一类高考解析几何试题根源的探究.pdf

l 2 福建中学数学 2 0 0 9年第 1 期 非常值可导函数 而 厂 是以 为周期的连续函 数 那么f x 为周期函数且与 周期相等的充要 条件是f T f O 1 例 4讨论函数 f x C O S s i n 的周期性 解 厂 x 6 c o s 一 s i n x 6 s i n X C O S X 一 6s i nxc o s x c o s s i n 3 s i n2 xC O Sx2 x 一 3 s i n4 2 显然 厂 是以 厅 2为周期的连续函数 且 厂 厂 0 1 所以 厂 也是以 2为周期的期 函数 例 5讨论函数 f x X s i n 的周期性 解 厂 x l C O S Y 显然 厂 是 R上以2 为周期的连续函数 但 f 2 x 2 r f O 0 故 f 2 n f O 所以f x 不是周期函数 综上所述 通过对问题的反思与求证 发现导 数不仅可以研究函数的单调性 极值 最值 拐点 凹凸性 而且还可以研究函数的奇偶性 周期性 高 中数学课本对于这一部分知识点虽然还没有涉及 但是在课标理念下 数学教师还是需要具备这方面 的知识 随着基础教育课程改革的不断深入 提高教师 的专业素质 培养具有专业化水准的教师已成为教 育改革的一项重要任务 教学反思作为教师专业化发 展的一条重要途径 必将有利于引领教师成长为研 究型 专家型 学者型教师 参考文献 1 张夏强 透析一道 高观点 下的高考题 福建 中学 数学 2 0 0 8 1 6 7 2 陈向华 与奇偶函数及周期函数相关的积分运算中 的几个问题 阴山学刊 自 1 9 9 7 1 4 1 5 8 6 2 一 类高考解析几何试题根源的探究 苏立标 浙江省杭州师范大学附属中学 3 1 0 0 3 0 在圆锥曲线中有许多特殊的弦 其中有关垂直 弦的问题在近几年高考中逐渐成为热点问题 本文 通过把这几个高考试题罗列在一起 对它们的来龙 去脉及问题的本质进行剖析 以期从中发现高考命 题的轨迹 为高考命题与复习提供参考 问题 2 0 0 8年福建省高考数学文科试题 如 y 2 1 2 图 椭 圆 C l a b 0 的一 个 焦点 为 F 0 0 且过点 2 0 I 若 A B为垂直于 X轴的动 弦 直线 X 4与X轴交 干点 直线 A F与B N交 于点 M i 求证 点 M 恒在椭圆c上 i i 略 1 X o 5 m 8 2m 5 所以 芷 蓝 二 1 4 3 4 2 m 5 1 即点M 恒在椭圆C上 引申 1 椭圆C X 斗 l a b 0 的一个焦 点为 F c 0 若 A B为垂直于 轴 的动弦 直线 求椭圆c的方程 I I 与 轴交于点 直线 F与 交于点 I 一 I 解 I 由题设易得椭圆方程为 1 y 1 r 4 I I 易得 F 1 0 N 4 0 设 A m r 1 则 B m n 所以A F与B N的方程分别为 n x 1 一 m一 1 y 0 n x 一4 一 一4 y 0 设交点 坐标为 则点 肘 恒在椭圆C上 证 明 设 A m 则 e m 一 所以 A F与 B N 的方程分别为 n x c 一y m C 0 一 一 0 C C 设交点 M 坐标为 X o Y o 则 b m e 而 a I 十 c J 2 0 0 9年第 1 期 福建中学数学 1 3 丽1 一 m a 2 c 2 2 a 2 c 2 a Z b 2 n 2 x 一 l J 2 m c 一 日 c a 因为 在椭圆上 所以 m z 1 即 a 2 b 口 一 c 口 一m 把 代入 整理得 y o 1 所以点 恒在 椭圆 C上 引申 1 可以换一种等价的说法 引 申1 1 椭 圆C l a b 0 e 焦点为F c 0 若 A B为垂直于X轴的动弦 直线 1 x 与x轴交于点N 直线 A F与椭圆C交于点 M 则点 B M N三点共线 引 申 2 椭 圆 C l a b 0 定 点 E m 0 若 A B 为垂 直 于 X轴 的 动弦 直 线 l X 0 2 m与 轴交于点 直线 A E与椭圆 C交 于点M 求证 点 B M N三点共线 思路 设直线B M 交 轴于 点 证明 与 重合 先证明 若 丽 则丽 证明 1 设直线 B M 交 轴于 点 连结E B 因为直线 A B垂直于 轴 所以A与B关于 X轴对 称 而 E在 轴上 则在 A A MN1 中 E N 平分 Z MN A 由内角平分线定理可知 l E M f E A l l MN 1 NI B1 设 E M 31 E A E M与 同向 故 0 则 MN1 f I NI B l 又 M N B在同一直线且 MN 1 与 同向 于是有 一MN 31 N I B 2 设过E re O 的直线 与椭圆 1 交 于 M x l A x Y 2 贝 0 B x 2 一 Y 2 由一E M 砑 则 兰 由 2 N tB 皆 由 x 得rnx 三 冬 生 Y L x a 菩 b 1 日 6 Y 31 y 由 冀一 堡 1 口 2 一 五 得 X 一312 x a 2 1 一 由 可知 m x 口 所 以 B与 B t m 重合 从而 B C E三点共线 该命题对于双曲线 同样成立 高考试题链接 2 0 0 4年天津市高考试题理科数 学压轴题 椭圆的中心是原点 0 它的短轴长为 2 4 5 相应于焦点F c o c 0 的准线 与 轴相交 于点 A l O FJ 2l l 过点 的直线与椭圆相交 于 P Q两点 I 求椭圆的方程及离心率 I I 若 O P O Q 0 求直 线 尸 Q 的方 程 I I I 设 一A P 3 1 一A Q 1 过点P且平行于准线 的直线 与椭圆相交于另一点 证明一F M 一 31 一F Q 引 申 3 椭 圆 C 1 b 0 定点 a o 2 E m 0 直线 X 一 u l与X轴交于点 直线A E与 m 椭圆 C 交于点 M 若 与椭圆交于点 则直线A B垂直于X轴 证明 设点 M x Y A x Y 2 B x 3 则直线 的方程为 Y XI 一 把直线 的方程代入双曲线方程 整理得 6 X a 2 y 一 2 b m x l b 2 一 2 a a 2 y m 一 a Z b 1 一 0 由于 b 2 x a Y a 2 b 故 b 一 2 b 6 m I x 一 2 a H 口 y 6 一 b Z x 2 b 脚 1 0 又因为b Z x a y a 2 b 所以口 一 6 一 6 代入上式 方程又可化简为 a 2 b 一 2 b h i m I x 一 2 a x b 一 日 6 2a b mx 0 福建中学数学 2 0 0 9年第 1 期 由已知 显然 a 2 b 一2 b 6 m 0 于是 x m a 2 一 2 a m x l x x 2 二一 一 因为 x 得 一 同理 直线MN 的方程为 lL 一 X I a 所以只要把 中 换成 就可以得到 d 一 2 一 一 d 一 2 a m X n2 1 az x l 一2 a 垅 一 a 2 2 眦 所以X X 故直线 A B垂直于 X轴 该命题对 于双曲线同样也成立 高考试题链接 2 0 0 6年天津市高考数学试题 已 知 双曲 线三一 l d 0 b o 1 o 设 口一 D 0 和 B O 是 轴上的两点 过点 A作斜率 不为 0的直线 使得 交双曲线于 C D两点 作 直线BC交双曲线于另一点 E 证明 直线 D E垂直 于X轴 从统一的角度去看的话 三道高考题的本质上 都涉及到两个三点共线和一条垂直弦 由其中的任 意两个条件都可以推出第三个 就分别构成了这三 道高考试题 所以从这个角度去讲的话 这三个高 考试题是同根同源 水乳交融的 参考文献 l 苏立标 圆锥曲线中一对奇异的 伴侣点 数学教 学 2 0 0 7 2 1 2 1 4 一 道高考压轴题的剖析 蒋建江 浙江省绍兴市高级中学 3 1 2 0 0 0 今年浙江省高考数学试卷理科第2 2 题是一道数 列和不等式两大热点相互渗透和交叉的综合题 从阅 卷反馈的情况看 本题失分较多 很多考生答题不 完整甚至选择放弃 那么 是不是这道题真的很难 或解法奇特不易想到 其实不然 它的解法很普通 无任何玄妙之处 这反映出虽然学生平时做过大量的 练习 但缺少对基本知识和基本方法的比较分析 在解题中思维受阻后 不能抓住问题的本质去寻找 合理的突破口 下面就该题 I T I I 两问的不同 证法及思路逐一进行剖析 题 已 知数列 a 中 口 0 d l 0 l a 1 1 Q n2 H N 记 日 口 2 口 1 a I 1 当n N 时 I 一 求证 一 累址 f 1 口 1 1 a 2 n a 一2 I l 1 3 I 分析 l 先求出数列的通项 进而比较 大小 无疑是一个十分自然的思路 但考虑到给出的 递推公式很难求出其通项 因此 自然想到另一个 证明数列不等式的常用方法 数学归纳法 证 法1 当 1时 因 为 a 是 方 程 一 1 0的正根 所以a 假设当 k k