045 b2k 1 用k表示 答案 解析 2 设S T是R的两个非空子集 如果存在一个从S到T的函数y f x 满足 T f x x S 对任意x1 x2 S 当x1 x2时 恒有f x1 f x2 那么称这两个集合 保序同构 以下集合对不是 保序同构 的是 A N B N A x 1 x 3 B x x 8或0 x 10 A x 0 x 1 B R A Z B Q 答案 解析 解析对于 取f x x 1 x N 所以A N B N是 保序同构 的 故排除 所以A x 1 x 3 B x x 8或0 x 10 是 保序同构 的 故排除 所以A x 0 x 1 B R是 保序同构 的 故排除 不符合 故填 课时作业 1 2018 衡水模拟 下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无理数 结论 是无限不循环小数B 大前提 无限不循环小数是无理数 小前提 是无限不循环小数 结论 是无理数C 大前提 是无限不循环小数 小前提 无限不循环小数是无理数 结论 是无理数D 大前提 是无限不循环小数 小前提 是无理数 结论 无限不循环小数是无理数 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析A中小前提不是大前提的特殊情况 不符合三段论的推理形式 故A错误 C D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理 所以C D都不正确 只有B正确 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2018 武汉模拟 观察下列各式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 可以得出的一般结论是A n n 1 n 2 3n 2 n2B n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2C n n 1 n 2 3n 1 n2D n n 1 n 2 3n 1 2n 1 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题中式子可以归纳 等式左边为连续自然数的和 有2n 1项 且第一项为n 则最后一项为3n 2 等式右边均为2n 1的平方 3 2016 北京 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C 乙盒中红球不多于丙盒中红球D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析取两个球往盒子中放有4种情况 红 红 则乙盒中红球数加1 黑 黑 则丙盒中黑球数加1 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加1 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加1 因为红球和黑球个数一样多 所以 和 的情况一样多 和 的情况完全随机 和 对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响 和 出现的次数是一样的 所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样 综上 选B 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2017 宜昌一中月考 老师带甲 乙 丙 丁四名学生去参加自主招生考试 考试结束后老师向四名学生了解考试情况 四名学生回答如下 甲说 我们四人都没考好 乙说 我们四人中有人考的好 丙说 乙和丁至少有一人没考好 丁说 我没考好 结果 四名学生中有两人说对了 则四名学生中说对的两人是A 甲 丙B 乙 丁C 丙 丁D 乙 丙 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析甲与乙的关系是对立事件 二人说话矛盾 必有一对一错 如果丁正确 则丙也是对的 所以丁错误 可得丙正确 此时乙正确 故答案为D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 mn nm 类比得到 a b b a m n t mt nt 类比得到 a b c a c b c m n t m n t 类比得到 a b c a b c t 0 mt xt m x 类比得到 p 0 a p x p a x m n m n 类比得到 a b a b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以上式子中 类比得到的结论正确的个数是A 1B 2C 3D 4 解析 正确 错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可以推测N n k 的表达式 由此计算N 10 24 1000 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推测 1100 100 1000 8 若 an 是等差数列 m n p是互不相等的正整数 则有 m n ap n p am p m an 0 类比上述性质 相应地 对等比数列 bn m n p是互不相等的正整数 有 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析类比已知条件中等差数列的等式 m n ap n p am p m an 0 结合等比数列通项公式可得出等比数列的结论为 9 2017 青岛模拟 若数列 an 的通项公式为an n N 记f n 1 a1 1 a2 1 an 试通过计算f 1 f 2 f 3 的值 推测出f n 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 照此规律 第五个不等式为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 观察下列不等式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析观察每行不等式的特点 每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等 且每行右端分数的分子构成等差数列 11 2018 济南模拟 设f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 并注意到在这三个特殊式子中 自变量之和均等于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 设x1 x2 1 f x1 f x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解如图所示 由三角形相似得AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 又BC2 AB2 AC2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 猜想 四面体A BCD中 AB AC AD两两垂直 AE 平面BCD 证明 如图 连接BE并延长交CD于F 连接AF AB AC AB AD AC AD A AC 平面ACD AD 平面ACD AB 平面ACD AF 平面ACD AB AF 在Rt ABF中 AE BF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 2017 佛山一模 所有真约数 除本身之外的正约数 的和等于它本身的正整数叫作完全数 也称为完备数 完美数 如6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 496 1 2 4 8 16 31 62 124 248 此外 它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和 如6 21 22 28 22 23 24 按此规律 8128可表示为 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 27 212 解析由题意 如果2n 1是质数 则2n 1 2n 1 是完全数 n 2 n N 令n 7 可得一个四位完全数为64 128 1 8128 8128 26 27 212 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 14 2017 厦门模拟 设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 证明 1 a 0且 2 1 证明因为f 0 0 f 1 0 所以c 0 3a 2b c 0 由a b c 0 消去b得a c 0 再由条件a b c 0 消去c得a b0 因为f 0 0 f 1