数学人教版九年级下册相似三角形.doc

相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念（1） 如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：；注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ( 4) 合比性质：知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DEBC可得： 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知ADBECF, 可得等. 知识点5 相似三角形的概念1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例2. 相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于”3. 相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。6. 直角三角形相似：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则AD2=BDDC，AB2=BDBC ，AC2=CDBC 。7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。8.相似三角形的传递性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。CADB.2、 相似三角形的基本图形.平行线型：即A型和X型。.相交线型 两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.3、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。4、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”已知：ACB=900，CDAB。求证：AC2=ADAB 分析：要证AC2=ADAB，可先证，这时看等号的左边A、C、D三点可确定一个三角形，而等号右边A、C、B三点也可确定一个三角形，即证ACDABC。都看上面的分子为A、B、C及都看下面的分母为A、C、D也可确定去证ACDABC。已知：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BPPC=BMCN 分析：要证BPPC=BMCN，只需证 ,看等号的左边B、P、M和等号右边C、N、P可确定证PBMNCP。证：MN垂直平分APAMMP,ANNP又MNMNAMNPMN(SSS)MPNBAC60易知CPNBMP又BC60MPBPNCBP/NCBM/PC即BPPCBMNC已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: （判断“横定”还是“竖定”？ ）证明：CEAB于E，BFAC于F，AFB=AEC，A为公共角，ABFACE（两角对应相等的两个三角形相似）得AB：AC=AF：AE，A为公共角，AEFACB例2、如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。分析方法：1）先将积式_2）_（ “横定”还是“竖定”？ ）证明：（1）CD是RtABC斜边上的高线，ACF=90-BAC=B；AE平分BAC，CAF=BAE，ACFABEAC:AB=AF:AEACAE=AFAB二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF，直接证DF2=BFCF找不出相似三角形，可改证AF2=BFCF，即证，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABFCAF证明：连，E垂直平分，平分，又C公共，已知；在RtABC中，A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BEFC分析：要证EF2=BEFC，可证，这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证即可。再用“左看、右看”的方法确定证BDEGCF从而完成证明。三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC与BD相交于O点，作BE/CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证，用“上看、下看”定出OBCODC,然后再证,用同样的方法确定证OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的两个高，DGBC，与CE交