2015年高考数学试题分类汇编圆锥曲线与方程.doc

专题十七 圆锥曲线与方程1.（15北京理科）已知双曲线的一条渐近线为，则【答案】考点：双曲线的几何性质2.（15北京理科）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】【解析】试题分析：椭圆：的离心率为，点在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数，写出椭圆方程；由点和点，写出PA直线方程，令求出x值，写出直线与x轴交点坐标；由点，写出直线的方程，令求出x值，写出点N的坐标，设，求出和，利用二者相等，求出，则存在点使得.试题解析：（）由于椭圆：过点且离心率为， ，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.3.（15北京文科）已知是双曲线（）的一个焦点，则 【答案】【解析】试题分析：由题意知，所以.考点：双曲线的焦点.4.（15北京文科）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点（）求椭圆的离心率；（）若垂直于轴，求直线的斜率；（）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【答案】（1）；（2）1；（3）直线BM与直线DE平行.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AE的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于0即可证明，即两直线平行.试题解析：（）椭圆C的标准方程为.所以，.所以椭圆C的离心率.（）因为AB过点且垂直于x轴，所以可设，.直线AE的方程为.令，得.所以直线BM的斜率.（）直线BM与直线DE平行.证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（）可知.又因为直线DE的斜率，所以.当直线AB的斜率存在时，设其方程为.设，则直线AE的方程为.令，得点.由，得.所以，.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.5.（15年广东理科）已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为 A B. C. D. 【答案】【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为，故选【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题6.（15年广东理科）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，.（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得， 圆的圆心坐标为；（2）设，则 点为弦中点即， 即， 线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，又直线：过定点，LDxyOCEF当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题6.（15年广东文科）已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C考点：椭圆的简单几何性质7.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为的是( )（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：渐近线方程.9.（15年安徽文科）设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为。学优高考网（1）求E的离心率e;(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。【答案】（1） （2）详见解析.（）由题意可知N点的坐标为（） MNAB考点：1椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.10.（15年福建理科）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】试题分析：由双曲线定义得，即，解得，故选B考点：双曲线的标准方程和定义11.（15年福建理科）已知椭圆E：过点，且离心率为()求椭圆E的方程； ()设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】()；() G在以AB为直径的圆外在圆上试题解析：解法一：()由已知得解得所以椭圆E的方程为故所以，故G在以AB为直径的圆外解法二：()同解法一.()设点，则由所以从而 所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系12.（15年福建文科）已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式13.（15年福建文科）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（）求抛物线的方程；（）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切【答案】（）；（）详见解析【解析】试题分析：（）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化本题由可得，可求的值，进而确定抛物线方程；（）欲证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切可证明点到直线和直线的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（II）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：（I）同解法一（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系14.（15年新课标1理科）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.15.（15年新课标2理科）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【答案】C16.（15年新课标2理科）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（A）5 （B）2 （C）3 （D）2【答案】D17.（15年新课标2理科）已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。18.（15年新课标2文科）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 【答案】考点：双曲线几何性质19.（15年陕西理科）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= 【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质20.（15年陕西理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义21.（15年陕西理科）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.22.（15年陕西文科）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A B C D【答案】【解析】试题分析：由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选考点：抛物线方程.23.（15年陕西文科）如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；(II) 设，由题设知，直线的方程为，代入，化简得，则，由已知， 从而直线与的斜率之和化简得.试题解析：(I)由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.(II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设，则，从而直线与的斜率之和 .考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.24.（15年天津理科）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（A） （B）（C）（D）【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.25.（15年天津理科）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】试题分析：(I) 由椭圆知识先求出的关系，设直线直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (II)由(I)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程.(III)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围.试题解析：(I) 由已知有，又由，可得，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.26.（15年天津文科）已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D考点：圆与双曲线的性质.27.（15年湖南理科）28.（15年山东理科）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .解析：的渐近线为，则的焦点，则，即29.（15年山东理科）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.（）求椭圆C的方程；（）设椭圆，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（）求的值；（）求面积