经济数学基础——微积分及应用.pdf

1 经济数学基础 经济数学基础 微积分及应用 微积分及应用 课程教案课程教案 一 课题 第一章函数与极限 1 1 函数的概念与基本性质课时 2 周次 授课日期 授课日期 地点 授课方式及手段 课堂讲授 教学目标 了解微积分的产生 发展历史 掌握函数 反函数 基本初等函数 复合函数的 概念及函数的基本性质 能分解复合函数与求函数的表达式 教学重难点 复合函数的概念及复合函数的分解 教学过程与内容 第一章函数与极限第一章函数与极限 1 1 函数的概念与基本性质 一 微积分简介 微积分 函数的概念与基本性质 一 微积分简介 微积分 Calculus 是研究函数函数的微分微分学 积分积分学及有关概念和应用的数学分支 微 积分是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 无限细分 就是微分 无限求和 就是 积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的思想看待问题 比如 子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念 子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概 念 如果将整个数学比作一棵大树 那么初等数学是树的根 名目繁多的数学分支是树枝 而树干的主要部分就是微积分 微积分是人类智慧最伟大的成就之一 极限和微积分的概念可以追溯到古代 公元前三世纪 古希腊的阿基米德在研究解决抛 物弓形的面积 球和球冠面积 螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中 就隐含着积分学 的思想 在我国古代也有比较清楚的论述 比如我国的 庄子 一书的 天下篇 中 记有 一 尺之棰 日取其半 万世不竭 三国时期的刘徽在割圆术中就提到 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆周和体而无所失矣 这些都是朴素的 也是很典型的极 限概念 到了十七世纪下半叶 在前人工作的基础上 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布 尼茨分别在自己的国度里吸取前人经验独自研究和完成了微积分的创立工作 牛顿在 1671 年写了 流数法和无穷级数 它在这本书里指出 变量是由点 线 面的连续运动产生的 他把连续变量叫做流动量 把这些流动量的导数叫做流数 牛顿在流数术中所提出的中心问 题是 已知连续运动的路径 求给定时刻的速度 微分法 已知运动的速度求给定时间内 经过的路程 积分法 德国的莱布尼茨在 1684 年 发表了现在世界上认为是最早的微积分文献 一种求 2 极大极小和切线的新方法 它也适用于分式和无理量 以及这种新方法的奇妙类型的计算 他是历史上最伟大的符号学者之一 他所创设的微积分符号 远远优于牛顿的符号 这对微 积分的发展有极大的影响 现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的 微积分是与实际应用联系着发展起来的 它在天文学 力学 化学 生物学 工程学 经济学等自然科学 社会科学及应用科学等多个分支中 有越来越广泛的应用 特别是计算 机的发明更有助于这些应用的不断发展 二 微积分的主要内容 1 函数与极限 2 导数与微分 3 导数的应用 4 不定积分 5 定积分及其应用 三 函数的概念与基本性质 1 函数的概念 定义 已知变量 x 与 y 当变量 x 在某个非空集 D 内任取一个实数时 变量 y 有惟一确定 的值与之对应 则称 y 为 x 的函数 记为 yf x 如 1 x y 2 yx 3 yx 2 反函数的概念 从函数 yf x 出发 经过代数变形 将变量 x 表示为 y 的表达式 若这个对应规则 表示变量x为y的函数 则称它为函数 yf x 的反函数 记为 1 xfy 习惯上 yf x 的反函数表示为 1 yfx 3 复合函数 1 概念 如果 y 是 u 的函数 yf u u 是 x 的函数 ux 且当 x 在 x 的定义域 或该定义域的子集取值时 所对应的 u 能使 yu 有定义 则称 yfx 是 x 的复 合函数 x 是自变量 u 是中间变 3 可见复合函数是函数的函数 例如 函数 sin 21yx 是由正弦函数sinyu 与一次函数21ux 复合而成 的 复合后的函数已经不是正弦函数了 而称之为正弦型函数 又如 由函数yu 和1ux 复合而成的函数1yx 其定义域并不是 1ux 中的 x 的取值范围 R 而是 R 的子集 1 显然复合函数的定义域是内层函数 ux 定义的一部分 值得注意的是 不是任意两个函数都能构成一个复合函数 比如 1 y u 与 2 ux 就 不能构成复合函数 2 复合函数的分解 1 从里到外 例 分解下列复合函数 2 1yx 2 1 uxyu lg 1 10 xy 1 10 lg x uyu 3 sin 5yx 3 5 sin vx uv yu 2 从外到里 例 分解下列复合函数 1 10 xy 2 1yu ux 2 lg 1yx lg 1 10 xyu u 3 sin 5yx 3 sin 5yu uv vx 学生练习 1lnyx sin x ye 2 arctanyx lncosyx cos lnvx uv yu 4 1 tan x ye 1 tan v vueyu x lnlnlnyx ln ln lnvx uv yu 4 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数统称为基本初等函数 5 分段函数与初等函数 已知函数定义域被分成有限个区间 若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一 样 但单独定义各个区间公共端点处的函数值 或者在各个区间上表示对应规则的数学表达 式不完全一样 则称这样的函数为分段函数 初等函数是指由常数与基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算 并 可以用一个数学式子表达的函数 例 2 arcsin 1sin 2sin3 2 x xx yxx yye x x 基本初等函数经过有限次的四则运算形成的函数 有时也称为简单函数 高中以前学过的函数 绝大多数都是初等函数 函数的种类很多 人们为了表达量与量之间的关系 创建或自定义一个函数 只需要 表明对应关系 一对一或多对一 和定义域即可 6 函数的基本性质 1 单调性 设函数 yf x 的定义域为 D f 区间 ID f 若对任意的 1 x 2 xI 且 12 xx 都有 12 f xf x 则称函数 f x在I上是单调增加的 反之若都有 12 f xf x 则 称函数 f x在I上是单调减少的 函数单调增加或单调减少统称为函数的单调性 单调增加函数y随自变量x的增大而增大 函数的图形由低到高 单调减少函数y随自 变量x的增大而减少 图形由高到低 2 奇偶性 设函数 yf x 的定义域 D f是关于原点对称的 如果对于任一 xD f 都有 fxf x 则称 f x为偶函数 其图形关于y轴对称 如果对任一 xD f 都有 5 fxf x 则称 f x为奇函数 其图形关于原点对称 3 有界性 设 函 数 yf x xD f 如 果 存 在 正 数使 得 对 一 切 xD f 都 有 f xM 则称 yf x 在 xD f 内有界 如果不存在这样的正数M 则称函数 yf x 在 xD f 内无界 4 周期性 设函数 yf x xD f 如果存在常数0T 使得对任何 xD f 都有 xTD f 且 f xTf x 则称 f x为周期函数 满足上式的最小正数T称为 f x的周期 周期函数在每一个周期内的图形相同 7 基本初等函数的性质 请同学们参阅教材 1 幂函数 yx 幂函数没有统一的定义域 例 2 yx 9 yx 1 1 x yx 9 9 1 yx x 1 2 yxx 2 3 32 yxx 1 21 x yx 2 3 32 1 x yx 2 指数函数 x ya 0 1aa 3 对数函数logayx 1ao a lg0 1 a yx aa lnyx 4 三角函数 sin cos tan cot yyyy 5 反三角函数 6 arcsin arccos arctan cot yyyyarc 8 函数值的表达式 1 已知函数 f x与 u x 求复合函数 f u x的表达式 方法 把 x 改为括号 在括号内填上中间变量 化简便得 f u x 例 已知函数 1 1 x f x x 求复合函数 ff x 解 把 x 改为括号 1 1 f 在括号内填上中间变量 1 1 1 1 1 1 x x ff x x x x 2 已知复合函数 f u x 求函数 f x的表达式 方法 令中间变量 uu x 代入计算得到函数 f x 把中间变量 u 换成 x 例 已知复合函数 24 11f xx 求函数 f x 解 令 22 11uxxu 2 42 11122xuuu 即 2 22f uuu 2 22f xxx 课后练习 习题一 阅读参考书目 教学小结 7 微积分 微积分 课程教案课程教案 二 课题 第一章函数与极限 1 2极限的概念与运算 1 2极限的概念与运算课时 2 周次 授课日期 授课日期 地点 授课方式及手段 课堂讲授 教学目标 理解极限的概念 会用法则求函数的极限 教学重难点 求函数极限的方法 教学过程与内容 1 2 极限的概念与运算 极限的概念 定义 1 已知函列 123 n y yyy当n 时 若一般项 n y无限接近于常数 A 则 称当n 时数列 n y的极限为 A 记为 lim n x yA 例 补充 根据数列极限的定义 讨论下列数列当n 时的极限 1 11 4 31 2 11 2 3 4 n n 11 lim 111 n x n 2 1 1 11 2 4 62 n 1 lim0 2 n n 3 1 2 3 2 3 41 n n 1 limlim1 1 1 1 xx n n n 4 111 1 1 1 242n 不存在 定义 2 已知函数 f x在两个端点皆为无限端点的无限区间内有定义 当x 时 若函数 f x无限接近于常数 A 则称当x 时函数 f x的极限为 A 记为 lim x f xA 注意到x 要同时考虑x 和x 因此 lim lim 0 lim x x f xA f xA x fxA 8 例 考察函数 1 y x 当x 时 函数值的变化趋势 解 1 lim0 1 lim0 x x x x 1 lim0 x x 例 讨论 21 lim x x x 解 211 2 x xx 当x 时 1 2 x 无限接近 2 21 lim2 x x x 定义 3 已知函数 f x在点 0 x左右有定义 当 0 xx 时 若函数 f x无限接近常数 A 则称当 0 xx 时函数 f x的极限为 A 记为 0 lim xx f xA 注意到 0 xx 要同时考虑 0 xx 和 0 xx 因此 0 0 0 lim lim lim xx xx f xA f xA xx f xA 0 lim xx fxA 叫右极限 0 lim xx fxA 叫左极限 2 极限的运算 1 法则 1 加 减 乘 除的极限 limlimlimuvuv limlim limuvuv lim lim lim u u vv 2 复合函数的极限 9 limlimf u xfu x 3 初等函数的极限 0 0 lim xx f xf x 4 常系数的极限 limlimkuku 例 1 11 limsinsin limsin00 xx xx 3 123 12 lim2 2 1321 x x x 0 limlg 2lg 20lg2 x x 22 2 1111 22 2 1 11 1 lim25limlim2lim5 251 251 lim 7limlim71 72lim7 xxxx x xx x xxxx xx xxx 32 3 32 3 42 3 3423 limlim 53 7537 7 xx xx xx xx xx 000 limlimlim11 xxx xx xx 3 无穷大量与无穷小量 1 无穷大 若变量 y 的绝对值在变化过程中无限增大 则称变量 y 为无穷大量 记为 lim y 例 1 21 y x 当 1 2 x 时 210 x 所 以 1 21x 为 无 穷大 记 为 1 2 1 lim 21 xx 2 logyx 当0 x 或x 时 2 log x都 是 无 穷 大 记 为 2 0 lim ln x g x 或 2 lim ln x g x 1 2 x y 当x 时 1 2 x 为无穷大 记为 1 lim 2 x x 2 无穷小 10 若极限 lim0 y 则称变量y为无穷小量 例 1 21 y x 11 lim0 2121 x x xx 为无穷小 24 yx 2 lim 240 2 24 x xxx 为无穷小 0 1 x yaaa 1 x axa 为无穷小 又01 x axa 为无穷小 3 无穷大与无穷小的性质 无穷小性质 2 的应用 1 limsin0 x x x 无穷小与有界函数的积仍为无穷小 4 无穷小与无穷大的关系 无穷小与无穷大的关系的应用 2 1 1 lim 1 x x x 因为分母是1x 的无穷小 所以 它的倒数就是无穷大 5 无穷小量的阶 课后练习 阅读参考书目 教学小结 11 微积分 微积分 课程教案 三 课程教案 三 课题 第一章函数与极限 1 2 极限的概念与运算 1 2 极限的概念与运算课时 2 周次 授课日期 授课日期 地点 授课方式及手段 课堂讲授 教学目标 理解未定式极限与两个重要极限理解未定式极限与两个重要极限 教学重难点 未定式极限的计算 教学过程与内容 4 未定式极限 1 未定式极限的类型 1 0 0 型 例 3 1 1 lim 1 x x x 2 型 例 2 51 lim 32 x xx x 3 0 型 例 lim2 sin 2 n n n 4 型 例 22 lim11 x xx 2222 22 1111 11 lim x xxxx xx 5 1 型 例 1 lim 1 x x x 6 0 0型 例 略 7 0 型 例 略 例 1 2 2 2 56 0 lim 40 x xx x 解 原式 2 231 lim 224 x xx xx 例 2 1 312 lim 1 x x x 0 0 12 解 原式 1 312312 3 lim 4 1312 x xx xx 例 3 5 43 0 lim 012 x x x 先分母有理化 再分子有理化 例 4 2 2 534 lim 761 x xx xx 5 7 例 5 lim1 n nn 解 原式 11 0 1 nnnn nn 2 重要极限 1 0 sin lim1 x x x 0 0 例 6 0 sin70 lim 0 x x x 解 原式 0 sin7 lim77 7 x x x 例 7 0 sin70 lim 20 x x x 解 原式 00 7 sin77sin77 limlim 272 72 xx xxx xxx 例 8 0 sin lim 7 x x x 1 7 2 1 lim 1 x x e x 1 例 9 33 111 lim 1lim 11 xx xx e xxx 例 10 33 111 lim 1lim 11 xx xx e xxx 例 11 33 1111 lim 1lim 11 xx xx xxxe 13 例 12 3 3 3 11 lim 1lim1 xx xx e xx 例 13 3 3 3 11 lim 1lim1 xx xx e xx 例 14 3 31 11 lim 1lim11 xx xx xx 例 15 2525 2 111 lim 1lim11 xx xx e xxx 例 16 3 3 3 31 lim 1lim1 3 x x xx e x x 例 17 6 3 255 6 313 lim 1lim11 3 x x xx e x xx 例 18 1 1 1 111 lim 1lim 1lim1 x xx xxx e xxx 例 19 3 3 3 33 lim 1lim1 x x xx e xx 课后练习 阅读参考书目 教学小结 小结 师生共同总结 0 sin lim x kxk hxh 想办法变为分母与分子函数的角度相同来求解 1 lim1 u x u x e u x 想办法变为括号内分母与括号外指数相同求解 14 微积分 微积分 课程教案 四 课程教案 四 课题 第一章 函数与极限 1 4 函数的连续性课题 第一章 函数与极限 1 4 函数的连续性课时 2 周次 5授课日期 授课日期 地点 授课方式及手段 课堂讲授 教学目标 教学重难点 教学过程与内容 三 函数的连续性 1 概念 已知函数 f x在点 0 x处及左右有定义 若有关系式 0 0 lim xx f xf x 则称函数 f x在点 0 x处连续 引导学生观察函数 2 yx 与 1 y x 的图形 知道函数 2 yx 的图形在坐标原点不断开 我们说函数在0 x 处连续 而函数 1 y x 的图形在坐标原点断开了 我们说函数在0 x 处 不连续 由以上概念知道函数 yf x 在点 0 x处连续等价于 0 lim0 x y 2 连续函数的性质 略 43 p 3 判断函数连续的方法 1 定义法 1 f x在点 0 x及左右有定义 2 0 lim xx f x 存在 3 极限值 0 lim xx f x 等于函数值 0 f x 例 2 44 p 解 1 函数 f x在0 x 及近旁有定义 2 2 1 00 limlim0 x xx f xe 且 00f 15 3 0 lim00 x f xf 分段函数 f x在分界点0 x 处连续 2 应用定理 1 6 判断函数的连续性 0 lim0 x y 例 补充 证明函数 2 31f xx 在点1x 处连续 解一 1 函数 2 31f xx 的定义域为 函数在点1x 及近旁有定义 2 2 1 lim 312 x x 且 2 13 112f 3 1 lim12 x f xf 函数 2 31f xx 在点1x 处连续 解二 2 2 313132yfxxf xxxxxx 00 limlim 320 xx yxx 因此函数 2 31f xx 在点1x 处连续 课后练习 阅读参考书目 教学小结 16 微积分 微积分 课程教案 五 课程教案 五 课题 第一章函数与极限复习课时 2 周次 授课日期 授课日期 地点 授课方式及手段 课堂讲授 教学目标 教学重难点 教学过程与内容 本章主要内容 函数的定义域 求定义域的方法 1 分式函数 1 0p x p x 则 2 偶次根式 2 nq x n 是正整数 则 0Q x 3 对数式 log 0 1 0 aR x aaR x 则 4 反正弦函数 arcsinarccos 11s xs xs x 与反余弦则 函数值与值域 1 已知函数 f xu x与 求复合函数 f u x的表达式 方法 把自变量x改为括号 在括号内填上中间变量 u x 2 已知复合函数 f u x求函数 f x的表达式 方法 令中间变量 uu x 通过计算得到函数 f u的表达式 把中间变量u换成x 极限运算 1 0 0 lim xx f xf x 例 22 2 11 21 lim 122 15 x x xx 2 加 减 乘 除的极限 17 3 复合函数的极限 limlimf u xfu x 例 11 lim 0 lim1 xxx x eee 4 未定式极限 主要是 0 0 型与 型 5 重要极限 0 sin lim1 x x x 1 0 1 lim 1lim 1 x z xz eze x 注意它们的变形 复合函数的分解 略 习题一 46 48 p 1 求下列函数的定义域 补充 1 4 4 yxD 2 2 2 log1 11 yxD 3 2 1 3 x yx x 33 1D 4 1 lg5 y x 5 66 D 2