3.2-恒定磁场的边界条件3.3--矢量磁位.ppt

3 2恒定磁场的边界条件 3 2 1两种磁介质界面上的边界条件 图3 17H切向分量的边界条件 1 H切向分量的边界条件图3 17是两种磁介质的分界面 磁导率分别是 1 2 两种介质中的磁场强度分别是H1 H2 在不同磁介质的分界面上 由于磁介质的磁导率存在突变 而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流 因此 B和H在经过分界面时要发生突变 B和H在分界面两侧的变化关系称为B和H在分界面上的边界条件 1 2 与分界面法线的夹角分别是 1 2 单位法线矢量由介质2指向介质1 在两种磁介质的分界面上作一个极窄的跨过分界面两侧的矩形回路ABCDA 这个小矩形回路的两边平行于分界面 且分居于分界面两侧 另外两边h垂直穿过分界面 且h 0 AB CD l BDC DCA 0 如图3 17中所示 利用安培环路定理 上式的左边可以写为 3 由于矩形回路极窄 BDC DCA h 0 上式中第二项和第四项积分为零 所以 由图3 17中可以看出 是回路包围的曲面 S的单位法线矢量 所以上式可以写为 4 3 40 式的右边可以写为 把 3 41 式和 3 42 式代入 3 40 式可得 界面上无面电流时 所以 由图3 17中可以看出 上式可以写为 所以在两种磁介质的分界面上 H的切向分量是连续的 沿方向的分量 5 2 B法向分量的边界条件 在两种磁介质的分界面上作一个极扁的跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面 高h为无穷小 圆柱形高斯面 设底面和顶面的面积均等于 S 由恒定磁场的高斯定理 或应用磁通连续方程 仿照2 2 1节中D的法向分量边界条件的推导方法可以导出 或者 即 故 磁感应强度的法向分量连续 可得 6 仿照2 2 1节中推导 2 86 式的方法 可以导出B线和H线在分界面上发生折射的关系式 B2 2H2 B1 1H1 3 B线和H线在分界面的折射 界面上无面电流时 7 3 2 2铁磁质表面的边界条件 约定铁磁质的下标为2 另一种介质的下标为1 对于铁磁质 边界条件 3 45 式 3 46 式和 3 48 式仍然成立 由 3 46 式 在与磁通垂直的界面上 磁感应强度B是连续的 由于 2 1 给定B 铁磁质内的磁场强度H2 0 由边界条件 3 45 式H1t H2t 0 所以铁磁质表面处磁力线 磁感应线 稀少并与界面垂直 切向无磁力线 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度 8 磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体 在理想导磁体中不可能存在磁场强度 否则 由式可见 将需要无限大的磁感应强度 产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流 因而需要无限大的能量 显然这是不可能的 因此 在理想导磁体中不可能存在磁场强度 因为边界上磁场强度的切向分量是连续的 可见 在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量 换言之 磁场强度必须垂直于理想导磁体表面 当然 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度 9 例题3 7试导出介质表面磁化电流密度Jms的表达式 解 设图3 17中介质1是真空 介质2是磁介质 介质2表面没有传导电流时 安培环路定理可以写为 上式右边是对环路包围的所有磁化电流求和 用与推导 3 43 式相同的方法可以导出 由 真空中 介质中 10 由于介质2表面没有传导电流 由 3 44 式 代入上式可得 11 3 3矢量磁位 3 3 1矢量磁位A的引入 A称为矢量磁位 单位是特斯拉 米或韦伯 米 由 3 50 式定义的A不是唯一的 例如设另一矢量 为任一标量函数 则 由 B 0和矢量恒等式 A 0 B可以写为 所以对于给定的B 可引入无数个A 原因是由亥姆霍兹定理 一个矢量场的性质由该矢量场的散度和旋度唯一地确定 3 50 式只定义了矢量场A的旋度 没有定义散度 所以矢量场A是不确定的 12 为了使A是唯一的 令 此时 A 不满足 3 51 式 使得A是唯一的 所以矢量磁位A是由 3 50 式和 3 51 式引入的 3 51 式是一个附加的条件 称为库仑规范 13 3 3 2矢量磁位A的微分方程及其解 1 矢量磁位A的微分方程由 H J和 可以写出 把 3 50 式代入可得 利用 3 51 式可得 所以矢量磁位A满足矢量的泊松方程 求解时一般先写出分量式 例如在直角坐标中 引入矢量磁位A 库仑规范 磁矢位的泊松方程 对无源区 J 0 磁矢位满足矢量拉普拉斯方程 即 14 2 泊松方程的解求解矢量磁位A的泊松方程 利用类比法 静电场中电位满足的泊松方程为 其解为 对比 3 53 式和 3 56 式 对应的量为 利用类比法可以写出 15 A的矢量表达式为 体电流元产生的矢量磁位为 面电流和面电流元产生的矢量磁位分别为 16 线电流和线电流元产生的矢量磁位分别为 把 3 62 式与比奥 萨伐尔定律对比 可以看出 3 62 式中A与电流元Idl同方向 计算简便 所以引入A可以简化磁场的计算 17 3 3 3矢量磁位A的边界条件 矢量磁位A的边界条件为 3 65 式与 这两个边界条件不常用 一般是导出B H后再利用边界条件 等价 表明在媒质分界面上矢量磁位A是连续的 3 64 式与等价 18 3 3 4利用矢量磁位A计算磁场 利用矢量磁位A计算磁场的基本方法是先由电流的分布 求出矢量磁位A 再由求磁感应强度B 例题3 8求长直线电流的矢量磁位A和磁感应强度B 直线电流在P点产生的矢量磁位为 图3 18例题3 3 1图 解 设一直线电流的长度为l 如图3 18所示 直线电流上任一电流元Idz 在P点产生的矢量磁位为 线电流和线电流元产生的矢量磁位分别为 源点到场点的距离 R 19 l 时 20 上式的近似计算中利用了泰勒级数 如果直线电流是无限长的 A是无限大 原因是由于直线电流延伸到无穷远处 不能选无穷远处作矢量磁位的参考点 可以把参考点选在r r0处 即令 其中C是一个常矢量 在A的表达式中附加一个场矢量C 不会影响B的计算 选有限区域某处 3 66 式可以写为 21 无限长直线电流产生的磁感应强度为 与利用毕奥 萨伐尔定律计算的结果 3 34 式相同 例题3 2P103 22 例题3 9半径为a的导线圆环载有电流I 如图3 19所示 求空间A和B的分布 解 由电流分布的对称性可以看出 A只有 分量A A A 与 无关 图3 19中在虚线所示的环路上A 处处相等 选 0平面上的一点P计算A 在导线圆环上任取一电流元Idl P点距圆环中心的距离为r 距电流元Idl的距离为R 电流元Idl在P点产生的矢量磁位为dA 图3 19计算载流导线圆环的磁场 A与电流元Idl同方向 23 与电流元Idl相对于x轴对称的另一个电流元Idl 在P点产生的矢量磁位为dA 如图3 19所示 所以电流元Idl和Idl 在P点产生矢量磁位为 其中 A与电流元Idl 同方向 24 其中 3 70 式中 其中 所以导线圆环在P点产生矢量磁位为 25 所以 把 3 69 式和 3 72 式代入 3 68 式可得 3 73 式中的积分可以用以下几种方法求解 变换成椭圆积分 利用计算机作数值计算 利用近似计算 下面利用近似计算求解 26 若r a 远场 3 73 式中的被积函数为 上式中利用了泰勒级数展开 代入 3 73 式可得 27 磁感应强度为 若r a 近圆心 或sin 1 近轴 可以证明 3 73 式中的被积函数为 28 代入 3 73 式可得 对于sin 1的情况 利用 和 所以 29 对于r a的情况 30 例题3 10空间有一电流分布 J J0rez r a 求空间任一点的矢量磁位A和磁感应强度B 解 可以利用直接积分法先求出矢量磁位A 然后求磁感应强度B 因为J只有ez分量 所以A也只有ez分量 由于电流分布的轴对称性 A只与坐标r有关 设r a的区域内矢量磁位为A1 r a的区域内矢量磁位为A2 则A1 A2分别满足一维的泊松方程和拉普拉斯方程 31 对 3 76 式 3 77 式分别积分2次可得 r a区域内的磁感应强度为 因为r 0时 B1的数值是有限的 所以C1 0 即 r a区域内的磁感应强度为 32 由边界条件r a时 H1t H2t 即所以 代入上式可得 把C1 D1代入 3 78 式 3 79 式可得 其中C2 D2与参考点的选取有关 C1 0 33 3 3 5磁偶极子及其磁场 其中I是线圈中的电流 S是线圈的面积 I与S构成右手关系 下面计算磁偶极子的磁场 由 利用矢量恒等式 3 81 式可以写为 如果场点到线圈的距离r 线圈的线度 任意形状的平面载流线圈可以称为磁偶极子 如图3 20所示 磁偶