2019年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案).doc

2019年中考数学专题复习第六章 圆第二十二讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，是 类，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2018孝感）已知O的半径为10cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm【思路分析】分两种情况进行讨论：弦AB和CD在圆心同侧；弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解【解答】解：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，AB=16cm，CD=12cm，AE=8cm，CF=6cm，OA=OC=10cm，EO=6cm，OF=8cm，EF=OF-OE=2cm；当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，AB=16cm，CD=12cm，AF=8cm，CE=6cm，OA=OC=10cm，OF=6cm，OE=8cm，EF=OF+OE=14cmAB与CD之间的距离为14cm或2cm故答案为：2或14【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解考点二：圆周角定理例2 （2018枣庄）如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作O交AB于点D（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明理由【思路分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CDAB，易知ACDABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长（2）当ED与O相切时，由切线长定理知EC=ED，则ECD=EDC，那么A和DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点在证明时，可连接OD，证ODDE即可【解答】解：（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接CD，BC为直径，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB； ， ；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；证明：连接OD，DE是RtADC的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED与O相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识【备考真题过关】一、选择题1. （2018相山区）如果两个圆心角相等，那么（）A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对2（2018张家界）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A8cmB5cmC3cmD2cm3（2018临安区）如图，O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交O于B、C点，则BC=（）A6 B6 C3 D34（2018枣庄）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30，则CD的长为（）A B2 C2D85 （2018乐山）九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A13寸B20寸C26寸D28寸6（2018聊城）如图，O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC若A=60，ADC=85，则C的度数是（）A25B27.5C30D357（2018菏泽）如图，在O中，OCAB，ADC=32，则OBA的度数是（）A64B58C32D268（2018白银）如图，A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方A上的一点，连接BO，BD，则OBD的度数是（）A15B30C45D609（2018盘锦）如图，O中，OABC，AOC=50，则ADB的度数为（）A15B25C30D5010（2018济宁）如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则BOD的度数是（）A50B60C80D10011（2018南充）如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC=32，则B的度数是（）A58B60C64D6812（2018阜新）AB是O的直径，点C在圆上，ABC=65，那么OCA的度数是（）A25B35C15D20二、填空题13（2018随州）如图，点A，B，C在O上，A=40度，C=20度，则B= 度14（2018烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 15. （2018黑龙江）如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD=6，EB=1，则O的半径为 16. （2018玉林）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是 cm17. （2018梧州）如图，已知在O中，半径OA=，弦AB=2，BAD=18，OD与AB交于点C，则ACO= 度18. （2018杭州）如图，AB是O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DEAB，交O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则DFA= 19. （2018吉林）如图，A，B，C，D是O上的四个点， ，若AOB=58，则BDC= 度20. 如图，点A、B、C都在O上，OCOB，点A在劣弧上，且OA=AB，则ABC= 21. （2018海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 三、解答题22（2018宜昌）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积2019年中考数学专题复习第六章 圆第二十二讲 圆的有关概念及性质参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据圆心角定理进行判断即可【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等故选：D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等2.【思路分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在RtOCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度【解答】解：弦CDAB于点E，CD=8cm，CE=CD=4cm在RtOCE中，OC=5cm，CE=4cm，OE= =3cm，AE=AO+OE=5+3=8cm故选：A【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键3.【思路分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长【解答】解：设OA与BC相交于D点AB=OA=OB=6OAB是等边三角形又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得 ，所以BC=6故选：A【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理4.【思路分析】作OHCD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OHCD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA-AP=2，接着在RtOPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在RtOHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2【解答】解：作OHCD于H，连结OC，如图，OHCD，HC=HD，AP=2，BP=6，AB=8，OA=4，OP=OA-AP=2，在RtOPH中，OPH=30，POH=60，OH=OP=1，在RtOHC中，OC=4，OH=1， ，CD=2CH=2故选：C【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质5.【思路分析】设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可；【解答】解：设O的半径为r在RtADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，O的直径为26寸，故选：C【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型6.【思路分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出B以及ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案【解答】解：A=60，ADC=85，B=85-60=25，CDO=95，AOC=2B=50，C=180-95-50=35故选：D【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出AOC度数是解题关键7.【思路分析】根据垂径定理，可得，OEB=90，根据圆周角定理，可得3，根据直角三角形的性质，可得答案【解答】解：如图，由OCAB，得，OEB=902=32=21=232=643=64，在RtOBE中，OEB=90，B=90-3=90-64=26，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出，OEB=90是解题关键，又利用了圆周角定理8.【思路分析】连接DC，利用三角函数得出DCO=30，进而利用圆周角定理得出DBO=30即可【解答】解：连接DC，C（，0），D（0，1），DOC=90，OD=1，OC=，DCO=30，OBD=30，故选：B【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出DCO=309.【思路分析】连接OB，由垂径定理及圆心角定理可得AOB=AOC=50，再利用圆周角定理即可得出答案【解答】解：如图连接OB，OABC，AOC=50，AOB=AOC=50，则ADB=AOB=25，故选：B【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理10.【思路分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得BAD+BCD=180，即可求得BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，点A、B，C，D在O上，BCD=130，BAD=50，BOD=100，故选：D【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法11.【思路分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出C=32，利用直径和圆周角定理解答即可【解答】解：OA=OC，C=OAC=32，BC是直径，B=90-32=58，故选：A【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用12.【思路分析】根据直径得出ACB=90，进而得出CAB=25，进而解答即可【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，ABC=65，CAB=25，OA=OC，OCA=CAB=25，故选：A【点评】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键二、填空题13.【思路分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到OAC=C=20，根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：如图，连接OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=60，OA=OB，B=OAB=60，故答案为：60【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键14.【思路分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D， ，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（-1，-2），故答案为：（-1，-2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置15.【思路分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可【解答】解：连接OC，AB为O的直径，ABCD，CE=DE=CD=6=3，设O的半径为xcm， 则OC=xcm，OE=OB-BE=x-1，在RtOCE中，OC2=OE2+CE2，x2=32+（x-1）2，解得：x=5，O的半径为5，故答案为：5【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键16.【思路分析】先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【解答】解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，OCAB，BD=AB，由图知，AB=16-4=12cm，CD=2cm，BD=6，设圆的半径为r，则OD=r-2，OB=r，在RtBOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，r2=36+（r-2）2，r=10cm，故答案为10【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键17.【思路分析】根据勾股定理的逆定理可以判断AOB的形状，由圆周角定理可以求得BOD的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得AOC的度数【解答】解：OA=，OB=，AB=2，OA2+OB2=AB2，OA=OB，AOB是等腰直角三角形，AOB=90，OBA=45，BAD=18，BOD=36，ACO=OBA+BOD=45+36=81，故答案为：81【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答18.【思路分析】利用垂径定理和三角函数得出CDO=30，进而得出DOA=60，利用圆周角定理得出DFA=30即可【解答】解：点C是半径OA的中点，OC=OD，DEAB，CDO=30，DOA=60，DFA=30，故答案为：30【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用垂径定理和三角函数得出CDO=3019.【思路分析】根据BDC=BOC求解即可；【解答】解：连接OC，AOB=BOC=58，BDC=BOC=29，故答案为29【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型20.【思路分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可【解答】解：OA=OB，OA=A