第15单元：整式的乘除与因式分解_复习课件.ppt

第十五章整式的乘除与因式分解复习 本章知识结构 一 整式的有关概念 1 代数式2 单项式3 单项式的系数及次数4 多项式5 多项式的项 次数6 整式 二 整式的运算 一 整式的加减法 去括号 合并同类项 1 单项式除以单项式2 多项式除以单项式 三 整式的除法 你回忆起了吗 就这些知识 1 同底数幂的乘法2 幂的乘方3 积的乘方4 同底数的幂相除5 单项式乘以单项式6 单项式乘以多项式7 多项式乘以多项式8 平方差公式9 完全平方公式 二 整式的乘法 一 整式的有关概念 1 单项式 数与字母乘积 这样的代数式叫单项式 单独的一个数或字母也是单项式 2 单项式的系数 单项式中的数字因数 3 单项式的次数 单项式中所有的字母的指数和 4 多项式 几个单项式的和叫多项式 5 多项式的项及次数 组成多项式中的单项式叫多项式的项 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 特别注意 多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和 6 整式 单项式与多项式统称整式 分母含有字母的代数式不是整式 二 整式的运算 一 整式的加减法 基本步骤 去括号 合并同类项 1 同底数幂的乘法 法则 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 数学符号表示 其中m n为正整数 二 整式的乘法 练习 判断下列各式是否正确 2 幂的乘方 法则 幂的乘方 底数不变 指数相乘 数学符号表示 其中m n为正整数 练习 判断下列各式是否正确 其中m n P为正整数 3 积的乘方 法则 积的乘方 等于把积的每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 符号表示 练习 计算下列各式 4 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘 把它们的系数 相同字母分别相乘 对于只在一个单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 a b m n a m n b m n a m n b m n 5 多项式与多项式相乘 am an bm bn 1 平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差 这个公式叫 乘法的 平方差公式 说明 平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的 它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式 6 乘法公式 一般的 我们有 1 205 1952 3x 2 3x 2 3 x 2y x 2y 4 x y z x y z 2 完全平方公式 法则 两数和 或差 的平方 等于它们的平方和 加上 或减去 它们的积的2倍 一般的 我们有 注意 1 a b b a 2 a b 2 b a 2 3 a b 2 a b 2 4 a b 3 b a 3 7 添括号的法则 添括号时 如果括号前面是正号 括到括号里的各项都不变符号 如果括号前面是负号 括到括号里的各项都要改变符号 1 同底数幂的除法 即 同底数幂相除 底数不变 指数相减 8 整式的除法 即任何不等于0的数的0次幂都等于1 2 单项式除以单项式 法则 单项式除以单项式 把它们的系数 同底数幂分别相除作为商的一个因式 对于只在被除式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 3 多项式除以单项式 法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 练习 练习 计算下列各题 分解因式 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式 与整式乘法的关系 互为逆过程 互逆关系 方法 提公因式法公式法 步骤 一提 提公因式 二用 运用公式 三查 检查因式分解的结果是否正确 彻底性 九 1 公因式 一个多项式的各项都含有的公共的因式 叫做这个多项式各项的公因式 2 找公因式 找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积 3 提公因式法 一般地 如果多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提到括号外面 作为多项式的一个因式 然后用原多项式的每一项除以这个公因式 所得的商作为另一个因式 将多项式写成因式乘积的形式 这种因式分解的方法提公因式法 知识点1因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 也叫做把这个多项式分解因式 知识点2提公因式法 多项式ma mb mc中的各项都有一个公共的因式m 我们把因式m叫做这个多项式的公因式 ma mb mc m a b c 就是把ma mb mc分解成两个因式乘积的形式 其中一个因式是各项的公因式m 另一个因式 a b c 是ma mb mc除以m所得的商 像这种分解因式的方法叫做提公因式法 例如 x2 x x x 1 8a2b 4ab 2a 2a 4ab 2b 1 x 2a 探究交流 下列变形是否是因式分解 为什么 1 3x2y xy y y 3x2 x 2 x2 2x 3 x 1 2 2 3 x2y2 2xy 1 xy 1 xy 1 4 xn x2 x 1 xn 2 xn 1 xn 提公因式错误 可以用整式乘法检验其真伪 不满足因式分解的含义 因式分解是恒等变形而本题不恒等 是整式乘法 典例剖析 例1用提公因式法将下列各式因式分解 1 x3z x4y 2 3x a b 2y b a 解 1 x3z x4y x3 z xy 2 3x a b 2y b a 3x a b 2y a b a b 3x 2y x3 b a a b a b 小结运用提公因式法分解因式时 要注意下列问题 1 因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并 而且每个括号内不能再分解 如 7m 8n x y 3m 2n x y x y 7m 8n 3m 2n x y 4m 6n 2 x y 2m 3n 2 如果出现像 2 小题需统一时 首先统一 尽可能使统一的个数少 这时注意到 a b n b a n n为偶数 例如 分解因式a x y 2 b y x 3 c y x 2 本题既可以把 x y 统一成 y x 也可以把 y x 统一成 x y 但比较而言把 x y 化成 y x 比较简便 因为 x y 2 y x 2 a x y 2 b y x 3 c y x 2 a y x 2 b y x 3 c y x 2 y x 2 a b y x c y x 2 a by bx c 3 因式分解最后如果有同底数幂 要写成幂的形式 例如 7a 8b a 2b a 8b a 2b a 2b 7a 8b a 8b a 2b 8a 16b 8 a 2b a 2b 8 a 2b 2 做一做 把下列各式分解因式 1 2a b 2a 3b 2a 5b 2a b 2 4p 1 q 3 2 q 1 2 2 2a b 2 2 1 q 2 2p 2pq 1 或2 q 1 2 2p 2pq 1 2 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2其中 a2 2ab b2叫做完全平方式 例如 4x2 12xy 9y2 2x 2 2 2x 3y 3y 2 2x 3y 2 知识点3公式法 1 平方差公式 a2 b2 a b a b 例如 4x2 9 2x 2 32 2x 3 2x 3 探究交流 下列变形是否正确 为什么 1 x2 3y2 x 3y x 3y 2 4x2 6xy 9y2 2x 3y 2 3 x2 2x 1 x 1 2 目前在有理数范围内不能再分解 不是完全平方式 不能进行分解 不是完全平方式 不能进行分解 例2把下列各式分解因式 1 a b 2 4a2 2 1 10 x 25x2 3 m n 2 6 m n 9 解 1 a b 2 4a2 a b 2 2a 2 做一做 把下列各式分解因式 1 x2 4 2 2 x2 4 1 2 x y 2 4 x y 1 1 x2 3 2 2 x y 2 2 2 1 10 x 25x2 3 m n 2 6 m n 9 m n 3 2 a b 2a a b 2a 3a b b a 1 5x 2 1 10 x 5x 2 4a2 2a 2 2a 2a 25x2 5x 2 综合运用 例3分解因式 1 x3 2x2 x 2 x2 x y y2 y x 解 1 x3 2x2 x x x2 2x 1 x x 1 2 2 x2 x y y2 y x x x2 x y y2 x y x y x y x y x y x y 2 x y x2 y2 小结解因式分解题时 首先考虑是否有公因式 如果有 先提公因式 如果没有公因式是两项 则考虑能否用平方差公式分解因式 是三项式考虑用完全平方式 最后 直到每一个因式都不能再分解为止 探索与创新题 例4若9x2 kxy 36y2是完全平方式 则k 分析 完全平方式是形如 a2 2ab b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和 或差 9x2 kxy 36y2 3x 2 kxy 6y 2 kxy 2 3x 6y 36xy k 36 做一做 若x2 k 3 x 9是完全平方式 则k k 3或k 9 思考题分解因式 x4 x2 4 x4 x2 3 10 分析 把x4 x2作为一个整体 用一个新字母代替 从而简化式子的结构 解 令x4 x2 m 则原式可化为 m 4 m 3 10 m2 m 12 10 m2 m 2 m 2 m 1 x4 x2 2 x4 x2 1 x2 2 x2 1 x4 x2 1 x2 2 x 1 x 1 x4 x2 1 1 利用因式分解计算 1 2 1 1 1 1 3 20042 4008 2005 20052 4 9 92 9 9 0 2 0 01 2 若a b c为 ABC