评析高考数学试题中的高观点题.pdf

2 0 0 2年 3月 1日 理科考试研究 数学版 析 高 考 数 学 试 题中 的 高 观 点 题 内蒙古集宁一中 0 1 2 0 0 0 白志锋 一 何谓 高观点题 高观 点题 是 指 与高 等数 学 相联 系 的数 学 问题 这样 的 问题 或 以高等 数学 知识 为 背景 或体现 高等 数 学 中常 用 的数学 思 想方 法 和推 理方法 由于高考 的 选拔 功 能 这 类题 倍受 命 题 者青 睐 在 历 届的考 题 中 出现 了不 少背 景 新 设 问 巧 的高观 点题 成 为高考 题 中的 又一 亮点 二 高观点题评 析 1 语言叙述 高观点 例 1 1 9 8 9年 全 国 设 f 是定 义在 区间 一o o o o 上 的以2 为周期的 函数 对于 k Z 用 厶表示区间 2 k一1 2 k 1 已知 J n时 f 1 求 f x 在 上的解析 式 2 对 于 自然数 k 求集合 M a J 使方 程 f x 甜 在 上有 两个不相等的实根 例 2 2 0 0 1 年 全 国 已知 z l 是正整 数 且 1 i m 1 证明 尸 1 评析 此 两题 的设 问方 式 尤 其是 符 号语 言 的使 用 颇 具 高 等 数 学 特 色 有 较 强 的抽 象 性 要 求考生对相关 的数 学语 言有较 高层次 的 理解 能够准确地将 抽 象的数学 符号 翻译 成 自 己熟 悉的数学语 言 对于 例 1 1 的答 案 为 厂 一 2 是 解答 2 时 要求 考生 能够 正确 地 做如下 转化 求方程 一2 k 甜 在 2 k 1 2 k 1 上有两个不等实根时 口的取值范围 可采用 求根法 如果考 生能够 将所 解问题转化 为 图形 语言 利 用数形结 合的方 法 则 可简便求解 解 法略 答案为 a l o厂 评析 本题 主要考查演 绎推 理和逻 辑思 维 能力 试题 的设计 选择 了高等 数学 中函数 图象 的凹凸性 的知识背景 如图 1 函数Y f x 在 口 b 上的图象 是上 凸的 其对应 的数 量特 征 是 当 b 且z 1 z 2 时 告 f x 1 f x 2 厂 十一 几 何 特征 是 连 接 两 点P 1 Y 1 Q 22 2 Y 2 的线段 的 中点 M 位 于横 坐标 为 的曲线 Y 厂 k N C x N N k J y 虽然试 题的设计来 源于 高等数学 但 以中 学数学 中的正切 函数和不 等式 知识为载体 解 决问题 的方法是 中学所学 的初 等方法 从 考查 知识的角度 看 重点 突 出 方法 基本 从 考查思 维的角度来看 条理 自然 思 维障碍不大 不失 为一道好题 例 4 1 9 9 4年 全 国 定义在 R上的任意 函数 f 22 都可 以表示 为一个奇 函数 g 22 和 一 个偶 函数 h z 之和 如果 f x l g 1 0 1 z R 那 么 A g 22 z h z l g 1 0 1 0 一 2 B g 22 1 g 1 0 1 z h z 1 1 g 1 0 1 一z C g 22 姜 h z l g 1 0 1 一 D g 22 一 h z l g 1 0 1 评析 本题的条 件直接 给 出了高 等数学 的 一 个命 题 定义 域 关 于 原点 对 称 的 任 意 函 数 都可 以表示 为一个 奇 函数 和一个 偶 函数 之和 然后 给 出命 题 的一 个 特例 首 先要 求 考 生 从阅读 理解人手 分析题 意 明 确解题方 向 在解题过程 中也考 查 了对数 函数 奇偶 函数 的 概念和性 质 要求 考 生有 较 强的 运算 能 力 本 题将 阅读 理解能力 演绎思维 能力 运算 能力 研究解决新 问题 的能力等 集于 一题 可 充分 考 查学生的数学素质 答 案为 C 例 5 1 9 9 3年 全 国 同室 四人 各写一 张 贺年卡 先集 中起 来 然 后每 人从 中拿一 张 别 人送出的贺年卡 则 四张 贺年卡 不 同的分配 方 式有 A 6种 B 9种 C 1 1 种 D 2 3种 评析 1 本题 的知识 背 景是 组合 数学 中 的 错排 问题 当元 素 数较 大 时 利 用 中学 所 学知识难 以解决 但 本题 选 取 四个 元素 难 度 大大降低 中学 生完 全可 以 接受 因为仅 仅 利 用加法原理 和乘法原理 便可求解 答案 为 B 2 如果考 生具备 灵活 的转 化 思想 可 以 建立如下数学模 型 将 1 2 3 4四个数 字填 入 标号为 1 2 3 4的四个 空格里 要 求所 填数 字 不与空格号相 同的填 法有 多少种 如 能这样 转 化 一一 去排 也可 很快 解 得结 论 本 题对 思 维 的要求较高 这反映 了高观点题特有的 魅力 3 推理 方式 高观 点 3 1 首次 出现合情 推理题 目 例 6 2 0 0 1 年 上 海 已知 两 个 圆 z 0 Y 1 与 Y一3 1 则 由 式 减去 可得上述 两圆的对称轴方程 将 上述命 题在曲线仍为 圆的情 况下 加 以推广 即要求 得 到一个更一般的命题 而 已知命 题是所 推 广的 命题的一个特例 推广 的命 题为 评析 1 合情 推理 是科 学发 现 的常用 方 法 是创 新 的基础 在大 力提 倡 培养 创 新 能力 的 今天 这类 问 题必将 受 到 广泛 关 注 今 年在 上海高考试题 中首 次 出现 在 今后 的全 国高考 中也可能 出现 2 解答本题 时 需 要 注意 在 两圆半 径 相 维普资讯 2 0 0 2年 3月 1日 理科考试研究 数学版 3 等 的情况下才可得 到对称 轴 的方程 此 处易 出 错 答案为 J c 日 b R 0 z C d R a c 或 b d 3 2 代数推理 常考常新 从 1 9 9 6年开始 对逻辑思维能力的考查 已 从过 去的四大能力 的第二位 摆到 了第一位 成 为 考查 能力的核心 代数推 理 由于 缺乏几 何推 理 的直观图形的依托 能在 更高层次 上考 查学 生 的逻辑 推理能力 而且高等 数学 中大多是 代 数 推理 问题 所 以此 种推 理方 式 的考查 历 来 倍 受重 视 命 题 者居 高 临下 设计 了不少 观点 高 设 问新颖 的代数推 理题 解答 此种题 目 需 要有 一定 的创 新性 今举 一例 加 以浅析 其 余 不再 赘述 例 7 1 9 9 7年 全 国 没 二次 函数 I b x c 0 方程 厂 一 0的 1 两根 l z 2 满足0 l 1 7 2 1 当 0 z 1 时 证 明 f z z 1 2 设 函数 f 的图象关于直线 z z o 对称 证明 z 0 2 解 1 1 令 F f z 一z 因为 z l z 2 是方程 f x 一z 0 的根 所 以 F x n z z 1 z z 2 当 x 0 z 1 时 由于 z 1 0 又 n 0 得 F x n z z 1 z z 2 0 即 z f z 又 z l f x z 1 一 z F x z l z 一日 z z 1 z z 2 z l z 1 n z z 2 0 z 1 z 2 0 1 a z 2 1 一 2 a x 0 即得 z 1一f x 0 f x 1 2 依题意知 z 一 b 因为 zl 2是方 程 a x b一1 C 0的根 根据 韦达定 理 得 X l X2 一 z 一 0 n x o 一 吉 X 2 一 丢 争 一 L z l 十 一 解 2 分析法 1 欲证 z f z z 1 只需证 0 f x 一z z l z 即 0 n z z 1 z z 2 0 只需证0 z 2 一z 易知此式成立 2 欲证 X 0 X l 只需证 X0一 Xl 0 B 9 证 一 一 一 一 等 0 n 只 需 证 z 一 丢 0 易 知 此 式 成 立 评析 1 众所周知 一般 的非 线性方 程求 解是相 当 困难 的 需 用迭 代 法 但 由二次 函数 构成的非线性方程 是最简 单 的 中学 阶段 涉 及 较多 命题者 站 在如 此高 度将 二 次 函数 二次 方程和不等式巧妙地 结合 起来 用 以考查 学生 的逻辑推理能力 可谓 匠心独 用 2 三个 二次 是 中学 数学 的 重要 内容 也是对近代 数学 以及现 代 数学 有 着重 大 影 响 的内容 因此历来 都作为 高考数 学 的一项 重点 考查 内容 其形式年年有 变 常考常新 3 本题 的知识 背景和推理方 式的观 点较 高 落点较低 所用知识 全是 二次 函数 二 次方 程和不 等式 等基 础知 识 无 需复 杂计 算 但 需 概念清楚 头脑清醒 否则 易引起 思维混 乱 也 需要有 灵活的运 用数学 知识 和方 法分 析问题 解决问题 的能力 还需 要有较 强 的逻辑推 理 能 力 总之需要有 较强的数学能力 三 几点看 法 1 高观点 题 的起点 高 但落 点低 即试 题 的设计来 源于高等数学 但 解决 的方法 是 中学 所学 的初等数学 知识 所 以没有任 何将 高等 数 学引进 高考 的误 导 考 生不 必惊 慌 失措 只要 维普资讯 理科考试研究 数学版 2 0 0 2年 3月 1日 我们心平气 和 坦然 面对 是 较易突破的 2 数学符 号是数学抽象思维 的产物 是数 学交 流 与 传 播 的 媒 介 是进 行 数 学 推理 的工 具 是数 学 发展 的 内部 动力 对 数学 符号 语 言 的考查能够衡量一 个人 的数学 能力 因此 需 引 起足够的重视 在平 时 的教学 中应该注重 对学 生进行符 号 语言 的 阅读 理解 转 化 表述 探 究 调控能 力的培养 3 高观点题有利于 区分考生 能力 在今后 的高考 中还 会 出现 应 引起 充分 重视 怎样 才 能解 好 这类 题 目呢 重 视 创 新 能 力的 培 养 是 关键 4 需认真 构建数学知识网络 不断发展 数 学能 力 近 几年 高考命 题有 两 大特 点 一 是 由 过去的知识立意转化 为以能力立 意 二是 不追 求 知识 的覆 盖 面 而追求 知识 网络 的交 汇点 高观点题 正好可 以切中这两 点 所 以命题 者居 高 临下 匠心独用 所命 题 目思 路灵 活 网络 性 强 解 答时 需有 优秀 的数 学 素质 为此需 要 做 到以下几点 1 要 改 变课 堂 数 学 重 结 论 轻 过 程 的 做 法 对知识形 成 的来 龙去 脉要 搞 清楚 需 进 行 探究性学 习 培 养学 生独 立分 析 问题 判 断 问 题 解决 问题 的能 力 2 要改 变解题教 学过 分追 求模 式 化 程 式 化的做法 不能 热衷于 归纳题 型 记忆 方法 我们看 到 靠 机械训 练 对 于这 些 高观 点题 是 难以应对的 3 要改变综合复 习中的 题 海战 术 资 料战术 频繁考 试战 术 要 引导 学生 自构知 识网络 不能 将有 机 的知识 的 整体 在学 生头 脑中成为 一系列孤立 的点 只有 这 样 才 能不 断发 展 学 生 的数 学 能 力 达到 以不变应万变 高考复合数列问题的类型及解题方法和技巧 陕西南郑江南压铸总厂子校 7 2 3 1 0 0 郝世富 数列 问题 以其 多变 的形 式和 灵活 的解 题 方法 倍 受 高 考 会 考 和模 拟 考试 命 题 者 的 青 睐 历年来 都 是 高考命 题 的 热 点 对 应试 考 生来说 数 列既是 重点 又是难 点 近 年来 高 考中数列问题 已逐 步转 向多元化 命题 中含 有 复合数列形式 的屡见不鲜 从而 这类问题成 为学生应试 的新难 点 本 文试 图从 各地 的一些 模拟试题 中精选部 分典 型题进行 分类 解析 探 索 出这类 问题的求 解方法和技巧 1 通 项探求型 该类题 型一般 转化为等 差 等 比数 列或常 见的简单的递 推数 列来实 现求 解 求解 过程直 接化 求解技巧模式 化 例 1 正项数列 n 的前 7 项 和为S