天津市2018年高考数学二轮复习专题能力训练15直线与圆文.doc

专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.2D.22答案：C解析：由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=|-1-0+3|2=2,故选C.2.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43答案：B解析：由题意知,ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x-12,它与x=1联立得圆心P坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|23,则实数k的取值范围是()A.-,-125B.-,-125C.-,125D.-,125答案：B解析：当|MN|=23时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为4-(3)2=1,即|k+5|1+k2=1,解得k=-125.若使|MN|23,则k-125.4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案：C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+80=46.5.已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.答案：4解析：由题意得直线l的倾斜角为6,坐标原点O到直线l的距离为|6|1+(-3)2=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知B(0,23),E(-6,0),则|BE|=62+(23)2=43.因为|AB|=212-32=23,所以A为EB的中点.由题意知ACBD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cos6=|AB|cos6=2332=4.6.已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案：(-2,-4)5解析：由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,x+122+(y+1)2=-54不表示圆.7.(2017山东,文12)若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案：8解析：直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.答案：26-1解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求O的方程;(2)若O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)设O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围.解(1)依题意,O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|5.由垂径定理,得m25+(3)2=22,即m=5.所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为PAPB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在O内,所以x2+y24,x2-y2=2.由此得y2|AA|.所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,故曲线的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OBCD,则OBAB.设B(x0,y0),则x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=23.则kOB=22,kAB=2,则直线AB的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案：B解析：圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r|MN|0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,12答案：B解析：由题意可得,ABC的面积为S=12ABOC=1,由于直线y=ax+b(a0)与x轴的交点为M-ba,0,由-ba0可得点M在射线OA上.设直线和BC的交点为N,则由y=ax+b,x+y=1,可得点N的坐标为1-ba+1,a+ba+1.若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-ba=-1,且a+ba+1=12,解得a=b=13.若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得NMB的面积等于12,即12|MB|yN=12,即121+baa+ba+1=12,解得a=b21-2b0,则b12.若点M在点A的左侧,则-baa,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由y=ax+b,y=x+1,求得点P的坐标为1-ba-1,a-ba-1,此时,NP=1-ba+1-1-ba-12+a+ba+1-a-ba-12=-2(1-b)(a+1)(a-1)2+2a(b-1)(a+1)(a-1)2=4(1+a2)(1-b)2(a+1)2(a-1)2=2|1-b|(a+1)(a-1)|1+a2,此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为|0-1+b|1+a2=|b-1|1+a2,由题意可得,CPN的面积等于12,即122|1-b|(a+1)(a-1)|1+a2|b-1|1+a2=12,化简,得2(1-b)2=|a2-1|.由于此时0a1,2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.两边开方可得2(1-b)=1-a21,则1-b1-22,综合以上可得,b=13符合题意,且b1-22,即b的取值范围是1-22,12.14.(2017江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横坐标的取值范围是.答案：-52,1解析：设P(x,y),由PAPB20,易得x2+y2+12x-6y20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y20得2x-y+50.由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+50表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为-52,1.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为Pyx2+y2,-xx2+y2;当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:若点A的“伴随点”是点A,则点A的“伴随点”是点A;单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)答案：解析：对于,若令P(1,1),则其伴随点为P12,-12,而P12,-12的伴随点为(-1,-1),而不是P,故错误;对于,令单位圆上点的坐标为P(cos x,sin x),其伴随点为P(sin x,-cos x)仍在单位圆上,所以正确;设A(x,y)与B(x,-y)为关于x轴对称的两点,则A的“伴随点”为Ayx2+y2,-xx2+y2,B点的伴随点为B-yx2+y2,-xx2+y2,A与B关于y轴对称,故正确;对于,取直线l:y=1.设其“伴随曲线”为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).则由定义可知x=1t2+1,y=-tt2+1,2+2得x2+y2=1+(-t)2(t2+1)2=11+t2=x,整理得x2+y2-x=0,显然不是一条直线.故错误.所以正确的序号为.16.在平面直角坐标系xOy中,已知C1:(x+3)2+(y-1)2=4和C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与C1和C2相交,且直线l1被C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=22-2322=1.由点到直线距离公式,得|-3k-1-4k|k2+1=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.当k=0时,直线l的方程为y=0;当k=-724时,直线l的方程为y=-724(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0.直线l1被C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.|-3k-1+n-km|k2+1=-4k-5+n+1km1k2+1,化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.关于k的方程有无穷多解,2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0.解得m=52,n=-12或m=-32,n=132.故点P坐标为52,-12或-32,132.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|26-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或