安徽省六安市毛坦厂中学2020届高三数学下学期假期作业（2.25）理（PDF）.pdf

2 月月 25 日理科数学日理科数学 抗击 新冠 温馨提示 1 勤洗手 少出门 出门戴口罩 保持家里干净 通风让空气流通 2 适当运动 保持锻炼 增强身体免疫力 3 合理安排学习与生活 停课不停学 古典概型 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件都是 互斥 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 基本事件 的和 2 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 有限性 试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 2 等可能性 每个基本事件出现的可能性 相等 3 古典概型的概率公式 P A A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 1 思维辨析 在括号内打 或 1 某袋中装有大小均匀的三个红球 两个黑球 一个白球 那么每种颜色的球被摸到 的可能性相同 2 从 3 2 1 0 1 2中任取一数 取到的数小于0 与不小于0 的可能性相同 3 分别从 3 名男同学 4 名女同学中各选一名作代表 那么每个同学当选的可能性相 同 4 利用古典概型的概率公式求 在边长为 2 的正方形内任取一点 这点到正方形中心 距离小于或等于 1 的概率 5 从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C 求满足 AC 1 3的概率是多少 是古典概 型 解析 1 错误 摸到红球的概率为1 2 摸到黑球的概率为 1 3 摸到白球的概率为 1 6 2 正确 取到小于 0 的数的概率为1 2 取到不小于 0 的数的概率也为 1 2 3 错误 男同学当选的概率为1 3 女同学当选的概率为 1 4 4 错误 由于正方形内点的个数具有无限性 与古典概型不符 5 错误 线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性 所以 5 错误 2 从甲 乙 丙三人中任选两名代表 甲被选中的概率为 C A 1 5 B 1 3 C 2 3 D 1 解析 基本事件总数为 甲 乙 甲 丙 乙 丙 共 3 种 甲被选中共 2 种 则 P 2 3 3 从 1 2 3 4 5 6 六个数中任取 2 个数 则取出的两个数不是连续自然数的概率是 D A 3 5 B 2 5 C 1 3 D 2 3 解析 从六个数中任取 2 个数有 15 种方法 取出的两个数是连续自然数有 5 种情况 则 取出的两个数不是连续自然数的概率 P 1 5 15 2 3 4 从分别写有 1 2 3 4 5 的五张卡片中依次取两张 假设每张卡片被取到的概率相等 且每张卡片上只有一个数字 则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为 D A 4 5 B 16 25 C 13 25 D 2 5 解析 列举法 从分别写有 1 2 3 4 5 的五张卡片中依次取两张 总的情况为 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 共 20 种情况 两张卡片上的数字之和为偶数的有 1 3 1 5 2 4 3 1 3 5 4 2 5 1 5 3 共 8 种情况 从分别写有 1 2 3 4 5 的五张卡片中依次取两 张 这两张卡片上的数字之和为偶数的概率 P 8 20 2 5 故选 D 5 将甲 乙两球随机放入编号为 1 2 3 的 3 个盒子中 每个盒子的放球数量不限 则在 1 2 号盒子中各有一个球的概率为 B A 1 9 B 2 9 C 1 27 D 2 27 解析 依题意得 甲 乙两球各有 3 种不同的放法 共 9 种放法 其中 1 2 号盒子中各 有一个球的放法有 2 种 故有 1 2 号盒子中各有一个球的概率为2 9 一简单的古典概型问题 求古典概型概率的基本步骤 1 算出所有基本事件的个数 n 2 算出事件 A 包含的所有基本事件的个数 m 3 代入公式 P A m n 求出 P A 例 1 1 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球 其中有 10 个白球 5 个红球 从 袋中任取 2 个球 所取的 2 个球中恰有 1 个白球 1 个红球的概率为 B A 5 21 B 10 21 C 11 21 D 1 2 从分别标有 1 2 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次 每次抽取 1 张 则抽 到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 C A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 解析 1 从 15 个球中任取 2 个球共有 C 2 15种取法 其中有 1 个红球 1 个白球的情况有 C110 C15 50 种 所以 P 50 C215 10 21 2 所求概率为 P C 1 2C15C14 C19C18 5 9 二复杂的古典概型问题 求较复杂事件的概率问题的方法 1 将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件 再利用互斥事件的概率加法公式求解 2 先求其对立事件的概率 再利用对立事件的概率公式求解 例 2 为振兴旅游业 四川省面向国内发行总量为 2 000 万张的熊猫优惠卡 向省外 人士发行的是熊猫金卡 简称金卡 向省内人士发行的是熊猫银卡 简称银卡 某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜景区旅游 其中3 4是省外游客 其余是省内游 客 在省外游客中有1 3持金卡 在省内游客中有 2 3持银卡 1 在该团中随机采访 2 名游客 求恰有 1 人持银卡的概率 2 在该团中随机采访 2 名游客 求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 解析 1 由题意得 省外游客有 27 人 其中 9 人持金卡 省内游客有 9 人 其中 6 人 持银卡 设事件 A 为 采访该团 2 人 恰有 1 人持银卡 则 P A C 1 6C130 C236 2 7 所以采访该 团 2 人 恰有 1 人持银卡的概率是2 7 2 设事件 B 为 采访该团 2 人 持金卡与持银卡人数相等 可以分为事件 B1为 采 访该团 2 人 持金卡 0 人 持银卡 0 人 或事件 B2为 采访该团 2 人 持金卡 1 人 持 银卡 1 人 两种情况 则 P B P B1 P B2 C 2 21 C236 C19C16 C236 44 105 所以采访该团 2 人 持金卡与持银卡人数相等的概率是 44 105 三知识交汇中的古典概型问题 古典概型可以出现在很多问题背景下 关键是理解题目的实际含义 找出基本事件的总 数及目标事件的数目 例 3 2017 山东卷 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另 一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示 的作用 现有 6 名男志愿者 A1 A2 A3 A4 A5 A6和 4 名女志愿者 B1 B2 B3 B4 从中 随机抽取 5 人接受甲种心理暗示 另 5 人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率 2 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求 X 的分布列与数学期望 E X 解析 1 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M 则 P M C48 C510 5 18 2 由题意知 X 可取的值为 0 1 2 3 4 则 P X 0 C56 C510 1 42 P X 1 C46C14 C510 5 21 P X 2 C 3 6C24 C510 10 21 P X 3 C26C34 C510 5 21 P X 4 C 1 6C44 C510 1 42 因此 X 的分布列为 X01234 P 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 X 的数学期望是 E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4 0 1 5 21 2 10 21 3 5 21 4 1 42 2 1 投掷两枚质地均匀的骰子 向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 B A 1 9 B 1 6 C 1 18 D 1 12 解析 抛掷两枚质地均匀的骰子 向上的点数之差的绝对值为 3 的情况有 1 4 4 1 2 5 5 2 3 6 6 3 共 6 种 而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有 36 种 所以所求概率 P 6 36 1 6 故选 B 2 已知函数 f x 1 3x 3 ax2 b2x 1 若 a 是从 1 2 3 三个数中任取的一个数 b 是从 0 1 2 三个数中任取的一个数 则该函数有两个极值点的概率为 D A 7 9 B 1 3 C 5 9 D 2 3 解析 f x x2 2ax b2 要使函数 f x 有两个极值点 则有 2a 2 4b2 0 即 a2 b2 由题意知所有的基本事件 9 个 即 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示 a 的取值 第二个数表示 b 的取值 满足 a2 b2的有 6 个基本事件 即 1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2 所以所求事件的概率为6 9 2 3 3 盒子中装有标有数字且大小相同的小球 其中 m 个小球标有数字 1 3 个小球标有数 字 3 2 个小球标有数字 5 若从盒子中任取 2 个球 可得这两个球所标数字之和为 6 的概率是 13 45 若从盒子中任取 3 个球 则三个球所标数字之和小于 10 的概率为 B A 49 60 B 53 60 C 23 60 D 13 15 解析 依题意C 1 mC12 C23 C2m 5 13 45 化简得 13m 2 63m 10 0 解得 m 5 任取 3 个球 它们所标数字之和小于 10 的情况有 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 3 3 1 3 5 3 3 3 故所求概率为 C 3 5 C25C13 C25C12 C15C23 C15C13C12 C33 C310 53 60 4 某校 50 名学生参加智力答题活动 每人回答 3 个问题 答对题目个数的及对应人数 统计结果如下表 答对题目 个数 0123 人数5 1 0 2 0 1 5 根据上表信息解答以下问题 1 从这 50 名学生任选两人 求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率 2 从这 50 名学生中任选两人 用 X 表示这两名学生答对题目之差的绝对值 求随机变 量 X 的分布列及数学期望 E X 解析 1 记 两人答对题目个数之和为 4 或 5 为事件 A 则 P A C 2 20 C110C115 C120C115 C250 190 150 300 25 49 128 245 即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 128 245 2 依题意可知 X 的可能取值分别为 0 1 2 3 则 P X 0 C 2 5 C210 C220 C215 C250 350 1 225 2 7 P X 1 C 1 5C110 C110C120 C120C115 C250 550 1 225 22 49 P X 2 C 1 5C120 C110C115 C250 250 1 225 10 49 P X 3 C 1 5C115 C250 75 1 225 3 49 从而 X 的分布列为 X0123 P 2 7 22 49 10 49 3 49 X 的数学期望 E X 0 2 7 1 22 49 2 10 49 3 3 49 51 49 易错点将基本事件的 等可能 与 非等可能 弄错 错因分析 误认为题目中所有的基本事件的出现都是等可能的 而有些时候基本事件的 出现不是等可能的 从而造成错解 如对于下面的例题会误认为基本事件共有 4 个 正正 正 正正反 正反反 反反反 其实这四种结果的出现不是等可能的 例 1 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次 三枚硬币同时正面向上的概率为 解析 由题意作出树状图如下 一共有 8 种情况 三枚硬币同时正面向上只有 1 种情况 所以 P 三枚硬币同时正面向 上 1 8 答案 1 8 跟踪训练 1 2016 江苏卷 将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后投掷 2 次 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 5 6 解析 先后抛掷 2 次骰子 所有可能出现的情况可用数对表示为 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共 36 个 其中点数之和不小于 10 的有 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 共 6 个 从而点数 之和小于 10 的数对共有 30 个 故所求概率 P 30 36 5 6 课时达标第 58 讲 解密考纲 古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现 有时与集合 函数 不 等式等知识综合 以解答题形式出现 一 选择题 1 从 1 2 3 4 5 中随机选取一个数 a 从 1 2 3 中随机选取一个数 b 则 a b 的概率为 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 2 随机掷两枚质地均匀的骰子 它们向上的点数之和不超过 4 的概率记为 p1 点数之 和大于 8 的概率记为 p2 点数之和为奇数的概率记为 p3 则 A p1 p2 p3B p2 p1 p3 C p1 p3 p2D p3 p1 p2 3 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组 的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 4 从 1 2 3 4 这四个数字中一次随机取两个 则取出的这两个数字之和为偶数的概率是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 5 5 把一颗骰子投掷两次 第一次出现的点数记为 m 第二次出现的点数记为 n 方程 组 mx ny 3 2x 3y 2 只有一组解的概率是 A 2 3 B 3 4 C 1 5 D 17 18 6 甲 乙两人玩猜数字游戏 先由甲心中想一个数字 记为 a 再由乙猜甲刚才所想 的数字 把乙猜的数字记为 b 其中 a b 1 2 3 4 5 6 若 a b 1 就称甲 乙 心相 近 现任意找两人玩这个游戏 则他们 心相近 的概率为 A 1 9 B 2 9 C 7 18 D 4 9 二 填空题 7 甲 乙两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色