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中值定理的证题技巧 专业 数学与应用数学班级 数学092班学号 0920151224姓名 涂淑瑶指导老师 徐建平 目录 内容摘要1中值定理的内容及联系2应用中值定理的基本步骤及建立辅助函数的几点体3微分中值定理证明命题的方法和技巧3 1形如 在内至少存在一点 使得 的相关命题的证明方法3 2形如 在内至少存在满足某种关系式 的相关命题的证明方法 1中值定理的内容及联系 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 罗尔中值定理 推广 特例 推广 特例 返回 2应用中值定理的基本步骤及建立辅助函数的几点体会 2 1应用中值定理的基本步骤中值定理可用于计算 证明 估算 判定等 其应用范围广泛 灵活性较大 但应用中值定理解题时一般要遵循三个基本步骤 1 根据已给问题的特点 确定或构造辅助函数 与 及相应的区间 2 验证 与 在上满足中值定理的条件 3 应用中值定理及已知条件解答问题 2 2建立辅助函数的几点体会 i 原函数法原函数法是常用的 因此 熟悉一些常见函数的导数形式对寻找原函数和是有用的 下面介绍一些常见表达式中的原函数 1 要证即证 所以有 2 要证 即证即证 所以可令 3 要证即证即 所以可令 ii 消去导数法将结论中的换成 通过变形后积分消去导数符号 再移项使等式一边为0 则另一边就是辅助函数 如要证至少存在一点 使 如何建立辅助函数 可把换成 设 积分消去导数符号有 可令 移项得辅助函数 iii 常数值法此法就是将含有区间端点值及端点函数值的式记为 其中构造辅助函数的基本步骤为 1 将结论变形 令其中一边为常数 2 观察分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式 若是 则把其中一个端点设为 相应的函数值改为 3 端点换成变量为的表达式即为辅助函数 返回 3微分中值定理证明命题的方法和技巧 3 1形如 在内至少存在一点 使得 的相关命题的证明方法 1 要证至少存在一点 使的命题两边积分得 建立辅助函数 则 从而有 2 要证至少存在一点 使得的命题 此时 中值定理中的那个函数是 中值定理的那个闭区间是由的两个零点构成即 要求出的两个零点 可以先求出三个使的 这需反复使用罗尔中值定理 3 2形如 在内至少存在满足某种关系式 的相关命题的证明方法 以上所列命题中只含有一个中值 但有些命题中会出现两个中值 此时一般需要使用两次拉格朗日中值定理或柯西中值定理 或一次拉格朗日中值定理 一次柯西中值定理 证明该类型题目时 一般将含有表达式分离到等式的两边 对较为明显的一边运用一次中值 可将等式转化为只含有一个中值的情形 对于含有两个 或两个以上 中值的命题 需要两次 或更多次 使用 拉格朗日中值定理或柯西中值定理 中值公式 一般解题步骤 1 将所证等式变形 使的表达式各在等式的一边 2 从中值表达式易于使用中值公式的一端出发 先用拉格朗日中值定理 或柯西中值定理 使所证等式转化为只
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