高等数学 10.2 对坐标曲线积分.pdf

第二节 一 对坐标的曲线积分的概念一 对坐标的曲线积分的概念一 对坐标的曲线积分的概念一 对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质与性质与性质 二 二 二 二 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一 一 一 一 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质 1 1 1 1 引例引例引例引例 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B A B L x y 求移 cosABFW 大化小 常代变 近似和 取极限 变力沿直线所作的功 解决办法 动过程中变力所作的功W ABF A B F yxQyxPyxF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 k M k M A B x y 1 大化小大化小大化小大化小 2 常代变常代变常代变常代变 L 把L分成 n 个小弧段 有向小弧段 kk MM 1 kk yx 近似代替 kk 则有 kkkk yQxP kk 所做的功为 k W F 沿 kk MM 1 kkkk MMFW 1 k k k k kk F n k k WW 1 则 用有向线段 kk MM 1 kk MM 1 上任取一点在 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 近似和近似和近似和近似和 4 取极限取极限取极限取极限 n k W 1 kkkkkk y QxP n k W 1 0 lim kkkkkk y Q x P 1 k M k M A B x y L kk F k y k x 其中 为 n 个小弧段的 最大长度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 定义定义定义定义 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 有向光滑有向光滑有向光滑 弧弧弧弧 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点 都存在 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分坐标的曲线积分坐标的曲线积分坐标的曲线积分 L yyxQxyxPd d kkk xP kkk yQ n k1 0 lim 则称此极限为函数 或第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分 其中 yxP L 称为积分弧段积分弧段积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线 称为被积函数被积函数被积函数被积函数 在L 上定义了一个向量函数 极限 yxQyxPyxF 记作 yxF yxQ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 L xyxPd lim 1 0 n k kkk xP L yyxQd lim 1 0 n k kkk yQ 若 为空间曲线弧 记 称为对 x 的曲线积分 称为对 y 的曲线积分 若记 对坐标的曲线积分也可写作 d ddyxs LL yyxQxyxPsFd d d zyxRzyxQzyxPzyxF zzyxRyzyxQxzyxPsFd d d d d d ddzyxs 类似地 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3 3 3 性质性质性质性质 1 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 1 kiLi L yyxQxyxPd d k i Li yyxQxyxP 1 d d 2 用L 表示 L 的反向弧 则 L yyxQxyxPd d L yyxQxyxPd d 则 定积分是第二类曲线积分的特例 说明说明说明说明 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向方向方向 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 对坐标的曲线积分的计算法二 对坐标的曲线积分的计算法二 对坐标的曲线积分的计算法二 对坐标的曲线积分的计算法 定理定理定理定理 yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 ty tx t则曲线积分 L yyxQxyxPd d ttP t t td ttQ 连续 证明证明证明证明 下面先证 L xyxPd tttPd t 存在 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点 根据定义 i x i t ii 点 i 由于 1 iii xxx 1 ii tt ii t L xyxPd tttPd n i ii P 1 0 lim ii t n i ii P 1 0 lim ii t t L xyxPd n i iii xP 1 0 lim 对应参数 连续所以 t 因为L 为光滑弧 同理可证 L yyxQd tttQd t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是 如果 L 的方程为 baxxy 则 xxxQxxP b a d x L yyxQxyxPd d 对空间光滑曲线弧 类似有 zzyxRyzyxQxzyxPd d d t t t tttQ tttR td tttP t tz ty tx 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1 1 1 1 计算 d L xyx其中L 为沿抛物线xy 2 解法解法解法解法1 1 1 1 取 x 为参数 则OBAOL 01 xxyAO 10 xxyOB OBAOL xyxxyxxyxddd xxxd 0 1 5 4 d2 1 0 2 3 xx yyyyxyx L d d 2 1 1 2 xy xy 解法解法解法解法2 2 2 2 取 y 为参数 则11 2 yyxL 5 4 d2 1 1 4 yy 从点 xxxd 1 0 的一段 1 1 1 1 BA到 1 1 B 1 1 A o y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2 2 2 2 计算其中 L 为 0aaxy y BA oa a x 1 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周 方向为逆时针方向 2 从点 A a 0 沿 x 轴到点 B a 0 解解解解 1 取L的参数方程为 d 2 xy L 0 sin costtaytax xy L d 2 ttadsin2 2 0 33 3 2a 2 取 L 的方程为 xy L d 2 ta 2 0 2 sin ttad sin 1 3 2 3 3 4 a a a xd00 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x o 例例例例3 3 3 3 计算 dd2 2 yxxyx L 其中L为 1 抛物线 10 2 xxyL 2 抛物线 10 2 yyxL 3 有向折线 ABOAL 解解解解 1 原式 2 2xx xxd4 1 0 3 2 原式yyy22 2 yyd5 1 0 4 3 原式 yxxyx OA dd2 2 1 0 2 d 002 xxx1 0 1 A 1 1 B 2 yx 2 xy 1 0 xxxd 2 2 1 0 yyd 4 yxxyx AB dd2 2 1 0 d 102 yy 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例4 4 4 4 设在力场 作用下 质点由 沿 移动到 2 0 kRB 0 0 RA 2 AB 解解解解 1 1 1 1 zzyxxyddd ttkR 2 0 22 d 2 的参数方程为kttzyRx 20 0 AB zzyxxyddd k tt 2 0 d B A z y x 试求力场对质点所作的功 sin cos 1 tkztRytRx 2 22 Rk 22 2k 其中 为 zxyF sFWd sFWd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o z y x 例例例例5 5 5 5 求 d d d zyxyzxxyzI 其中 2 1 22 zyx yx 从 z 轴正向看为顺时针方向 解解解解 取 的参数方程 sin costytx 02 sincos2 tttz 2 0 I tttcos sincos22 tttttd sin cossin cos ttd cos41 2 2 0 sin cos2 tt 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系三 两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 0 lssyysxx 已知L切向量的方向余弦为 s y s x d d cos d d cos 则两类曲线积分有如下联系 L yyxQxyxPd d s s y sysxQ s x sysxP l d d d d d 0 ssysxQsysxP l dcos cos 0 L syxQyxPdcos cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 zRyQxPddd sRQPdcoscoscos 令 t A sA t d RQPA d d ddzyxs cos cos cos t sAd sAd stAd 记 A 在 t 上的投影为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例例例6 6 6 6 设 max 22 QPM 曲线段 L 的长度为s 证明 yxQyxP 续 sMyQxP L dd 证证证证 L yQxPdd sQP L dcoscos 设 sM sQP L dcoscos 说明说明说明说明 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分 在L上连 cos cos tQPA stA L d sA L dcos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例7 7 7 7 将积分yyxQxyxP L d d 化为对弧长的积 分 02 22 xyx 0 2 0 0 BO到从 解 解 解 解 o y xB 2 2 xxy x xx x yd 2 1 d 2 sdxyd1 2 x xx d 2 1 2 s x d d cos 2 2 xx s y d d cos x 1 yyxQxyxP L d d syxQyxP L d 2 2xx 1 x 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 定义 kkkk n k yQxP lim kk 1 0 L yyxQxyxPd d 2 性质 1 L可分成 k 条有向光滑曲线弧 1 kiLi L yyxQxyxPd d i L k i yyxQxyxPd d 1 2 L 表示 L 的反向弧 L yyxQxyxPd d L yyxQxyxPd d 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向 内容小结内容小结内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 计算 ty tx L t L yyxQxyxPd d tttQttPd t t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL xxxQxxP b a d x L yyxQxyxPd d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd d d t tz ty tx tttP t t t 4 两类曲线积分的联系 L yQxPdd sQP L dcoscos zRyQxPddd sRQPdcoscoscos tttQ tttR td 对空间有向光滑弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F 原点 O 的距离成正比 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 1 1 1 1 设一个质点在 yxM处受 恒指向原点 0 aA沿椭圆此质点由点1 2 2 2 2 b y a x 沿逆时针移动到 0 bB yxM x y o 0 aA 0 bB 提示提示提示提示 yykxxkWdd AB AB taxcos tbysin 2 0 t 解见 P139 例5 yxOM F 的大小与M 到原 F 的方向 力F 的作用 求力F 所作的功 yxkF F xyk 思考思考思考思考 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 1 A 0 1 0 B 1 0 0 C o x y z 2 2 2 2 已知 为折线 ABCOA 如图 计算 zyyxIddd 提示提示提示提示 I 0 0 1 d 1 yy 1 0 dx 2 2 1 1 1 2 1 0 1 d2x 1 yx 1 zy yx AB dd zyy BC dd OA xd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业作业作业 P141 3 2 4 6 7 4 5 7 8 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题备用题备用题 1 1 1 1 解解解解 z x o y A B z k 222 zyx kzjyi x z k L zyxz zzyyxx k 222 ddd L 22 tx 22 ty 1 tz 10 t 1 0 1 d3 t t k2ln3k 1 2 2 A 线移动到 2 4 4 B 向坐标原点 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比 沿直 sFW L d F 0 r 1 2 2 AB r 求 F 所作的功 W 已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 设曲线C为曲面 2222 azyx 与曲面axyx 22 0 0 的交线 az从 ox 轴正向看去为逆时针方向 1 写出曲线 C 的参数方程 2 计算曲线积分 dd