利率期限结构TermStructurePPT课件.pptx

第三部分利率期限结构 TermStructure 1 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 第一节短期利率模型 背景知识利率衍生产品在时间t时刻的价值等于其中是T时刻的回报值 而是利率的平均值 如果是零息债券的价格 未来的现金回报是 1 那么 2 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 2 如果是连续复利 那么或并且 3 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 3 平衡模型Rendlemen Bartter模型利率服从随即过程这表明利率服从几何布朗运动 但是利率自身的特性是在长期期限内利率将会趋向于一个平均水平 这种现象叫做meanreversion 4 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 4 Vasicek模型利率服从随即过程这个随即过程中加入了meanreversion 利率将会向平均水平b靠拢 a则控制着靠拢的比率 Cox Ingersoll andRoss模型在上述模型中 利率r可能出现负值 因此 CIR模型修正了这一点 5 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 5 无套利模型Ho Lee模型利率的随即过程其中 漂移率表示的是利率变动的方向 并且是时间的函数而不取决于利率本身 漂移率可以写成Ft是即时远期利率斜率 这表明短期利率的平均变动方向近似等于即时的远期利率曲线的斜率 6 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 6 7 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 7 Hull White模型Hull White模型作为Vasicek模型的扩展 认为利率服从随机过程或者随机过程的漂移率是说明短期利率的变动方向将趋向于远期利率斜率 如果出现偏差将会自动修正 并且修正的比率是a 8 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 8 9 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 9 二叉树定理介绍二叉树模型是由Cox Ross Rubinstein1979年提出 一阶二叉树模型 One stepBinomialtree 案例 一份欧式看涨期权合约的执行价格是21美元 有效期是3个月 目前标的资产即股票的价格是20美元 假设我们已经知道三个月后股票价格的走势只有两种可能 一是涨到22美元 二是跌倒18美元 这两种状态只有一种可能三个月后会发生 那么 三个月后的期权的价值也有两种可能 如果股价是22美元 那么期权价值是1美元 如果股价是18美元 期权价值为0 10 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 10 11 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 11 只要市场不存在套利机会 就可以构建一个无风险投资组合 这个组合由 份股票多头 longstock 和一份看涨期权空头 shortstock 组成 通过选择适当的 可以使得这个组合是无风险的 如果期权到期时股票价格是22美元 那么这个组合的价值是22 1 如果股票价格是18美元 组合的价值是18 如果该投资组合是无风险的 那么无论市场价格如何波动 也就说无论股票价格是涨是跌 组合的总价值是恒定不变的 因此 22 1 18 从而得到 0 25那么 此无风险组合是由0 25份股票多头和一份看涨期权空头组成 无论期权到期时股票价格是跌到18美元还是涨到22美元 投资组合的总价值都是4 5 同时 无风险组合的回报率必然是无风险利率 如果此时的无风险利率是12 该投资组合的现值就是4 5e 0 12 3 12 4 367 假设当前期权的价格是f 那么当前组合的价值是20 f 那么它必然等于4 367 从而就可以算出当前期权价格f 0 633 12 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 12 归纳上面的案例 假设当前的股票价格是S0 该股票的看涨期权的当前价格是f 期权的有效期还有 t年 在期权到期时 股票价格可能会由时间0时刻的价格S0增加到S0u u 1 或者减少到S0d d 1 那么 股票价格的增长率和减少率分别是u 1和1 d 对应地 期权到期时的价格是与 同样 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 使得该组合为无风险投资组合 必然有 注 为了书写方便在下面计算中将S0的角标0去掉 Su Sd 从而可以等到 13 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 13 如果无风险利率是r 那么投资组合的现值是 Su e r t从而可以得到将代入计算得出其中 风险中性定价原理 如果无套利理论成立 我们可以将p理解为股票价格上涨的可能性即概率 而1 p就是股票下跌的概率 那么等式的左边就是上涨概率乘以上涨后的回报加上下跌概率乘以下跌后的回报 也就是期权的预期回报价格 14 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 14 根据 我们可以得到 两边同时乘以S 等式的左边是预期的股票价格 即股票价格上涨的概率乘以上涨后的价格加上股票价格下跌的概率乘以下跌后的价格 而等式的右边是股票价格以无风险利率增长到 t年后的股票价格 也就是说股票的预期价格是股票以无风险利率增长 风险中性定价原理的内容 在风险中性世界里 所有可交易证券的期望收益率都是无风险利率 任何可交易证券的价格都是未来现金流期望值按无风险利率贴现 15 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 15 根据风险中性定价原理 我们可以对期权进行定价 它就是期权到期时期权价格的期望值按无风险利率贴现 这里面的概率是风险中性的概率 并不是真实的概率 我们知道股票等有风险资产的收益率必然大于无风险利率 二阶二叉树模型 two stepBinomialtree 案例 假设当前时刻股票价格是20美元 上涨与下跌的幅度都是10 而且每个节点之间的时间都是3个月 无风险利率是12 此股票的看涨期权的执行价格是21美元 16 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 16 根据一阶二叉树模型 我们可以逐次地由最末节点的期权价格向最初节点推导 最终获得最初节点时的期权价格 如下图所示 17 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 17 第一步 D点的股票价格是24 2 期权到期的价值是24 2 21 3 2美元 E和F两点的股票价格分别是19 8和16 2 都小于执行价格21 所以不执行期权 期权价值为0 第二步 计算B点的期权价格时 可以简化为一阶二叉树 即从而 可以直接应用一阶二叉树模型中的公式 由于涨幅与跌幅都是10 所以u 1 1 d 0 9 并且 t 3 12 0 25 r 0 12 计算得出p 0 6523 因此B点的期权价格是 e 0 12 3 12 0 6523 3 2 0 3477 0 2 0257由于E F两点的价格都是0 因此C点的期权价格也是0 第三步 计算A点的期权价格 同样可以简化为一阶二叉树模型来计算 e 0 12 3 12 0 6523 2 0257 0 3477 0 1 2823 18 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 18 归纳上述案例 如果当前股票价格是S0 股票价格到下一节点增涨u倍或者下跌d倍 无风险利率是r 每个节点之间的时间都是 t年 19 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 19 根据一阶二叉树模型 按照上述案例中的方法 可以从最末的节点向最初的节点推导 得出fu e r t pfuu 1 p fud fd e r t pfud 1 p fdd f e r t pfu 1 p fd 从计算出最初节点的期权价格f e 2r t p2fuu 2p 1 p fud 1 p 2fdd 20 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 20 2020 3 20 21 欧式看跌期权与美式期权的二叉树模型上述的一阶和二阶二叉树模型同样也适用于欧式看跌期权 但是在计算美式期权的时候 每一个节点都要考虑是否有可能提前执行期权合约 案例I 一份两年的欧式看跌期权 执行价格是52美元 标的资产即股票的当前价格是50美元 每个节点之间的时间是1年 而且股票价格在每个节点之间的涨幅与跌幅都是20 无风险利率是5 22 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 22 上图中给出了每个节点的股票价格和期权价格 u 1 2 d 0 8 t 1 r 0 05 计算得出p 0 6282 最末节点的股票价格分别是72 48 32 所以对应的期权价格分别是0 4 20 应用二阶二叉树模型 可以计算得出f e 2 0 05 1 0 62822 0 2 0 6282 0 3718 4 0 37182 20 4 1923案例II 同样上述案例中的数据 但是欧式看跌期权换成美式看跌期权 23 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 23 第一步 计算最末节点的期权价格时 可以按照欧式期权计算 因为美式期权到期没有提前执行合约 所以美式期权价格分别是0 4 20 第二步 应用欧式期权的一阶二叉树模型计算中间节点的期权价格 在B点模型计算出的期权价格是1 4147 而如果美式期权此时提前执行合约可以获得收益是52 60 8 因此不选择提前执行合约 此时的美式期权价格就是1 4147 在C点模型计算出的期权价格是9 4636 而如果美式期权此时提前执行合约可以获得收益是52 40 12 那么提前执行合约 此时的美式期权价格就是12 第三步 计算A点的期权价格 应用欧式期权的一阶二叉树模型得到e 0 05 1 0 6282 1 4147 0 3718 12 5 0894 24 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 24 三叉树模型是对二叉树模型的扩展 每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能 从开始的上升到原先的倍 即到达 保持不变 仍为 下降到原先的倍 即 25 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 25 利率树 Interestratetree 利率树与之前的二叉树一样 都是随机过程的离散形式 反应了在较大时间跨度内的利率变动情况 但是利率不同于股票价格 由于利率存在meanreversion的特性 通常我们都用三叉树模型来描述利率变动 此外 在股票价格的二叉树模型当中每个节点的贴现率一般都是一致的 而利率树中每个节点的利率水平都不一样 假设二阶三叉树 每个节点或者时间跨度等于1年 t 1 同时上涨 下跌 和持平的概率分别为0 25 0 5 0 25 该三叉树上每个节点的利率对应的衍生品在下一个时间点的收益是其中R是时间间隔内的利率水平 26 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 26 27 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 27 在最末节点上 衍生品的价值就是其最终的收益 例如E点其价值为100 0 14 0 11 3 对于B点 可以由E F G三点的价值所决定 0 25 3 0 5 1 0 25 0 e 0 12 1 1 11同样地对于C点 其价值由F G H三点的价值所决定 0 25 1 0 5 0 0 25 0 e 0 1 1 0 23而A点的价值则由B和C两点所决定 0 25 1 11 0 5 0 23 0 25 0 e 0 1 1 0 35 28 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 28 利率增长模式一般情况下 利率的增长模式是符合图形 a 的 但是由于利率的meanreversion特性 就会导致 i 当利率增幅过多 那么其最终的增长模式将变成图形 c ii 当利率下跌幅度过大 最终导致其增长模式变成图形 b 29 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 29 利率树的建立Hull White提出了一种构建利率树的方法 有以下两个阶段 第一阶段Hull White的模型假设利率服从随机过程而利率树本质上是离散的随机过程 假设利率树中的时间间隔是 当时 时间点之间的利率R依然服从上述随机过程 30 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 30 但是在第一阶段构造的利率树是针对一种特殊的利率 或者是人为假设的一种利率 其最初的利率值是0 并且服从以下随机过程这个随机过程表明了的预期增长率不再是时间的函数而是一个固定的常数 也就是去除掉了利率的meanreversion特性 另外 根据这个随机过程 可以知道是正态分布 并且其改变量的预期值是 方差是 并且利率树中两个节点间的利率改变量如果是 那么我们假设 31 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 31 第一阶段的目的是针对利率构建一个利率树 关键的问题是如何选择利率的增长方式 如上图中的增长方式 为了解决这个问题 用代表利率树中的节点 其中 代表了时间期限内有多少个小的时间间隔或者是有多少个时间跨度 其数值必须为正整数 表示的是时间期限内利率总改变量 是小的时间间隔内的利率改变量 其数值是正或负整数 在选取利率增长模式时 利率在大多数情况下是遵循a增长模式 32 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 32 但是如果利率预期增长率大于0 a 0 并且j过大 那么根据利率的meanreversion特性 其增长模式就变成了c增长模式同样 如果j取负值并且绝对值过大 此时利率增长模式就变为b增长模式 33 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 33 令为a增长模式转变为c增长模式的临界值 为a增长模式转变为b增长模式的临界值 Hull White发现当等于大于的最小整数 并且等于 才能保证所有增长模式下利率树中每个节点的增长或减少的概率为正 如果 分别是增长 持平 下跌三种情况下的概率 其总和必然为1 而且必须要服从利率在时间间隔内的期望值与方差值 已知利率在时间间隔内的期望值与方差值分别是与 并且如果利率增长符合a增长模式 那么 34 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 34 使用 可以解得 35 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 35 假设在第一阶段 因此 而且与分别等于2 2 对应的概率值也可以求出 这样我们就可以画出一个a模式的利率树 36 厦门大学经济学院金融系 2020 3 20 36 第二阶段第二阶段的目的就是将我们获得的利率树转