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2015中考数学一轮复习三角形学案 第17课时 三角形【课时目标】1理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平 分线等概念及性质，了解三角形的稳定性，会画任意三角形的角平分线、中线、高 2探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算3掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理及逆定理4了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算5了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理6探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题【知识梳理】1三角形中三边 的关系： 三角形任意两边之和_第三边；任意两边之差_第三边2三角形中角的关系： (1)三角形的内角和等于_ (2)三角形的一个外角等于与它_的两个内角的 (3)三角形的一个外角_与它_的任何一个内角 3三角形中的三条重要线段： (1)三角形的角平分线、中线、高各有_条，它们都是_ (2)三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形_部的一点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部（锐角三角形）、顶点（直角三角形）或外部（钝角三角形）4线段垂直平分线的性质与判定：线段 垂直平分线上的点到_相等；到_的点在这条线段的垂直平分线上5角平分线的性质与判定：角平分线上的点到_相等；到_的点在这个角的平分线上6等腰（边）三角形：有_的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫_7等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两底角_，简称为_ (2)等腰三角形的_、_、_相互重合，简称等腰三角形的“三线合一” (3)等腰三角形是_图形，其对称轴是_8等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时还具有以下性质： (1)等边三角形的三个内角_，每个角都等于_ (2)等边三角形是_图形，其对称轴有_条，分别 是_9等腰三角形的判定： (1)有两边相等的三角形是_ _ (2)在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边_，简称为_10等边三角形的判定： (1)有三条边相等的三角形是_ (2)三个角_的三角形是等边三角形 (3)有一个角是_的等腰三角形是等边三角形11直角三角形的性质： (1)直角三角形的两个锐角_ (2)直角三角形斜边上的中线等于_ (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于_ (4)勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即_12直角三角形的判定： (1)有一个角是_角或两锐角_的三角形是直角三角形 (2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是_【考点例析】考点一 三角形中三边的关系例1若下列各 组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是 ( ) A3，8，4 B4，9，6 C15，20，8 D9，15，8 提示 根据三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边进行判断例2 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 ( ) A16 B18 C20 D16或20 提示 已知等腰三角形的两边长，但没指出哪个是腰哪个是底，故应该分类讨论考点二 三角形内角和定理 例3一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 提示 利用三角形内角和定理求出三角形中的角，再判断三角形的形状考点三 三角形内角和定理与外角性质的综合运用 例4如图，在ABC中，B47，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则A EC_ 提示 要求AEC的度数，只需求出CAEACE的度数，由于AE、CE分别平分DAC、ACF，因此只需求出DACACF的值，此时利用外角性质可知 DA CACF180B，从而解决了问题考点四 线段垂直平分线的性质例5如图，在ABC中，ABAC，A36，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则EBC的度数为_ 提示 要求EBC的度数可利用EBCABCABE得到由ABAC，A36，利用三角形内角和可求得ABC的度数，由线段垂直平分线得到 AEBE，从而有ABEA，问题顺利解决考点五 角平分线的性质 例6 如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D若CD4，则点D到AB的距离是_ 提示 因为D在BAC的平分线A D 上，C90 ，所以点D到AC的距离与到AB的距离相等 考点六 等腰三角形的性质 例7 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，若BAC70，则BAD_ 提示 根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边土的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可求得BAD的度 数，例8 如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段MN的长为 ( ) A6 B7 C 8 D9 提示 由角平分线和平行线可得到等腰三角形，从而将MN的长度转化为BMCN的长考点七 等腰三角形的判定 例9如图，ACBC，BDAD，AC与BD交于点O，ACBD求证： (1) BCAD；(2)OAB是等腰三角形 提示 通过观察不难发现ACBBDA，从而得出BC AD，及CABDBA，进而推出OAB是等腰三角形考点八 勾股定理及直角三角形性质的应用 例10如图，在矩形ABCD中，AB3，AD1AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为 ( ) A(2，0) B( 1，0) C（ 1 ，0） D( ，0) 提示 在RtABC中，由勾股定理得到AC的长，根据作图可知ACAM，从而得到点M的坐标 例11勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图是由图放入矩形内得到的，BAC90，AB3AC4，点D、E、F、G、H、I都在矩形KlM的边上，则矩形KlM的面积为 ( ) A90 B100 C110 D121 提示 延长AB交KF于点O， 延 长AC交GM于点P，可得四边形AO1P是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KlM的长与宽，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解【反馈练习】1如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( ) A2 B3 C4 D1 82如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12，则点C到AB的距离是 ( ) A B C D 3如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分线，D C2，则点D到AB边的距离是_4如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于D、E若AB5，AC4，则ADE的周长是_5(2012巴中)已知 a、b、c是ABC的三边长，且满足关系式 ，则ABC的形状为_6如图，AEBC，AE平分DAC求证：ABAC7如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在 BC、AC边上，且AECD，A D与BE相交于点F (1)求证：ABECAD； (2)求BF