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2010年全国高中数学联赛试题一.填空题(每小题7分，共56分) 1. 已知是非负整数,满足，则 . 2. 设，函数和的图像交于点且它们分别与轴交于和点，若三角形的面积是，则 . 3. 已知是公差为正数的等差数列的前项之和，如果在时取到最小值, 则的取值范围是 . 4. 已知函数在的切线和轴交于，如果, 则 .5. 函数对于一切满足不等式，则 ；6. 锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是 ；7. 是椭圆上的一动点，和 是椭圆的两个焦点，则的取值范围是 ；8. 用3种颜色给立方体的8个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染4个顶点则任一棱的两个端点都不同色的概率是 ； 二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9. 已知，求的值. 10. 设是的一个排列（），求证：.11.对任意的正整数,证明恒等式.12. 设是一些互不相同的4元数组的集合，其中或, 已知的元素个数不超过且满足：若，则且求的元素个数的最大值解 答1. 19 提示： ,故，于是应填.2. 2 提示：由和的图像知三角形是底为的等腰直角三角形,故其面积，于是. 应填.3. 提示：设，则，于是由题设知 ，由此可得，故的取值范围是4.3 提示： 由知，于是在的切线方程为它与轴交于点，故，由此可得又，故，所以应填5. 0 提示： ，由此得 ， 从而（常数）故应填6.提示：由题设及余弦定理，于是 而上式等号成立当且仅当7. 提示：设，则有，于是 注意到，即有，也即（其中），故有8. 提示：当其中一种颜色染4个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的4个顶点于是满足要求的染色方法共有(种)若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染4个顶点的染法只有2种，此时其余两种颜色仍可任意染色剩余的4个顶点于是这样的染法共有(种)故所求概率为. 9. 由及可得，于是.注意到从而=.10.由柯西不等式容易得到：从而有11.证明：.12. 显然所有可能的4元数组有16种因为至少有一个那样的4元数组不在中，所以，和中至少有一个不在中，若不然由题中条件可推出所有那样的4元数组都在中，不妨设 此时由题中条件又知，和中至少有2个不能在中，不妨设和不在中此时又可知和不能同时在中，不妨设不在中于是的元素个数不超过个现在设是所有可能的16个4元数组中去掉，和后所成的集合，我们要证满足题中条件，从而的元素个数最大值为任取. （1）若或或，则显然不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于又（2）若或且，则，由此推出或不属于，这种情况不会出现类似地有：（3）若或或，则显然不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，
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