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第第 3 章章 导数与微分导数与微分 之内容方法之内容方法 导数概念是根据解决实际问题的需要 在极限概念的基础上建立起来的 它是微分学中 最重要的概念 而微分是微分学中又一个重要的概念 它与导数有密切的关系 两者在科学 技术与工程实际中有着广泛的应用 本章引入导数与微分的概念 研究了导数的各种计算方 法 本章的重点是 导数的定义及其几何意义 导数作为变化率的概念 可导函数的和 差 积 商的求导运算法则 复合函数的求导法则 初等函数的求导问题 微分定义 难点是 复合函数的求导法则 3 1 导数的定义导数的定义 导数的定义导数的定义 0 0 x x dy fx dx 0 00 0 0 limlim xxx f xxf xf xf x xx 0 x 左导数左导数 00 0 0 lim x f xxf x fx x 右导数右导数 00 0 0 lim x f xxf x fx x 由导数的定义知 f x 在可导的充分必要条件是其左右导数存在且相等 0 x 如果在区间 yf x I上的每一点x都可导 但在闭区间的左端点只需右可导 在右 端点只需左可导 那么就称函数 f x 在I上可导 这时 f x 在中任一点的导数确定了II上的一个新的函数 称之为 f x 的导函数 简称导数 记为 df x fxy dx 或 dy dx 这样 0 lim x f xxf x fx x 而 0 fx 就是导函数 fx 在的值 0 x 导数的几何定义导数的几何定义是 曲线上的纵坐标对点的横坐标 y x的导数是曲线在该点的切线的斜 率 即 dy ktg dx 导数的物理意义导数的物理意义之一是 位移x对时间t的导数是瞬时速度 即 dx v dt 比较简单的函数的导数可以用导数的定义直接求得 比如几个初等函数的导数公式就是 由导数的定义求得的 3 2 导数与连续的关系导数与连续的关系 可导必连续 事实上 若 f x 在可导 0 x 则 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 从而 0000 0 f xf xfxxxxx O xx 因此当时 0 xx 0 f xf x 故 f x 在处连续 0 x 1 反之不然 一个典型的例子是 0f xxx 在 处连续 但 0 1 0 1ff 3 3 求导法则和方法求导法则和方法 1 cf xcfx 2 u xv xu xv x 3 u x v xu x v xu x v x 4 2 u xu vuv v xv x 5 复合函数求导法 fxf uf u u x 或 xu yyu 6 反函数的求导法 设是可导函数的反函数 yx yf x 则 1 x fx 0fx 7 高阶导数求导法 2 2 dy d d y dx y dxdx 1 n n nn d y d dx yy dx 8 隐含数的求导法 在两端对 0F x y x求导 这时千万要将等视为 n y y y x的函数 从而等是 2 sin yy x的复合函数 9 对数求导法 对表达式为乘积或乘方的函数 先取对数 然后再按隐含数求导法求导 10 参数方程求导法 设 xt yt 则 dyt dxt 3 4 基本求导公式基本求导公式 常数 0yc y 幂函数 1 yxyx n 指数函数 l xx xx yayaa yeye 对数函数 1 log ln 1 ln a yx y xa yx y x 2 三角函数 2 2 sin cos cos sin sec csc yx yx yx yx ytgx yx y ctgx yx 反三角函数 2 2 2 2 1 arcsin 1 1 arccos 1 1 1 1 1 yx y x yx y x yarctgx y x yarcctgx y x 以上公式和法则应熟记 3 5 微分微分 微分的定义微分的定义 若在 yf x x处可导 则函数的增量 yf xxf x fxxxx 其中 x 是的高阶无穷小 xx 0 称 fxxfx dx 为的线性主部 y 并称之为 f x 在x处的微分 记作 即 dy dyfx dx 由微分的定义 得 dyfx dx dy fx dx 这即是导数与微分的联系 如求得 f x 的导数 fx 则其微分为 dyfx dx 若求得 f x 的微分 则其导数为 df xAdx fxA 当函数在 yf x x处有微分dy时 即且 yA xx 0 lim x x x 0 lim0 x yA x x 时 称 f x 在x处可微 当 f x 在区间上的每一点处可微时 称I f x 在I上可微 由于 我们得到 dyfx dx f x 在x处可微的充分必要条件是 f x 在x处可导 因此 当 x 很小时 可用微分 dyfx dx 去近似替代增量 y 即 f xxf xfx x 利用此公式 可以进行函数的近似计算 例如 sin29sin 301 sin 6180 6 sin sin 6 x xx 3 sincos 66180 0 4849 微分的公式与法则与导数的公式与法则完全类似 而且计算微分更简洁 特别地 它还 具有一阶微分形式不变性 即 yf u ux 时 无论u是自变量还是函数 yf u 的微分总保持同一形式 dyf u du 第第 3 章章 导数与微分导数与微分 之例题解析之例题解析 例例 3 1 已知 求 sin 0 0 x x f x x x fx 解 当时 0 x 1fxx 当时 0 x 0 sin 0 0 lim1 x xf f x 00 0 0 limlim1 xx fxfx f xx 0 1f 例例 3 2 求曲线上点 cosyx 1 3 2 处的切线方程和法线方程 解 3 3 sin 32 x y cosyx 在 1 3 2 处的切线方程为 13 223 yx 其法线方程为 12 3 233 yx 例例 3 3 求的导数和的导数 secy xxcscy 解 1 sec cos yx x 22 1 cos1 cos sin sec coscos xxx xtgx xx gx 同理 csc cscyxxct 例例 3 4 求 ln cos x ye 的导数 解 1 cos cos x x ye e 对求导 lnu 1 sin cos xx x ee e 对cosv求导 4 xx tg ee x 对求导 w e 1 2 xx tg ee x 对 x求导 注意 对多个函数组成的复合函数求导时应做到 层层剥皮 逐层求导 千万不要遗漏某一层 例例 3 5 求 2 2 x yarctg 的导数 解 2 2 214 2 224 2 2 2 xx yarctgarctg x x 例例 3 6 求y uv 的n阶导数 解 uvu vuv uvu vuv u vu vu vuv 2u vu vuv 类似的 33uvu vu vu vuv 用数学归纳法可以证明 1 1 2 2 1 2 nnnn n n uvuvnuvuv 1 1 n kk n nnk uv k n uv 上式称为莱布尼兹公式 它与牛顿二项式定理的展开式完全类似 nab 例例 3 7 求由方程 0 y exye 确定的隐含数 yy x 的二阶导数 解 方程两边对x求导得 这里是 y x的函数 是 y ex的复合函数 0 y eyyxy 解得 y y y xe 2 1 yy y y xeyey y xe y 是x 的函数 2 3 y y y e xe 注意 求时 也可在方程 y 0 y eyyxy 两边对x求导 解出 将的表达式代入化简即得 y y y 所的结果与前法当然是相同的 例例 3 8 用对数求导法求 1 2 3 4 xx y xx 的导数 解 先在两边取对数 假定 得 4x 1 ln ln 1 ln 2 ln 3 ln 4 2 yxxxx 5 上式两端对x求导 并注意到是 y x的函数 得 111111 21234 y yxxxx 于是 1111 21234 y y xxxx 另外 当时 1x 1 2 3 4 xx y xx 当时 23x 1 2 3 4 xx y xx 用同样的方法可得到与上述相同的结果 故 1111 21234 y y xxxx 例例 3 9 计算由摆线的参数方程 sin 1 cos xa tt yat 所确定的函数的二阶导数 解 sinsin 1 cos 1 cos2 dy dyattt dt ctg dx dxatt dt 为整数 2 tn n 2 2 1 22 d yddydtdtdt ctgctg dx dxdt dxdtdxdt dt 2 2 111 1 cos 1 cos 2sin 2 t atat 2tn 例例 3 10 求 2 arcsin 1yx 的微分 解 2 22 1 1 1 1 dydx x 2 2 11 1 2 1 dx x x 2 1 1 x x x 例例 3 11 称为幂指函数 对幂指函数求导时 先将底化为再用 复合函数求导法求 v xf xu x ln u x u xe 1 x x y x 的导数 解 lnln 11 ln 1 xx xx xx x yeex x 6 ln ln 111 x xxx x xxx 11 ln 111 x xx x xxxx 1 ln 111 x xxx xxx 注 也可用对数求导法计算幂指函数的导数 第第 3 章章 导数与微分导数与微分 之习题精练之习题精练 练练 3 1 证明函数 11 0 00 x x f x x x 0 x 在 处连续 但 0 f 不存在 提示 练练 3 2 在抛物线 2 yx 上取横坐标为1 1x 及2 3x 的两点 作过这两点的割线 问该抛物 线上哪一点的切线平行于这条割线 答案 练练 3 3 求下列函数的导数 1 2 5 1 1 x y x 2 sincos x yxexx 3 3 2yarcctgxx x 4 3 sec ln y 答案 练练 3 4 验证函数 xx yee 满足关系式 11 0 24 xyyy 练练 3 5 求由方程 ytg xy 确定的隐函数 yy x 的二阶导数 2 2 d y dx 答案 练练 3 6 用对数求导法求 5 52 5 2 x y x 的导数 答案 练练 3 7 已知 sin cos t t xet yet 求当3 t 时 dy dx的值 答案 练练 3 8 求的微分 cos 3 x yex dy 答案 练练 3 9 求 2 2 x ctg ytg x 的导数 答案 第第 3 章章 导数与微分导数与微分 之自我检测之自我检测 测测 3 1 已知 求 2 0 0 x x f x x x 0 0 f f 问是否存在 0 f 答案 测测 3 2 一质点作直线运动 它所经过的路程和时间的关系是 2 3st 1 求 时的瞬时速度 2t 答案 测测 3 3 求下列函数的导数 1 2 2 ln 1 1 x yarctgx x 2 21 cos 1 x y x 7 3 arcsinx ye 4 2 sin