数学人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(第1课时).docx

27.2.1相似三角形的判定第1课时知识与技能1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.过程与方法1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.【重点】1.掌握平行线分线段成比例基本事实.2.能利用平行线判定三角形相似.【难点】探索利用平行线判定三角形相似的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).导入一:【课件展示】你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能.如图所示.过渡语泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.导入二:【复习提问】(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?(2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系?【师生活动】学生独立回答,教师点评.设计意图通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用;通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.过渡语三角形是最简单的多边形,我们知道了相似多边形的概念,很容易得到相似三角形的概念.一、认识相似三角形思考并回答:(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?(3)ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是多少? (4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.【师生活动】学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言.(课件展示)(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比. (2)表示:ABC与ABC相似记作“ABCABC”,读作“ABC相似于ABC”.注意:对应顶点写在对应的位置上.(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.(4)ABC与ABC的相似比为k,那么ABC与ABC的相似比是1k.(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.【几何语言】如图所示,A1B1C1ABC,A1=A,B1=B,C1=C;A1B1AB=B1C1BC=A1C1AC.设计意图通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.二、平行线分线段成比例基本事实思路一(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3中,任意作直线AC和A1C1(如图(1)所示),则ABBC=,A1B1B1C1=,即ABBCA1B1B1C1.(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3,l4,l5中,任意作直线AE和A1E1(如图(2)所示),则ABBE=,A1B1B1E1=,即ABBEA1B1B1E1;ADDE=,A1D1D1E1=,即ADDEA1D1D1E1.(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗?(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?(5)尝试用语言概括你得出的结论.【师生活动】学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图所示,当直线l1l2l3时,则ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF等.思路二【动手操作】任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗? (4)你能用语言概括你得到的结论吗?【师生活动】学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.过渡语我们每个同学虽然画的直线的位置不同,但得到的结论是相同的,所以我们可以得到基本事实:【课件展示】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图所示,当直线l1l2l3时,则ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BCAC=EFDF等.设计意图通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.三、平行线分线段成比例转化到三角形中活动1如图所示,l1l2l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)【师生活动】学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.活动2(1)如图所示,ABC中,DEBC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式ADAB=AEAC成立吗?(2)你能用语言叙述图中的结论吗?(3)用几何语言如何描述这一结论?【师生活动】学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.【课件展示】平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.【几何语言】如图所示,DEBC,ADAB=AEAC.设计意图通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.四、利用平行线证明三角形相似问题如图所示,在ABC中,DEBC,且DE分别交AB,AC于点D,E,ADE与ABC相似吗?如何证明?教师引导回答问题:(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?(A=A,ADE=B,AED=C,ADAB=AEAC=DEBC)(2)你能证明这些角对应相等吗?(由两直线平行,同位角相等可得)(3)如何证明ADAB=AEAC?(由平行线分线段成比例事实易得)(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢?(过E作EFAB,交BC于点F)(5)你能证明BFBC=AEAC吗?(由平行线分线段成比例事实易得)(6)你能写出ADEABC的证明过程吗?(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.【师生活动】学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程.证明:在ADE和ABC中,A=A.DEBC,ADE=B,AED=C.过E作EFAB,交BC于点F,DEBC,EFAB,ADAB=AEAC,BFBC=AEAC.四边形DBFE是平行四边形,DE=BF.DEBC=AEAC,ADAB=AEAC=DEBC.ADEABC.【课件展示】平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.【几何语言】如图所示,在ABC中,DEBC,ADEABC.【追问】当DE与BA和CA的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型)设计意图通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.知识拓展(1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是11的两个相似三角形是全等三角形.(2)相似三角形的传递性:如果ABCABC,ABCABC,那么ABCABC.(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等.(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DEBC,则ADEABC.1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,ABCABC.2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.1.(2015乐山中考)如图所示,l1l2l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知ABBC=32,则DEDF的值为()A.32B.23C.25D.35解析:由平行线分线段成比例可得ABBC=DEEF,ABBC=32,DEDF=35.故选D.2.如图所示,DEBC, ADDB=12, 则ADE和ABC的相似比为()A.12B.13C.21D.23解析:DEBC,ADEABC,ADE和ABC的相似比为ADAB,ADDB=12,ADAB=13.故填B.3.若ABC与DEF的相似比是53,则DEF与ABC的相似比是 .解析:根据相似比的概念,可得ABC与DEF的相似比与DEF与ABC的相似比互为倒数,所以DEF与ABC的相似比是35.故填35.4.如图所示,在ABC中,DEBC,若ADAB=13,DE=2,则BC的长为.解析:DEBC,ADEABC,DEBC=ADAB=13,又DE=2,2BC=13,BC=6.故填6.5.如图所示,若DEBC,DE=3 cm,BC=5 cm,求ADDB的值.解:DEBC,ADEABC,ADAB=DEBC,DE=3 cm,BC=5 cm,ADAB=35,ADDB=38.第1课时1.相似三角形的概念、表示2.平行线分线段成比例的基本事实3.平行线分线段成比例在三角形中的应用4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型一、教材作业【必做题】教材第42页习题27.2第1,5题.【选做题】教材第44页习题27.2第14题.二、课后作业【基础巩固】1.若ABCABC,A=40,C=110,则B等于()A.30B.50C.40D.702.若ABCABC,且相似比为k,则k的值等于()A.AAB.AB ACC.ABABD.BCAB3.如图所示,在ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DEBC,若ADDB=12,BC=9,则DE等于()A.2B.3C.4D.54.如图所示,已知在ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DEBC,EFAB,且ADDB=35,那么CFCB的值为()A.58B.38C.35D.255.(2015海南中考)如图所示,点 P是ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有()A.0对B.1对C.2对D.3对6.已知ABCDEF,A=80,B=20,那么DEF的各角的度数分别是.7.(2015金华中考)如图所示,直线l1,l2,l6 是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是.8.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.9.如图所示,已知ACAB,BDAB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO.【能力提升】10.如图所示的是A,B,C,D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,ABCD.根据图中各点坐标,可知D点坐标为()A.0,209B.0,103C.(0,5)D.(0,6)11.(2015株洲中考)如图所示,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.13B.23C.34D.4512.如图所示,已知ABC中,DEBC,EFCD.求证AFAD=ADAB.【拓展探究】13.如图(1)所示,在ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交直线AB于点E,得到DOCEOA.(1)当点O运动到何处时,DOC与EOA的相似比为2?(如图(2)所示)(2)当点O运动到何处时,DOCEOA?(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时DOC与EOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,DO的延长线与BC交于F,且有DFCEFB,当F是BC中点时,求DOC与EOA的相似比.本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主探究平行线分