数学人教版九年级下册反比例函数图像和性质（1）.doc

第二十六章 反比例函数教案本章内容属于全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）。17.1 反比例函数 3课时17.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图 （二）教科书内容 本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。第17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数（k为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，y随x的增大（减小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，y随x的增大（减小）而增大（减小）。第17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V一定时，圆柱的底面积S是高（深度）d的反比例函数：；当工程总量k一定时，做工时间t是做工速度v的反比例函数：；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数：；电压U一定，输出功率P是电路中电阻 R的反比例函数：。此外，本章还安排了两个选学内容：第17.1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第17.1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。这两个内容可以开阔学生的视野，拓展知识面。（三）课程学习目标本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；4探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；5使学生在学习一次函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。二、本章编写特点（一）突出反比例函数与现实世界的联系 从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于（反比例）函数的知识是非常重要的。例如，在讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当的地位。又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机是需要函数的有关知识的。正是由于函数知识的重要性，在高中将更多、更深入地学习、研究函数。反比例函数是一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，为了突出反比例函数与现实世界有着密切的联系，教科书对本章内容的安排采取了如下的步骤：本章引用了大量的现实世界中的实际问题，尤其是专门安排一节来说明反比例函数的实际应用，一方面说明在现实世界反比例函数大量存在，另一方面说明如何用反比例函数的知识分析和解决实际问题。本章的“阅读与思考”栏目提供了大量的，学生身边的反比例函数的例子，可以使学生进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。（二）注重数学思想的渗透从数学自身的发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的。我们知道函数的定义不是惟一的，从不同的理解角度出发可以给出函数不同的定义。教科书在“第11章一次函数”已经给出了函数定义，这个定义突出了数学中的变化与对应的数学思想，其内涵主要有两个：首先，两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；其次，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。在本章的编写时，一方面十分注意具体题目的分析及求解过程，另一方面更加注重一些重要的数学思想，如变化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。三、几个值得关注的问题（一）注意做好与已学内容的衔接教科书在“第11章一次函数”已经给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念.，学生对函数已经形成了初步的认识。反比例函数的教学，一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础，另一方面可以反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握。从学生第一次接触函数所蕴涵的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。因此，学习好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。例如，在引进反比例函数概念时，要适时复习第11章中的函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等定义或概念，为反比例函数的学习做好铺垫。这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质。（二）加强反比例函数与正比例函数的对比在复习“第11章一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数 （k为常数，）与正比例函数（k为常数，）之间的对比，对比可以从如下几方面进行：1两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？2在常数 相同的情况下，当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别？3两种函数中 的取值范围有何不同？常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？回答是这样的：1两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且；不同点是自变量 在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式 的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。2在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的 t值增大（减小）。3当常数 的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在这样的氛围中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢固。（三）把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为近一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台。随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高。可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间。对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的。在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫。通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一。而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了。结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。教学过程中，可以安排较多的通过图象分析函数解析式、通过函数解析式分析图象的题目，这体现的既是数形结合思想，也体现了转化的数学思想。深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章教学的重要任务，充分发挥教材中“思考”栏目应有的作用，对实现上述任务是大有裨益的。一些具体的数学知识对学生的影响也许是短暂的，但一些重要的数学思想方法必将会使学生终身受益。（四）突破知识的难点和重点本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力。尽管本章中反比例函数的内容还是比较初级的知识，但是对这些知识的掌握却是为学习后续的函数知识打下基础。因此，教学中对本章基本知识和基本技能的要求不能有丝毫降低。要适时安排适当难度的习题，以使学生对基础知识形成深刻的印象、对基本技能达到熟练的程度。有条件的地方应尽可能使用信息技术，在本章“信息技术应用”栏目中，给出了k变化时，反比例函数 （k为常数，）的图象是如何变化的。尽管这一性质不是必修内容，但有兴趣和学有余力的同学却可以从中获益。261反比例函数的意义一、知识与技能1从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。2经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。二、过程与方法1、经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。2、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。三、情感态度与价值观1经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。2、通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。教学重点：理解和领会反比例函数的概念。教学难点：领悟反比例的概念。教学过程：一、创设情境，导入新课活动1问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；（3）已知北京市的总面积为1.68104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化.师生行为:先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.在此活动中老师应重点关注学生: 能否积极主动地合作交流。 能否用语言说明两个变量间的关系。 能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。分析及解答：（1）（2）（3）其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。二、联系生活，丰富联想活动2下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。师生行为学生先独立思考，在进行全班交流。教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：（1） 能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；（2） 能否积极主动地参与小组活动；（3） 能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。分析及解答：（1）（2）（3）概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。活动3做一做：一个矩形的面积为20cm2, 相邻的两条边长为x cm和y cm。那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？师生行为：学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。此活动中教师应重点关注： 生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念； 学生能否顺利抽象反比例函数的模型； 学生能否积极主动地合作、交流；活动4问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？， ， ， 问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6（1） 写出y与x的函数关系式：（2） 求当x=4时，y的值。师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；学生能否积极主动地参与小组活动。分析及解答：1、只有xy=123是反比例函数。2、分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。解：（1）设，因为x=2时，y=6,所以有解得k=12因此（2）把x=4代入，得三、巩固提高活动51、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）求y=2时x的值。2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-113y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。四、课时小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。2612 反比例函数的图象和性质 教学目标 1知识与技能 会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质能用反比例函数的定义和性质解决实际问题 2过程与方法 通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征 3情感、态度与价值观 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣 教学重点难点 重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析 课时安排 2课时第1课时 （一）创设情境，导入新课 问题：1若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n或n-1 2用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 3试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x； （2）y=1-2x （二）合作交流，解读探究 问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k0）的图象是什么样呢？ 尝试 用描点法来画出反比例函数的图象 画出反比例函数y=和y=-的图象 解：列表x-6-5-4-3-2-1123456y=-1-1.5-2-631y=-11.236-1.5 （请把表中空白处填好） 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来 探究 反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=和y=-的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称 归纳 反比例函数y=和y=-的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成 （2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴） （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola） 此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y=-的图象 交流 两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】 由y=和y=-的图象及y=和y=-的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？ 猜想 反比例函数y=（k0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】 （1）反比例函数y=（k为常数，k0）的图象是双曲线 （2）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小 （3）当k0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k0）在同一坐标系中的图象 （ ）【分析】 对于y=kx来说，当k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象在一、三象限，当k 0，在图象的每一支上， y值随x的增大而 减小 2下列图象中，是反比例函数的图象的是 （D） 3（2005年中考东营）在反比例函数y=（kx20，则y1-y2的值为 （A） （A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数 提升能力 4（2005年中考苏州）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可是_（写出满足条件的一个k值即可） 【答案】 略 5在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数图象上 y= （填函数关系式） 6若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象一定在 二、四 象限 开放探究 7两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？ 【答案】 不会相交，因为当k1k2时，方程无解 8点A（a，b）、B（a-1，c）均在反比例函数y=的图象上，若a0，则b 0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小 （2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上 例2（2005年中考河南）三个反比例函数（1） y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系 【分析】 由图象所在的象限可知，k10，k30；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而cb0，因而k3k2k1 【答案】 k3k2k1例3直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求SABC 解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以SAOC=SBOC 设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=x1，OC=y1 故SAOC=ACOC=x1y1=6=3， 从而SABC=2SAOC=6 备选例题 1（2005年中考兰州）已知函数y=-kx（k0）和y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则SBOC=_ 2（2005年中考常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标 【答案】 12； 2y=x，（-3，-1） （四）总结反思，拓展升华 反比例函数的性质及运用 （1）k的符号决定图象所在象限 （2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质 （3）从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S=k （4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用 （五）课堂跟踪反馈 夯实基础 1判断下列说法是否正确 （1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，但永远也不可能到达x轴或y轴（） （2）在y=中，由于30，所以y一定随x的增大而减小（） （3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-的图象上，则abc（） （4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）（） 2设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x10x2时，有y1y2，则m的取值范围是 m3 3点（1，3）在反比例函数y=的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y随x的增大而 减小 4正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3x-1时，反比例函数y的取值范围 【答案】 （1）-， （2）-49- 提升能力 5（2005年中考资阳）已知正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=（k20）的图象有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A） A（2，1） B（-2，-1） C（-2，1） D（2，-1） 6（2005年中考沈阳）如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=（ky2 【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-； （2）（-2，1）； （3）-2x-1 7画出y=-与y=-的图象，并加以区别 【答案】 略 开放探究 8（2005年中考湖州）两个反比例函数y=，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2005，纵坐标分别1，3，5，共2005年连续奇数，过点P1，P2，P3，P2005分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005），则y2005= 2004.5 262 实际问题与反比例函数(一)三维目标一、知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题二、过程与方法1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力三、情感态度与价值观1积极参与交流，并积极发表意见2体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教具准备 1教师准备：课件(课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室等) 2学生准备：(1)复习已学过的反比例函数的图象和性质，(2)预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境 (1)请你解释他们这样做的道理 (2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化? (3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么? 用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么? 当木板面积为0.2m2时，压强是多少? 如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大? 在直角坐标系中，作出相应的函数图象 请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流设计意图： 展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣 师生行为： 学生分四个小组进行探讨、交流领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一 教师可以引导、启发学生解决实际问题 在此活动中，教师应重点关注学生： 能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题； 能积极地与小组成员合作交流； 是否有强烈的求知欲 生：在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小 生：在(3)中，p(S0)p是S的反比例函数；当S0.2m2时p3000Pa；如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?因为在物理学中，SO，p0 师：从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实从这节课开始我们就来学习“172实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便二、讲授新课 活动2 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室 (1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。 设计意图： 让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题 师生行为： 先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动 在此活动中，教师有重点关注： 能否从实际问题中抽象出函数模型； 能否利用函数模型解释实际问题中的现象； 能否积极主动的阐述自己的见解 生：我们知道圆柱的容积是底面积深度，而现在容积一定为104m3，所以Sd104 变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S 所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数 生：根据函数S，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值 题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S500m2时，d?m根据S,得500，解得d20 即施工队施工时应该向下挖进20米 生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d15m，S?m2呢? 根据S，把d15代入此式子，得 S666.67 当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要 师：大家完成的很好当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解， 三、巩固提高 活动3 练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升1立方分米)的圆锥形漏斗 (1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少? 设计意图： 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望 师生行为： 由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注： 学生能否顺利建立实际问题的数学模型； 学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣； 学生能否注意到单位问题 生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升l立方分米1000立方厘米 所以，Sd1000， S (2)根据题意把S100cm2代入S,中，得 100 d30(cm) 所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm 活动4 练习； (1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。 (2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少? (3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图： 进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么? 师生行为 由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价 生：解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20xy 所以y， 即长y与宽x之间的函数表达式为y (2)当矩形的长为12cm时求宽为多少?即求当y12cm时，x?cm，则把y12cm代入y中得 12， 解得x(cm) 当矩形的宽为4cm，求长为多少?即当x4cm时，y?cm，则 把x4cm代入y中， y5(cm) 所以当矩形的长为12 cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm(3)y此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，即y8 cm，所以8 cm，因为x0，所以208xx(cm) 即宽至多是m 四、课时小结 本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想板书设计活动与探究如果等腰梯形ABCD的顶点A，B在一次函数y7的图象上，顶点C、D在这个反比例函数为y的图象上，两底AD，BC平行于y轴，点A和B的横坐标分别为a和a2求a的值 过程：组织学生分小组进行交流，而此问题最关键的是数形结合 结果：点A、B的横坐标分别为a和a2，可得A(a，a7)，B(a2，a4) C(a2，)D(a，)， ABCD，223222()2 即3 由3得a22a8O，方程无解； 由3，得a22a80，a4，a2 经检验a4，a2均为所求的值262 实际问题与反比例函数(二)三维目标 一、知识与技能 1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题 2能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题 二、过程与方法 1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程 2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 三、情感态度与价值观 1积极参与交流，并积极发表意见 2体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教具准备 多媒体课件(课本例2“码头卸货”问题) 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x(元)3456y(个)20151210 (1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点； (2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； (3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润? 设计意图： 进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲 师生行为： 学生亲自动手操作，并在小组内合作交流 教师巡视学生小组讨论的结果 在此活动中，教师应重点关注： 学生动手操作的能力； 学生数形结合的意识； 学生数学建模的意识； 学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法 生：(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y，把点(3，20)代人y，得k60 所以y 把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立 所以y与x的函数关系式为y 生：(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，即x10，根据y在第一象限y随x的增大而减小，所以10，y1O，1Oy60，y6 所以W(x2)y(x2)60 当x10时，W有最大值 即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润师：同学们的分析都很好，除了能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题 下面我们再来看又一个生活中的问题 二、讲授新课 活动2例2码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间 (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?设计意图： 进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想 师生行为： 学生先独立思考，然后小组交流合作 教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注： 学生能否自己建构函数模型， 学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来； 学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志 师：从题设中，我们不难发现：v和t之间的函数关系，实际上是卸货速度与卸货时间之间的关系根据卸货速度货物的总量卸货时间，就可得到v和t的函数关系但货物的总量题中并未直接告诉，如何求得 生：中告诉了我们码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间，根据装货速度装货时间货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量，即货物的总量为308240吨 师：很好!下面同学们就来自己完成 生：解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k380240 所以v与t的函数式为 v (2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均