2013南华大学考研数学讲座--极限的题型题法系统.doc

2013智轩考研数学讲座系列 电2013海天考研数学讲座之一极限的题型题法系统 主讲单位：智轩考研数学培训中心主讲人： 智轩 教授2011年9月23日极限的题型题法系统一、口诀考研极限7大类， 强行代入试真迹；指洛泰等变两定（拉）， 辨型定法多思量。口诀解析：考研极限7大类是指下列7种“不定式” 反过来，如果已知某间断函数整体的极限存在，则必为上述7种极限形式之一，此结论在考研中经常使用。求极限时，首先强行代入，如果能直接得出值，则为连续函数；如果不能得出值，就是间断函数，这时，需要先定型（属于上述7类哪一种），再根据相应的方法解决它，即后定法，关于如何求极限的系统方法将在随后讲述。指洛泰等变两定（拉）-极限10大基本法取指数。洛比达法则（），转化成洛比达型，比如，对等，提出最大的公因子转化。利用泰勒公式等价无穷小替换。变量变换（代数、三角、倒数、根式、同除等）；（包括三角和差化积或积化和差）分解或根式有理化。抓大头与抓小头，所谓两头。利用极限定义利用导数定义的必要条件利用定积分定义利用拉格朗日中值定理。 求极限万能入口：1。先把趋向点的值强行代入，如果能得到值，则直接得到结论，也说明函数连续；2。否则就要判断属于前述7类不定式的哪一类型极限，即先定型，再优先考虑等价替换；3。再根据相应类型求极限的方法解答，即后定法。二、极限的几个容易忽视的问题1极限是错误的，因为时，分母无意义。又如并不是极限的定义。2设，求。解本题的关键是求极限不要考虑的函数值。 其中是干扰项，因为求极限并不要求函数连续，如果修改定义，这时为连续函数，这正是可去间断点的由来。3已知在处可导，且，求极限，则根据极限的唯一性，可以取满足的任何形式，求得的极限值是唯一的，不妨取，则。4脱帽定理 极限的脱帽法是解决极限的逆问题的重要方法。符号表示无穷小量，即；而符号表示关于的高阶无穷小量，至于高几阶不确定，但必须满足。三、常用的等价无穷小升级函数的等价无穷小是以幂次小的为基准，比如，即所谓的抓小幂。函数形式的等价无穷小的表示方法为：。上述公式的逆向思维同样重要，比如判断无穷小的阶次，利用，就方便得多。 例如求极限解。四、常用函数在变量趋于无穷大情形下的阶次高低级别 的速度排列（由慢到快，即无穷大阶次由低到高），此结论相当重要，务必记住，尤其对抓大幂求极限提供了快速通道。五、基本极限结论基本极限1 。 注意：。基本极限2 。 注意为严格单调增加的，证明如下：智轩第1技 利用上式立即得出：。基本极限3 基本极限4 所谓抓大幂次，就是抓幂次最高的一项前面的系数。基本极限5 所谓抓小幂次，就是抓幂次最低的一项前面的系数。基本极限6 。【例1】求极限解抓小幂次，由于，分子最小头是（的等价无穷小），分母最小头是（的等价无穷小），故。【例2】解抓大幂次，直接提取相应项的系数 。【例3】【例4】【例5】求极限 。 解 ，时：。【例6】【例7】求极限。解。【例8】求极限。解。【例9】设在可导，且在连续，求。【解】 。【例10】求极限的值。 解。【例11】求极限。解一 。解二【例12】求极限的值。解 。【例13】求极限.解利用定积分定义法求极限的根据 注意：实际应用中注意以下两点：一般区间为；转换公式 本题解法【例14】求极限。解令，转化为函数极限，1。【例15】求极限解，注意到 【例16