5-4数列的综合应用.doc

5.4 数列的综合应用一、选择题1已知数列an满足a12，an1an2n，则a100等于()A9 900 B9 902 C9 904 D11 000解析：由已知an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)2(n2)22n2n2，a1009 902.答案：B2数列an前n项和Sn与通项an满足Snnan2n22n(nN*)，则a10a100的值为()A90 B180 C360 D400解析：Snnan2n22n，当n2时，Sn1(n1)an12(n1)22(n1)得annan(n1)an12(2n1)2，整理得anan14，即an为公差为4的等差数列，a10a100(10010)4360.答案：C3有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是()A4 B5 C6 D7解析：正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：2, ，1，n层正方体的表面积为：84032()n.由已知：4032()n39，整理得：2n32，n5.答案：C4数列xn满足x11，x2，且(n2)，则xn等于()A. B()n1 C()n D.解析：由x11，x2，(n2)得：，组成常数列，首项，1.答案：A二、填空题5设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是an_.解析：(n1)anaan1an0，即为(an1an)(n1)an1nan0，而an0，an10，an1an0，(n1)an1nan0，即，ana11.答案：6在等差数列an中，满足3a47a7，且a10，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n_.解析：设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da10.解不等式an0，即a1(n1)(a1)0，所以n，则n9，当n9时，an0，同理可得n10时，an0.故当n9时，Sn取得最大值答案：97已知数列an满足(nN*)，且a11，则an_.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式据已知可得，当n2时利用累积法得：ana11，又验证知a11也适合，故an.答案：三、解答题8已知a0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bnanlg an(nN*)(1)求数列bn的前n项和Sn；(2)当数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求a的范围解答：(1)根据已知条件ana1qn1an，bnanlg annanlg aSnb1b2bn(a2a2nan)lg a，aSna22a3(n1)annan1lg a得(1a)Sn(aa2annan1)lg anan1lg a，Snlg a.(2)根据已知条件：bnbn1，即nanlg a(n1)an1lg a，nlg a(n1)alg a，若lg a0即a1时，n(n1)a即a，a1；若lg a0即0a1时，n(n1)a即a，a.由可知满足条件的a的范围是0a或a1.9在等比数列an中，a1a633，a3a432，且an1an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若Tnlg a1lg a2lg an，求Tn的最大值及此时的n值解答：(1)根据已知条件：即又an1an，可解得a132，a61，q ，an3226n.(2)Tnlg a1lg a2lg anlg(a1a2an)lg(252426n)lg 254(6n)lg 2，当n5或n6时，Tn取到最大值15lg 2.10甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为an%，B喷雾器中药水的浓度为bn%.(1)证明：anbn是一个常数；(2)求an与an1的关系式；(3)求an的表达式解答：(1)证明：开始时，A中含有1012%1.2千克的农药，B中含有106%0.6千克的农药，n次操作后，A中含有10an%0.1an千克的农药，B中含有10bn%0.1bn千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而0.1an0.1bn1.20.6，anbn18(常数)(2)第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：9an11bn110an由(1)知bn118an1，代入化简得anan1.(3)令an(an1)，利用待定系数法可求出9，所以an9(an19)，可知数列an9是以a19为首项，为公比的等比数列由得，a1a012由等比数列的通项公式知：an9(a19)()n1()n13()n，所以an3()n9.1若数列an前8项的值各异，且an8an对任意的nN*都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为()Aa2k1 Ba3k1 Ca4k1 Da6k1解析：an8an，an为每8项为一循环的周期数列设amk1取遍an的前8项，(1m8)当m2、4、6时，mk1为奇数，显然不符合题意m只能取3、5或7，B项为正确选项答案：B2已知数列an的首项a1，an1，n1,2，.(1)求an的通项公式；(2)证明：对任意的x0，an(x)，n1,2，；(3)证明：a1a2an.解答：(1)an1，1(1)，又1，1是以为首项，为公比的等比数列1，an.(2)证明：证法一：由(1)知an0，(x)(11x)(1x)(an)2anan，原不等式成立证法二：