数学人教版九年级下册第28章学案.doc

28.1锐角三角函数（1）【学习目标】 1.理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实；2.掌握正弦的定义，能根据正弦的定义进行直角三角形中的相关计算。3.在探究的过程中养成的观察、比较、分析、思考、归纳的数学习惯。【自主学习】问题一：创设情境思考1：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为了使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？解： 思考2：在RtABC中，C=90，A=45，A对边与斜边的比值是一个定值马？如果是，是多少？（请写出解答过程）问题二：新知探究从上面这两个问题的结论中可知：在RtABC中，C=90，A=30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A=45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值。这就引发我们产生这样一个疑问：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画RtABC和RtABC使得C=C=90，A=A= ，那么与有什么关系.你能解释一下吗？（请利用三角形相似的知识写出推理过程）解：结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比 。问题三：新知学习正弦的感念：在RtABC中，C=90，A的对边记作a，B的对边记作b,C的对边记作c。我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA(其中“sin”读作sain),即 sinA=例如，当A=30时，我们有sinA=sin30= 。 当A=45时，我们有sinA=sin45= 。【合作探究】1. 如图，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值。解： 2.如图，已知AB是 O的直径，弦CDAB，AC=,BC=1,求sinBDC. 解： 3.在RtABC中，C=90，c=5，a、b是方程的两个根，求RtABC 中较大锐角的正弦值。 解： 【目标检测】1. 是RtABC的一个锐角，下列说法正确的是（ ） A.sinA表示直角三角形的一个角；B.sinA表示直角三角形的一个角；C.sinA表示的斜边与对边的比；D.sinA表示的对边与斜边的比。2. 在RtABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么sinA（ ）A. 扩大为原来的3倍；B.缩小为原来的倍；C.不变；D.无法确定。3. 如图，在中，C=90，D为BC上一点，ADC=45，BD=2DC，求sinABC和sinBAD的值。【归纳提升】正弦是在一个直角三角形中定义的，其实质就是两条线段的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与锐角大小有关，而与所在直角三角形的大小无关。 28.1锐角三角函数（2）【学习目标】1. 理解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；2. 掌握余弦、正切的定义，能根据余弦、正切的定义进行直角三角形中的相关计算。3. 在探究的过程中养成的观察、比较、分析、思考、归纳的数学习惯。【自主学习】1.在RtABC中，C=90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比是 。2.我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？【合作探究】问题一：探究新知如图：RtABC与RtABC中，C=C=90，A=A=，那么与有什么关系？与有什么关系？请说明理由。这就是说，在RtABC中，C=90，当锐角A的大小确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也就随之确定。问题二：新知学习 类似于正弦的情况，如图，在RtABC中，C=90，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与斜边的比也分别是确定的。 我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA(其中“cos”读作kusain),即cosA=;把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA(其中“tan”读作tndnt),即tanA=。例如，当A=30时，我们有cosA=cos30= ；当A=45时，我们有tanA =tan45= 。对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA,tanA也是A的函数。锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。问题三：学以致用（1） 如图，在RtABC中，C=90，BC=6，sinA=,求cosA、tanB的值。（2） 在RtABC中，C=90，cosA=。求A、B的其他三角函数值；如果AB=5，求BC和AC的长。思考：比较的求值结果，你有什么发现？解：（3）如图，在ABC中，AC=10，BC=5，sinC=;求ABC的面积；求tanA、cosA.【目标检测】1. 在ABC中，C=90，a,b,c分别是A、B、C的对边，则下列等式成立的是（）AB=atanA; B.b=csinA; C.a=c cosB; D. c=asinA;2. 在RtABC中，C=90，如果cosA=那么tanB的值为（ ）A. B. C. D. 3.在ABC中，AD是BC上的高，tanB=cosDAC.(1).求证：AC=BD;(2).若sinC=，BC=12，求AD的长。【归纳提升】1. 余弦、正切的概念是类比正弦得到的，也是两条线段长度的比，它也只是一个数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，与所在直角三角线的大小无关。2. 利用定义求角的正弦、余弦和正切值，首先应把角转化成一个直角三角形的锐角，并且明确这个锐角的对边、邻边及三角形斜边的值。 28.1锐角三角函数（3）【学习目标】1. 能推导并熟记30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角的度数。2. 能熟记计算含有30、45、60角的三角函数的运算式。【自主学习】在RtABC中，C=90。sinA= ,cosA= ,tanA= .【合作探究】问题一：（探究特殊角的三角函数值）1.如图，三角尺ABC中，锐角A= ，B= 。设BC=a,则AB= ，AC= 。因此，（1）sinA= ,cosA= ,tanA= . （2）sinB= ,cosB= ,tanB= 。2.如图，三角尺ABC中，锐角A= ，B= 。设BC=a,则AB= ，AC= 。因此，（1）sinA= ,cosA= ,tanA= . （2）sinB= ,cosB= ,tanB= 。（1） 根据以上内容思考特殊角的三角函数值，完成下表。三角函数A度数 30 45 60 sinA cosA tanA（2）可以利用直角三角形的边的比求某些角的三角函数值，但三角函数值与直角三角形没有必然联系，只与角的度数有关。（3）你能利用所学知识求出0，90的三个三角函数值吗？问题二：（利用特殊角的三角函数值计算）1. 求下列各式的值。（1） +（2） (3)2. (1)如图（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=,求A的度数。 （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底部半径OB的倍，求. 【目标检测】1. 在ABC中，A、B都是锐角，且sinA=,cosA=，则ABC的形状是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D 不能确定2.若=0，则ABC是（）。A. 直角三角形 B . 等边三角形C含有60的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形3.已知等腰ABC的腰长为4，底角为30，则底边上的高为 ，周长为 。4.求下列各式的值：（1）;(2)（3）【归纳提升】1. 如果两个锐角的度数相等，则他们对应的三角函数值也相等；如果度数不相等，对应的三角函数值也不相等。2. 构造直角三角形，求出一个角的某个三角函数值，从而得到这个角的度数是一种常用的求角的度数的方法。 28.2解直角三角形（1）【学习目标】1. 掌握直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。2. 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。【自主学习】1.在三角形中共有几个元素？ 2.直角三角形ABC中，C=90，请写出a、b、c、A、B五个元素间的关系式。（1）边角之间关系sinA= ，cosA= ,tanA= ；sinB= ,cosB= ,tanB= 。如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成： sin= ,cos= ,tan= .（2）三边之间关系 勾股定理 。（3）锐角之间关系 A+B= 。定义：在直角三角形中，由 的过程就是解直角三角形。注意：1.以上三种关系是解直角三角形的依据。 2.解直角三角形时，在已知的元素中至少有 。【合作探究】例1.在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个直角三角形。（提示：求某个元素时，要想到与这个元素有关的所有关系式，然后根据已知的元素选择有用的。）例2.在RtABC中，C为直角，B=35，b=20，解这个直角三角形。（结果保留到小数点后一位）【目标检测】1.在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么sinA= 。2.ABC中，C=90，AB=8，cosA=，则AC的长是 。3.在RtABC中，C=90，若sinA=,AB=10，那么BC= ，tanB= 。4.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图。其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，ABC=135，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m。5.如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点。如果MC=n,CMN=。那么P点与B点的距离为 。6.在ABC中，C为直角，AC=3，BAC的平分线AD=，解此直角三角形。【归纳提升】1. 在直角三角形中，除直角为还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。2. 解决问题要结合图形。 28.2解直角三角形（2）【学习目标】1. 使学生了解仰角、俯角的感念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。3. 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。【自主学习】仰角、俯角的感念 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ，在水平线下方的角叫做 。（如下图）【合作探究】例1.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置？这样的最远点与点P的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）。例2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的仰角为60，热气球与高楼的水平距离为120m。这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）？ 【目标检测】1. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC= 米。 2. 图2表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图3，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为 公分。 A B 16+ C 18 D 193. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度。已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60和45。求隧道AB的长。（参考数据：=1.73） 【归纳提升】1. 解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。2. 一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。 28.2解直角三角形（3）【学习目标】1. 了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角。2. 逐步培养分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。3. 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题。【自主学习】1. 指南针或指北的方向线与目标方向线构成小与90的角，叫做方位角。点A在点O的 点B在点O的 【合作探究】问题：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里） 【目标检测】1. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 m。 2.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 3.如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A,B间铺设一条输水管道。为了搞好工程预算，需测算出A,B间的距离。一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向。（1） 线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2） 求A,B间的距离。（参考数据：cos410.75） 【归纳提升】解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。 28.2解直角三角形（4）【学习目标】1. 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。2. 逐步培养分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。【自主学习】1. 坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）一般用i表示。即，常写成i=1:2.5把坡面与水平面的夹角叫做坡角。2. 坡度i与坡角之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到。（1）如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，将变 ，坡度减 ，（2）水平宽度BC不变，竖直高度AB增加，将增 ，tan也增 。3.阅读课本，体会“化整为零，积零为整”的做法。【合作探究】例1. 如下图在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）。分析：将实际问题转化为数学问题画出图形（下右图）已知：RtABC中C=90，AC=5.5，A=24，求AB。（参考数据：cos24=0.9135）例2. 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高宽23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）【目标检测】1.一段坡面的坡角为60，则坡度i= 。2.河堤横截面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1:（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A 米 B. 10米 C. 15米 D. 米 3.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1:1，则两个坡角的和为 。4.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m。在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上