黄昆固体物理习题解答.pdf

第一章 晶体结构 1 1 如果将等体积球分别排列成下列结构 设x表示钢球所占体积与总体积之比 证明 结构 x 简单立方 60 52 体心立方 3 80 68 面心立方 2 60 74 六方密排 2 60 74 金刚石 3 160 34 解 设钢球半径为r 根据不同晶体结构原子球的排列 晶格常数a与r的关系不同 分别 为 简单立方简单立方 2ar 体积为 33 8ar 每个晶胞包含一个钢球 体积为 3 4 3r 所以 60 52x 体心立方体心立方 34ar 体积为 33 4 3 ar 每个晶胞包含两个钢球 体积为 3 8 3r 所以3 80 68x 面心立方面心立方 24ar 体积为 33 4 2 ar 每个晶胞包含四个钢球 体积为 3 16 3r 所以2 60 74x 六方密排六方密排 2 8 3ar ca 体积为 3 8 2r 一个元胞内包含两个钢球 体积为 3 8 3r 所以2 60 74x 金刚石 金刚石 根据金刚石结构的特点 因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴 因此有 1 3 2 4 ar 所以晶胞体积为 3 33 8 3 ar 每个晶胞包含 8 个原子 体积为 3 4 8 3 r 则 3 0 34 16 x 1 2 试证六方密排堆积结构中 12 8 1 633 3 c a 证明 如图所示 六方密堆结构的两个晶格常数为a和c 右边为底面的俯视图 而三个正三角形构成的立体结构 其高度为 22 2 33 a haa 所以 8 21 633 3 chaa 1 3 证明 体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方 证明 体心立方格子的基矢可以写为 2 2 2 a a a 1 2 3 aijk aijk aijk 面心立方格子的基矢可以写为 2 2 2 a a a 1 2 3 ajk aki aij 根据定义 体心立方晶格的倒格子基矢为 3 2 2 2 22 2 aa a a a 123 baa ijkijk kjkiji jk 同理 a 2 3a 2 2 a a 2 3 bki bij 与面心立方晶格基矢对比 正是晶格常数为4 a 的面心立方的基矢 说明体心立方晶格的 倒格子确实是面心立方 注意 倒格子不是真实空间的几何分布 因此该面心立方只是形式 上的 或者说是倒格子空间中的布拉菲格子 根据定义 面心立方的倒格子基矢为 3 2 2 4 22 2 aa a a 123 baa kiij ijk 同理 2 2 a a 2 3 bijk bijk 而把以上结果与体心立方基矢比较 这正是晶格常数为4a 的体心立方晶格的基矢 1 4 证明 倒格子原胞的体积为 3 2 c 其中 c 为正格子原胞的体积 证明 如果晶体原胞基矢为 2 13 aaa 则原胞体积为 123 c aaa 根据定义 倒格子基矢为 233112 123 2 2 2 ccc aaaaaa bbb 则倒格子原胞的体积为 123 3 233112 3 2331213112 3 233121 3 2 2 2 2 c c c c c bbb aaaaaa aaaaaaaaa a aaaaaa 1 5 证明 倒格子矢量 1 1223 3 Ghbh bh b 垂直于密勒指数为 1 23 hh h的晶面系 证明 根据定义 密勒指数为 1 23 hh h的晶面系中距离原点最近的平面ABC交于基矢的截 距分别为 123 123 aaa hhh 则 1133 CAahah 2233 CBahah 如果 1 1223 3 Ghbh bh b 分别垂直于CA 和CB 则该矢量就垂直于平面上所有的直线 即为平面的法线 1 6 对于简单立方晶格 证明密勒指数为 h k l的晶面系 面间距d满足 22222 dahkl 其中a为立方边长 解 根据倒格子的特点 倒格子 Ghakblc 与晶面族 h k l的面间距有如下关系 2 hkl hkl d G 因此只要先求出倒格点 hkl G 求出其大小即可 由正格子基矢aai bbj cck 可以马上求出 2 ai a 2 bj b 2 ck c 因为倒格子基矢互相正交 因此其大小为 222222 2 hkl hkl Ghakblc abc 则带入前边的关系式 即得晶面族的面间距 1 7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中 最近邻和次近邻的原子数 若立方边长为 a 写出最近邻和次近邻的原子间距 答 体心立方晶格的最近邻原子数 配位数 为 8 最近邻原子间距等于 3 2 a 次近邻原 子数为 6 次近邻原子间距为a 面心立方晶格的最近邻原子数 配位数 为 12 最近邻原子间距等于 2 2 a 次近邻原子数 为 6 次近邻原子间距为a 1 8 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在 100 110 111 面上的原子排列 解 对于体心立方晶格 100 面上原子排列方式为 110 面上的排列方式为 111 面上的排列方式如上图 对于面心立方晶格 100 面上原子排列方式为 110 面上的排列方式为 111 面上的排列方式如上图 1 9 指出体心立方晶格 111 面与 100 面 111 面与 110 的交线的晶向 解 如图 111 面与 110 的交线的晶向为AB 如果坐标原点在A点 B点的位置矢量为 aiaj 所以该晶向为 110 对 111 面与 100 面的交线作同样考虑 晶向为 011 也可以这样求解 因为 111 面与 100 面的法线方向分别为 111 和 100 所以与这两个 方向都垂直的方向是 111 100 ijk jk 所以晶向为 011 或 011 1 10 找出立方体中保持x轴不变的所有对称操作 并指出它们中任意两个操作乘积的结果 解 1 11 证明六方晶体的介电常数张量为 1 2 2 00 00 00 证明 1 12 比较面心立方晶格 金刚石晶格 闪锌矿晶格和NaCl晶格的晶系 布拉伐格子 答 以上几种晶格的布拉伐格子都属于立方晶系 为面心立方格子 第二章 固体的结合 2 1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 2ln2 证明 设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链 取一负离子作参考离子 用r 表示相邻离子间的距离 于是有 1 11112 1111 2 2341234 j ij rrrrrrr 根据假设 马德隆常数求和中的正负号这样选取 即遇正离子取正号 遇负离子取负号 因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r的离子 一个在参考离子左面 一个在其右面 则马德隆常数为 111 2 1 234 因为 234 ln 1 1234 xxxx x 当1x 时 有 234 1111 ln 1 1 1234 所以 2ln2 2 2 讨论使离子电荷加倍引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响 排斥势看作不变 解 按照与书中同样的思路 系统内能为 n AB UN rr 但是现在 2 0 4 q A 而2qq 同样在平衡位置满足 0 U r 则求得晶格常数为 1 0 1 n B r An 所以 1 1 0 n B rn A 与原来的晶体相比 为 1 1 11 0 11 1 0 1 4 n nn n B n rA A rAB n A 结合能为 2 0 0 1 1 4 N q W rn 两者比较为 2 12 0 00 11 22 0 0 0 1 1 4 4 44 1 1 4 n nn N q rnrWq N qWqr rn 2 3 若晶体中平均每对原子的相互作用能表示为 mn u r rr 试求 1 平衡间距 2 结合能W 单个原子 3 体弹性模量 4 若取 0 2 10 3 4mnrWeV 求 的值 解 所有的计算都涉及晶体的总内能 U r 题设所给的为任意两个原子间的相互所用 忽 略表面原子的效应 总的内能为 22 mn NN U ru r rr 1 平衡时 有 0 U r 所以 11 00 0 mn mn rr 得 1 0 n m n r m 2 结合能为 00 000 00 22 1 22 1 2 m mnn m mm m n m NN WU rr rrr NNm rr n n m Nmn nm 则平均单个原子的结合能为 1 1 2 m n m mn nm 3 体变模量为 0 2 2 V d U KV dV 以及 3 VZNr 其中Z为一个与结构有关的常数 有 UrU VVr 2 2 2 2 2 2 2 1 1 UrUrrUrU V VVrVrVrVrrV r V rUU r VV Vrr rr 而在 0 rr 时 上式中的第一项为零 所以 00 22 2 0 22 V VV V d UVU KVV dVrr 0 2 222 00 22 2 00000 22 2 000 2 2 22 000 1 1 2 1 2 1 2 111 1 22 r mn mnmn mn mm UNm mn n rrr Nmnmn rrrrr Nmn rrr NnNm mmmn rnrn r 0 222 000 0 0 111 1 3 2 9 m Nm KVmn ZNrrn r mn U V 4 有 1 和 2 两个结果联立 有 1 10 8 10 3 10 2 19102 2 4 1 6 10 1 3 10 210 372 1 44 10 J m 11410 1 89 10 J m 2 4 经过 3 sp杂化后形成的共价键 其方向沿立方体的四条对角线 求共价键之间的夹角 解 如图 以立方体的三个棱边为 aai baj cak 则 2 a OBijk 2 a ABijk 点乘关系为 2 cos 1 4 a OB ABOBAB 而 3 2 OBABa 得 1 cos 3 1 arccos 109 28 3 2 5 假设 族化合物中 族 族原子都是电中性的 0q 求出其电离度 i f 解 根据分子轨道的组合系数 与有效电荷q 的关系 2 1 580 1 q 得 2 0 6 O A B C D a b c 而卡尔森电离度为 2 2 11 0 6 0 25 11 0 6 i f 2 6 bcc和fccNe的结合能 用林纳德 琼斯 Lennard Jones 势计算Ne在bcc和fcc结 构中的结合能之比值 解 126 4 u r rr 126 1 4 2 nl U rNAA rr 在平衡位置 有 0 r dU r r 则 66 12 0 6 2 A r A 得到平衡位置的内能 即结合能 为 2 6 0 12 1 2 A U rN A 所以结合能之比为 22 066 2 01212 12 25 9 11 0 957 14 45 12 13 bcc fcc U rAA U rAA 2 7 对于 2 H 从气体的测量得到 Lennard Jones 参数为 23 50 10 2 96J A 计算 fcc结构的 2 H的结合能 以 KJ mol单位 每个氢分子可当做球形来处理 结合能的实 验值为0 75 KJ mol 试与计算值比较 解 2 H为基团 组成fcc结构的晶体 则晶体的总相互作用能为 126 126 2UNAA RR 查表 70 页 表 2 7 得 612 14 45 12 13AA 根据平衡条件 即稳定结合时 0 U R 求得 3 23R A 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为 126 2323 2 962 96 2 6 022 1050 1012 1314 452 59 3 233 23 UKJ mol 计算中没有考虑零点能的量子修正 这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因 第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3 1 已知一维单原子链 其中第j个格波 在第n个格点引起的位移为 sin njjjjj atnaq j 为任意个相位因子 并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT 具体计算每个原子 的平方平均位移 解 每个原子的瞬时位移是不同的 但是平均来讲一定与其振动的振幅成正比 因此以下先 求出平方平均位移与振幅的关系 而一个格波的平均能量也应当与振幅成正比 依此可以给 出平方平均位移 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加 即 sin nnjjjjj jj atnaq 2 2 nnjnjnjnjnj jjjjj i 由于 njnj 数目非常大 而且取正或取负几率相等 因此上式的第 2 项与第一项相比是一 小量 可以忽略不计 所以 22 nnj j 由于 nj 是时间t的周期性函数 其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 0 2222 0 0 11 sin 2 T njjjjjj atnaqdta T 已知较高温度下的每个格波的能量为kT 第j个格波的动能时间平均值为 00 2 22 222 000 00 111 sin 224 LTT njjj njjjjjj da TdxdtLtnaqdtLa TdtT 其中 L 是原子链的长度 使质量密度 0 T为周期 所以 22 1 4 njjjB TLak T 因此 有 2 2 2 B nj j k T L 所以每个原子的平均位移为 22 22 221 BB nnj jjj jj k Tk T LL 3 2 讨论N个原胞的一维双原子链 相邻原子间距为a 其2N个格波解 当Mm 时与一 维单原子链的结果一一对应 解 如图所示 质量为M的原子位于21 21 23nnn 质量为m的原子位于 2 22 24nnn 牛顿运动方程为 222121 2121222 2 2 nnnn nnnn m M 每个原胞有两个 共有2N个形式相 同的独立方程 形式解为 2 2 21 21 itna q n itnaq n Ae Be 代回运动方程有 22 22 2 2 2cos 0 2 2cos 2 iaqiaq iaqiaq mAeeBAmAaq B MBeeABaq AMB 这是一个以A B为未知量的齐次线性方程组 有解的条件是系数行列式为零 2 2 22cos 0 2cos2 maq aqM 有两组不同的解 1 22 2 2 1 22 2 2 4 1 1sin 4 1 1sin mMmM aq mMmM mMmM aq mMmM q的取值范围是 22 q aa 对应于每个q值 有两个格波 共计2N个格波 当Mm 时 两组解变为 2 2 1 cos aq m 初看似乎仍为双值函数 但是由于原来取布里渊区为 22 q aa 为实际区域大小的一 半 所以当我们把布里渊区扩展为q aa 时 就不必用双值表示了 变为 22 41 sin 2 aq m 这时当然就没有光学波了 3 3 考虑一双原子链的晶格振动 链上最近邻原子间力常数交替为c和10c 令两种原子质 量相同 且最近邻间距为 2a 求在0k 和 ka 处的 k 大略地画出色散关系 此问题模拟如 2 H这样的双原子分子晶体 解 可以这样考虑这个问题 2 H分子组成一维晶体 分子内部的相互作用较强 力常数为 10c 相邻的原子间作用较弱 力常数为c 第s个分子中的两个原子的位移分别用 s u和 s 表示 1s u 1s v s u s v 1s u 1s v 则 2 1 2 10 s ssss d u MCuCu dt 2 1 2 10 s ssss d MC uC u dt 将试探解 i skati skat ss uuee 代入上式有 2 2 1011 1011 ika ika MuCeCu MC euC 是u 的线性齐次方程组 存在非零解的条件为 2 2 11 10 0 10 11 ika ika MCCe C eMC 解出 2422 2220 1 0MMCCconka 所以 2 11121 20 1 C conka M 当0k 时 22 22 0C M 当 ka 时 22 20 2 C MC M 2 与k的关系如下图所示 这是一个双原子 例如 2 H 晶体 令 2 0 C M 3 4 考虑一个全同原子组成的平面方格子 用 l m u记第l行 第m列的原子垂直于平面的位 移 每个原子质量为M 最近邻原子的力常数为 a 证明运动方程为 2 1 1 1 1 2 2 l m lmlml ml ml ml m d u Muuuuuu dt b 设解的形式为 0 exp l mxy uui lk amk at 这里a是最近邻原子的间距 证明运动方程是可以满足的 如果 2 2 2 2coscos y Mk ak a 这就是色散关系 c 证明独立解存在的k 空间区域是一个边长为 2 a 的正方形 这就是平方格子的第一布 里渊区 构出 x kk 而0 y k 时 和 xy kk 时的k 图 d 对于1ka 证明 22 1 222 1 21 2 xy aa kkk MM 证明 a 用 l m表示第l列 第m行的原子编号 假设它只受到相邻原子弹性恢复力的作用 则它分别受到编号为 1 lm 1 l m 的原子的作用 力的大小与各自的相对位移成正 比 比如 l m原子受 1 lm 原子的作用力为 1 1 l mlml m Flmuu 同理 其它 1 lm 1 l m 1 l m 原子对它的作用力分别为 1 1 l mlml m Flmuu 1 1 l ml ml m Fl muu 1 1 l ml ml m Fl muu 则 l m原子受力为 1 1 1 1 1 1 1 1 4 l ml ml m l ml m lmlml ml ml m FFlmFlm Fl mFl m uuuuu 根据牛顿定律 l m原子的运动方程为 2 1 1 1 1 2 2 2 l m lmlml ml ml ml m d u Muuuuuu dt b 考虑晶体是理想无限大的 则每个原子的运动方程都是如此 用试探解 0 exp l mxy uui lk amk at 代入前边的运动方程 有 2 1 1 1 1 2 2 l mlmlml ml ml ml m Muuuuuuu 由 l m u的形式 可知 1 1 xx lmlmik aik a l ml m uu ee uu 1 1 yy ik aik a l ml m l ml m uu ee uu 前式两边除以 l m u后 得 2 2 2 yy xx ik aik a ik aik a Meeee 化简为色散关系 2 2 2cos cos xy k ak a M c 根据色散关系 每当 x k和 y k增大 2 a 时 的取值重复 即 22 22 xyxy k kkk aa 所以 x k和 y k只需取 x k aa 及 y k aa 范围 即第一布里渊区 当0 y k 时 2 2 1 cos x k a M 即 1 2 2sin 2 x k a m 则k 图为 xy kk 时 色散关系为 22 8 sin 2 x k a M 为了画出沿 xy kk 方向的k 图 把自变 量改为2 x kk 由于 x k的取值范围是 a a 则k的取值范围是 22 aa 则色散关系改写为 22 8 sin 2 2 ka M 此时极大值为 1 2 2 2 M d 当1ka 时 对余弦函数作级数展开 可以得到要求证明的结果 22 1 222 1 21 2 xy caca kkk MM 3 5 已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为 2 0 1 4 n q U r rr 其中马德隆常数1 75 9n 平衡离子间距 0 2 82Ar Na的原子量为 23 Cl的 原子量为 35 1 试求离子在平衡位置附近的振动频率 2 计算与该频率相当的电磁波的波长 并与NaCl红外吸收频率的测量值61 m 比较 解 实际晶体的振动非常复杂 在教材中已经了解 在本题中 我们只计算光学波相应的振动频率 即只计算两套离子各自构成的格子相对位移 所引起的振动 即便如此 三维情形的振动仍然有难度 为了只是定性的了解振动频率 我 们把振动视为一维的 根据已知条件 首先可以求出 值 令 0 4 由 2 21 0 n Uqn rrr 得 2 21 00 0 n qn rr 所以 2 1 0 n q r n 则相互作用能为 2 0 0 1 1 q U r rn 1 为了求出振动频率 先求出力常数 为 0 22 21 23 0 1 1 44 10 r r Unq kN m rr 由于是双体振动 应当用折合质量代替谢振子的质量 为 26 2 32 10 NaCl NaCl m m kg mm 则 2 131 26 1 44 10 7 88 10 2 32 10 k s 2 该频率对应的电磁波的波长为 6 2 24 10 24 cmm 与实验结果相比差距较大 但在同一量级 3 6 求出一维单原子链的频率分布函数 解 设单原子链长度 LNa 波矢取值 2 qh Na 每个波矢的宽度 2 q Na 状态密度 2 Na 则dq间隔内的状态数 2 Na dq 对应q 取相同值 因此 2 2 Na ddq 一维单原子链色散关系 22 4 sin 2 aq m 令 0 4 m 0sin 2 aq 两边微分得到 0 cos 22 aaq ddq 将 2 2 0 cos 1 2 aq 代入 0 cos 22 aaq ddq 得 22 0 22 0 2 2 ad ddq dq a 22 0 21 22 22 NaNa dqd a 频率分布函数 22 0 21 N 3 7 设三维晶格的光学振动在0q 附近的长波极限有 2 0 qAq 求证 1 2 00 23 2 1 4 V f A 解 若 0 2 0 0Aq 所以 0f 若 0 2 0 qAq 则 1 1 2 2 0 qA 依据 3 2 q Vds f q 现在 2 q qAq 带入上边结果有 3 1 2 2 0 3223 2 2 1 4 2 222 q Vds f q VVqV q AqAA 3 8 有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格 在德拜近似下计算比热 并论述在低温极 限比热正比于 2 T 解 在德拜近似下 cq 在q空间中的态密度为 2 2 2 L 则在半径q到qdq 间的圆环内的独立振动模式数目为 22 2 2 2 2 LL qdqqdq 则在 至d 间的模式数目为 2 22 22 LS dd cc 则模式密度为 2 2 S c 设频率上限为 m 满足 2 22 00 2 2 mm m SS ddN cc 式中出现2N 是由于二维晶格中每个原子的自由度为 2 总自由度为2N 则 1 2 2 m N c S 0 1 21 m Ed e 其中 1 kT 将各个量代入上式 有 2 0 32 22 0 2 0 223 0 2 0 223 0 1 221 1221 21 21 m m m m m x x S Ed ce SS d cce S Ed ce Sx Edx ce 上式中 3 0 2 12 m S E c 与温度无关 为零点能 mm xx 当0T 时 以上的积分部分可以改写为 2 0 x x e dx 结果为一个常数 与温度无关 所以得到 3 0 EEC 则 22 3 V E CCTT T 3 9 写出量子谐振子系统的自由能 证明在经典极限下 自由能为 0 ln q B q B FUk T k T 证明 量子谐振子的自由能为 1 ln 1 2 q B qk T B q B FUk Te k T 经典极限意味着 温度较高 Bg k T 应用 2 1 x exx 所以 2 1 q B qqk T BB e k Tk T 因此 0 1 ln 1 1ln 2 qq qBB qqq BB FUk TUk T k Tk T 其中 0 1 2 q q UU 3 10 设晶体中每个振子的零点振动能为 1 2 试用德拜模型求晶体的零点振动能 解 根据量子力学谐振子的内容 零点能是固有的 与温度无关 故0TK 时 振动能 0 E 就是各振动模零点能之和 00 0 m EEgd 而 0 1 2 E 2 23 3 2 V g C 则积分可得 4 0 23 3 16 m V E C 根据德拜的假设 2 23 00 3 3 2 mmV gddN C 得到 1 2 3 6 m N C V 所以 0 99 88 mBD ENNk 因为 mBD k 3 11 一维复式格子中 24 5 1 67 10mg 4 M m 14 1 5 10 1 5 10 N mdyn cm 求 1 光学波 maxmin oo 声学波 max A 2 相应声子能量是多少电子伏 3 在 300K时的平均声子数 4 与 max o 相对应的电磁波波长在什么波段 解 1 4 131 max 24 22 1 5 10 3 00 10 4 5 1 67 10 A dyn cm s M 424 131 max 2424 22 1 5 104 551 67 10 6 70 10 4 5 1 67 105 1 67 10 o Mmdyn cm s Mm 4 131 max 24 22 1 5 10 5 99 10 5 1 67 10 A dyn cm s m 2 161312 max 161312 max 161312 min 6 58 103 00 101 97 10 6 58 106 70 104 41 10 6 58 105 99 103 95 10 A o o seV seV seV 3 maxmax maxmax 11 0 873 0 221 11 AO BB AO k Tk T nn ee min min 1 0 276 1 O B O k T n e 4 2 28 1 c m 第四章 能带理论 4 1 根据k a 状态简并微扰结果 求出与E 及E 相应的波函数 及 并说明它们 的特性 说明它们都代表驻波 并比较两个电子云分布 2 说明能隙的来源 假设 n V n V 解 令k a k a 简并微扰波函数为 00 kk AxBx 0 0 0 0 n n EkE A V B V AEkE B 其中 00 EkE k 解为 0 n EEkV 取 0 n EEkV 带入方程组 由于 0V x 所以0 n V 表示一维晶格第n个格点的s态 在只计入近邻作用的紧束缚近似下 写出矩阵 元 n H m的表达式 解 H为系统中的单原子哈密顿量 为 22 22 0 22 HU xV xnaU xV xna mm HH 其中 0 H为单原子哈密顿量 因此 0 s Hnn 则 0 s n H mn HHmn mn Hm 根据不同格点上波函数的正交归一化条件 nm n m 所以当nm 时 0 ss n H nn U xV xnJ 其中 0 Jn U xV xn 而在只计入近邻原子相互作用的紧束缚近似下 1 1 n m n Hmn U xV xnamn U xV xnan 所以在nm 时 1 1 n m n H mn U xV xmn U xV xnan 由于s态波函数的球对称性 原子左右的积分应该相等 令 1 1n U xV xnanJ 所以 1 1 n m n H mJ 写为矩阵形式 01 011 011 1 00 0 0 00 s s s JJ JJJ JJJ J 4 6 由相同原子组成的一维原子链 每个原胞中有两个原子 原胞长度为a 原胞内两个原 子的相对距离为b 1 根据紧束缚近似 只计入近邻相互作用 写出原子s态相对应的晶体波函数的形式 2 求出相应能带的 E k 函数 解 一个原胞内的两个原子的s轨道先形成共价键 一个是成键态 一个是反键态 为 1 2 Bss xxb 1 2 Ass xxb 其中 s 为原子的s轨道 1 两个分子轨道分别形成晶体能带 为 1 imka BkB m xexma N 1 imka AkA m xexma N 其中 l k N a 2 成键轨道与反键轨道的能量分别为 BB B BB H 和 AA A AA H 其中的 H为原胞内两原子组成分子的哈密顿量 可以求出为 0B 和 0B 0 原子s轨道能量 0 为两原子轨道的交叉积分 剩下要计算的和简单晶格情况下完全相同 对于成键态 能带结构为 01 ikma BB m nearest EkJJ m e 其中 2 0 B JxU xV x dx 只考虑近邻原子相互作用 且成键轨道沿原子链方向呈对称性 因此一个原胞两侧的积分相 同 1 BB Jxa U xV xdx 结构因子为 2cos ikaika eeka 所以 001 2cos B EkJJka 同理 001 2cos A EkJJka 另解 设单原子的哈密顿量为 22 0 2 2 d HV x m dx 则s轨道电子满足的薛定谔方程为 0 sss H 而晶体的哈密顿量为 22 2 2 n d HV xnaV xnab m dx 因此晶体中的单电子薛定谔方程为 kk HE 方程的解可以用两个布洛赫和线性组合表示出来 kAkBk AB 其中两个布洛赫和分别为 1 ikla Aks l exla N 1 ikla Bks l exlab N 将布洛赫和的线性组合代入薛定谔方程 得 AkBkAkBk H ABE AB 方程左右同时左乘 Ak 和 Bk 积分 并借助正交归一化关系 1 AkAkdx 1 BkBkdx 0 AkBkdx 和0 BkAkdx 得 0 0 s s E AB AE B 其中 AkBk Hdx 及 BkAk Hdx 代入后可以求得 1 2 s E 将布洛赫和的具体形式代入积分式中 1 11 1 1 1 iklaikl a ss ll ik l l a ss l l ik l l aik l l a ssl lssl l l ll l exlaHexl ab NN exla Hxl ab dx N exla Hxl ab dxexla Hxl ab dx N N 1212 ikaika NeNe 其中 1 ss xla Hxlaab dx 2 ss xla Hxlab dx 因为s轨道的球对称性 且为实函数 所以 1122 即以上积分为实数 则 12 ika e 1 2 1212 221 2 1212 2cos ikaika sks s Eee ka 4 7 有一一维单原子链 间距为a 总长度为Na 1 用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带 E k 函数 2 求出其能态密度函数的表达式 3 如果每个原子s态只有一个电子 求等于0TK 的费米能级 0 F E及 0 F E处的能态密度 解 1 0101 2cos ikaika ss E kJJ eeJJka 2 11 21 22 22sinsin LdkNaN N E dEJ akaJka 3 因为 0 0 2 22 2 F F NakNa Nk 所以 0 2 F k a 00 010 2cos 2 FFss EE kJJaJ a 0 1 1 sin 2 F NN N E J Ja a 4 8 1 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点 大 2 倍 2 对于一个简单立方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多 少 3 说明 2 的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 解 1 二维简单正方晶格的晶格常数为 a 倒格子晶格基矢 12 22 bi bj aa 第一布里渊区如图所示 区边中点的波矢为 i a A k 角顶点的波矢为 ij aa B k 自由电子能量 2 22 2 xy kk m A点能量 2 22 2 22 Ax k mma B点能量 222 222 22 2 222 Bxy kk mmaama 所以 2 BA 2 简单立方晶格的晶格常数为a 倒格子基矢为 123 222 bi bj bk aaa a a A B 第一布里渊区如图所示 A点能量 2 2 2 A ma B点能量 2222 222 222 3 222 Bxyz kkk mmaaama 所以 3 BA 3 如果二价金属具有简单立方品格结构 布里渊区如图所示 根据自由电子理论 自由 电子的能量为 2 222 2 xyz kkk m Fermi面应为球面 由 2 可知 内切于A点的内切球 的体积 3 4 3a 于是在k 空间中 内切球内能容纳的电子数为 3 3 24 1 047 33 2 V NN a 其中 3 VNa 二价金属每个原子可以提供2个自由电子 内切球内只能装下1 047N个电子 余下的 0 953N个电子需填入其它状态中 如果布里渊区边界上存在大的能量间隙 即第二能带的 带底处都高于第一能带的带顶 则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态 包括B 点 这样 晶体将只有绝缘体性质 然而由 b 可知 B点的能员比A点高很多 从能量上 看 这种电子排列是不利的 事实上 对于二价金属 布里渊区边界上的能隙很小 对于三 维晶体 可出现一区 二区能带重迭 这样 处于第一区角顶附近的高能态的电子可以 流 向 第二区中的能量较低的状态 并形成横跨一 二区的球形Ferm面 因此 一区中有空 态存在 而二区中有电子存在 从而具有导电功能 实际上 多数的二价金届具有六角密堆 和面心立方结构 能带出现重达 所以可以导电 4 9半金属交叠的能带为 22 111 1 0 0 18 2 k E kEmm m 2 2 22002 2 0 06 2 E kE kkkmm m 其中 1 0 E为带1的带顶 20 E k 为带2的带底 交叠部分 120 0 0 1EE keV 由于 能带交叠 能带1中的部分电子转移到带2 而在带1中形成空穴 讨论0TK 时的费米 能级 解 如果没有带2 则电子正好把带1填满 要计算新的费米能级 应当计算出在 20 E k 到 1 0 E之间的态密度函数 然后积分 在此之间的态密度为两个态密度函数之和 分别为 3 1 2 1 2 1 11 23 2 0 mV N EEE 3 1 2 1 2 2 220 23 2 mV NEEE k 总能态密度为 3 1 21 23 1 21 2 11220 23 2 0 2 V N EmEEmEE k 则费米能级应当满足以下条件 1 2020 0 21 F EE EkEk NE dEN E dE 将以上各个条件带入 得 11220 12 0 F m Em E k E mm 将已知条件代入 得 20 0 075 F EE keV 4 10 向铜中掺杂锌 一些铜原子将被锌原子所取代 采用自由电子模型 求锌原子与铜原 子之比为什么值时 费米球与第一布里渊区边界接触 铜是面心立方晶格 单价 锌是二 价 解 按照自由电子模型 晶体中的电子的能量为 22 2 k E k m 则等能面为球面 费米球体体积为 3 4 3 F k 设有N个原子 铜为单价原子 所以 3 3 4 2 2 3 F V kN 得到 1 2 3 3 F kn 铜为面心立方结构 设晶格常数为a 一个晶胞的体积为 3 a 包含四个原子 所以晶体的 体积为 3 4 Na 求出电子密度为 3 4 n a 代入后 4 91 F k a 铜为面心立方结构 倒格子为体心立方 第一布里渊区为十四面体 距离中心最近的面为如 图中的正六边形 距离中心为 1 222 2 35 44 L k aaaaa 说明费米球没有与第一布里渊区接触 要想费米波矢等于 L k 通过添加锌原子 设比例为x 则铜的比例为1x 可以求出电子总数为 1 2 1 e Nx NxNx N 则电子的密度为 3 4 1 x a 满足接触的条件为 12 3 3 34 1 5 44 x aa 得到 0 36x 所以锌与铜的原子数比值为0 36 0 640 56 4 11三维简单立方晶格 立方原胞边长为a 试用简约布里渊区表示自由电子能量 定性画 出沿 轴与六个近邻倒格点相对应的自由电子 E k 函数 解 简单立方晶格的倒格子仍是简单立方 为 0 0 0 为 0 0 a 能量大小对应于 0 和 22 2 2m a 最近邻的等效点为 2 0 0 a 和 2 0 aa 及 2 0 0 a 和 2 0 aa 能量对应于 22 2 4 2m a 和 22 2 5 2m a 次近邻点为 2 0 0 a 和 0 0 a 能量对应于 22 2 4 2m a 和 22 2 2m a 另一个近邻点为 2 0 0 a 和 3 0 0 a 能量对应于 22 2 4 2m a 和 22 2 9 2m a 在一个简约布里渊区中画出 E k 函数为 4 12 设有二维正方晶格 晶体势为 22 4coscos xy U x yU aa 用自由电子近似的微扰论 近似求出布里渊区顶角 a a 处的能隙 解 对于 1 kij aa 处的能态 是四度简并的 其它与之能量相等的波矢为 2 kij aa 3 kij aa 和 4 kij aa 它们的能量都是 2222 2 2 k mma 因此相应的简并微扰态的布洛赫波函数为 11223344 aaaa 其中各个 分别为以上四个波矢所对应的平面波函数 1 i ik r i e S 晶体中势能函数的平均值为 1 0 S UU x y dxdy S 则单电子哈密顿量为 222 22 2 HU x y mxy U x y即为微扰项 将布洛赫波函数代入定态薛定谔方程中 HE 得到 444 111 iiiiii iii aU x yaEa 两边同乘以 j 1 2 3 4j 并积分 得 444 111 iijiiij iii aaj U x yiEa 上式实际上是一个四元一次方程组 1234 1234 1234 1234 1 21 31 40 2 1 2 32 40 3 13 2 3 40 4 14 24 3 0 E aUaUaUa UaE aUaUa UaUaE aUa UaUaUaE a 因此 U x y矩阵元的计算十分重要 00 22 4coscos ji aa i kkxiyj ij S Nxy i UjU x ydxdydxdyeU Saa 当 ij kk 等于 2 i a 或 2 j a 时 积分为零 而等于 2 ij a 或 2 ij a 时 不为零 可以求得 1 44 13 22 3UUUUU 其它的矩阵元等于零 该齐次方程组有解的条件是系数行列式等于零 即久期方程为 00 00 0 00 00 EU EU UE UE 解得 EU 所以能隙为 2 g EEUEUU 将以上两个解代入原来方程组 当EU 时 14 aa 及 23 aa 得到两组解 1234 1 2 和 1234 1 2 当EU 得到两组解 1234 1 2 和 1234 1 2 4 13证明面心立方晶体的s能带紧束缚近似下的 E k 函数 在沿着布里渊区几个主对称轴 方向 可以约化成以下形式 i 沿 2 0 01 yzx kkk a 4 12cos s E ii 沿L 21 0 2 xyz kkk a 2 12 cos s E iii 沿 23 0 0 4 zxy kkk a 2 4 cos2cos s E iv 沿W 22 0 01 2 zxy kkk aa 11 4 coscoscoscos 22 s E 证明 根据习题4 4面心立方的s能带为 01 4 coscoscoscoscoscos 222222 yyss xxzz akak akakakak EkEJJ 对应的写为 4 coscoscoscoscoscos 222222 yy xxzz s akak akakakak E i 沿 2 0 01 yzx kkk a 4 12cos s E ii 沿L 21 0 2 xyz kkk a 2 12 cos s E iii 沿 23 0 0 4 zxy kkk a 2 4 cos2cos s E iv 沿W 22 0 01 2 zxy kkk aa 11 4 coscoscoscos 22 s E 第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动 5 1设有一维晶体的电子能带可以写成 2 2 71 coscos2 88 E kkaka ma 其中a是晶格常数 试求 1 电子在波矢k状态的速度 2 能带底部和顶部的有效质量 解 1 根据定义 有 1 1 sinsin2 4 k dE k kaka dkma 2 根据极值条件 2 1 sinsin2 0 4 dE k kaka dkma 求得0k 时 取极小值 相应的有效质量为 2 0 2 2 2 k mm d E dk k a 时 取极大值 相应的有效质量为 2 2 2 2 3 k a mm d E dk 5 2晶格常数为2 5A 的一维晶格 当外加 2 10 V m和 7 10 V m电场时 试分别估算电子自 能带底运动到能带顶所需要的时间 解 一维晶格的能带底部和顶部分别处于0k 和k a 处 在电场作用下 电子在k空间 的速度为 1dk eE dt 所以在两种场中 电子由能带底部到能带顶部所需要的时间分别为 34 8 1 1910 3 14 1 06 10 8 32 10 1 6 10100 2 5 10 a ts eE 34 13 1 19710 3 14 1 06 10 8 32 10 1 6 10102 5 10 a ts eE 5 3试证在磁场中运动的布洛赫电子 在k 空间中轨迹面积 n S和在r 空间的轨迹面积 n A之 间的关系为 2 nn AS qB 证明 由准经典近似下电子的基本运动方程 dk qB dt 1 kE k 知道在均匀磁场中 电子在k 空间中一个等能面上运动 且该运动是围绕磁场方向运动 由于沿磁场方向的波矢不发生变化 所以在k 空间的轨迹为一个闭合的曲线 如果设磁场沿 z轴方向 则该闭合曲线位于xy 平面内 由于 q dkBdr 所以在xy 平面内的两个无穷小位移有以下关系 qB dkdr 且两者永远保持相互垂直 因此当电子在实空间内经过一个闭合回路回到出发点时 k 空间 的轨迹也形成一个闭合的曲线 而且两个曲线所包围的区域是相似图形 因此两个空间内扫 过的面积有 2 nn AS qB 5 4 1 根据自由电子模型计算钾的德 哈斯 范 阿尔芬效应的周期 1 B 2 对于1BT 在其实空间中电子运动轨迹的面积有多大 解 磁场的振荡周期为 12 F e BS F S为费米面在垂直于磁场方向的平面内的极值面积 对于自由电子 等能面为球面 该面 积为 2 FF Sk 对于钾 晶体结构为体心立方 晶格常数为 10 5 2 10 am 所以费米波矢为 1 3 1 31 3 222 21 391 3 3 336 3 7 5 10 1 2 F NN knm Va Na 202 1 8 10 F Sm 则 51 1 5 3 10 T B 如此结果不太直观 如果化为磁场大致的周期间隔 为 51 2 1 5 10 B T BB 如果磁感应强度大至在 4 110TGauss 则 500BGauss 2 根据第三题的结论 在实空间中轨道所围面积为 22 34 20112 19 1 06 10 1 8 107 9 10 1 6 101 nF ASm qB 5 5设电子等能面为椭球 22 2222 123 222 y xz k kk E k mmm 而外加磁场B 相对于椭球主轴方向余弦为 1 写出电子的准经典运动方程 2 证明电子绕磁场回转频率为 qB m c 其中 1 222 2 123 123 mmm m m mm 解 1 因为 dk F dt 而洛仑兹力为 xyzzyxzyx ijk FeBeeBieBjeBk BBB 所以有 x zy y xz z yx dkeB dt dk eB dt dkeB dt 而根据