质、约、倍、合(小学五六年级奥数).docVIP

第 五 讲 质数、约数、倍数、合数 （一）（ 补充练习）（一） 第一组补充练习。练习1、555555的约数中最大的三位数是多少？ 分析： 555555357111337 555555的约数中最大的三位数是3737777 练习2、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始每隔12米设一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？分析： 狐狸第一次跳进陷阱时跳了，米， 黄鼠狼第一次跳进陷阱时跳了，米， 黄鼠狼先跳进陷阱，黄鼠狼跳了米，时间过去29秒钟，这个时候狐狸跳了4940.5（米） 答：当黄鼠狼先跳进陷阱时狐狸跳了40.5米。练习3、两数乘积为2800，而且已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1，那么这两个数分别是 、 。分析： 280024527， 其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1，所以这两个数中一定有一个数的约数个数为奇数个，有奇数个约数的数是平方数。是2800的约数，又是完全平方数，只能是：一个数： 22， 24， 52， 2252， 2452，另一个数：22527， 527， 247， 227， 7 经过检验，只有这两个数分别是24和527时符合要求。24有5个约数，527有6个约数。所以这两个数分别是16和175。练习4、已知三个合数A、B、C两两互质，且ABC10012811，那么ABC的最小值为 。分析： ABC100128117111322711227211213 A、B、C两两互质，所以22、72、112不能分配给两个数，再根据“积一定，差越小，和越小”，这三个数只能是112、72、2213。 ABC的最小值为1214952222。 答：ABC的最小值为222。（二） 第二组补充练习。【练习1】 6个奇数的和是98，积是4267305，这6个奇数中最大的数与最小的数的和为 。 42673053257192331 3157192331 想法：4267305含有质因数3、5、7、19、23、31（其中3含有2个）。它们的和是35719233188，88比98少了10。可以将多出来的3与5相乘得到15，这样315719233198， 6个奇数分别是3、15、7、19、23、31，最大数与最小数的和是33134。【练习2】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末四位数字都是0，那么这11个数的平均数是多少？解：343777 ，11个连续自然数中最多有2个数是7的倍数，如7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17，而11个连续两位数的乘积能被73343整除，说明在11个连续的两位数中至少有一个数是7249的倍数，这个数是49或98。乘积的末四位数字都是0，说明这11个乘数中共含有4个质因数5。而11个连续自然数中最多有3个数是5的倍数，如5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，说明在11个连续的两位数中至少有一个数是5225的倍数，这个数是25、50或75。这11个连续两位数中含有“49或98”与“25、50或75”；经过检验，这11个连续两位数是40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50。他们的平均数就是他们的中间数45。【练习3】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍。现有一个整数n，除掉它的约数1和n除外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？ 设整数n除约数1和n外最小的约数是，最大的约数是15。 n15352 3、5、都是n的约数，且是n最小的约数（除约数1和n外）。因此， 3 当2时，n352260； 当3时，n3532135； 所以，满足条件的整数n有60和135。【练习4】、200名同学编号为1至200号面向南站成一排，第一秒全体同学向右转（转后所有的同学面向西）；第2秒编号为2的倍数的同学向右转；第3秒编号为3的倍数的同学向右转；第200秒编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名。 想一想，编号为“9”的同学第几秒转？ 第1、3、9秒，即“9”的倍数的时候转。某个同学转的次数是由它的编号的约数个数决定的，有几个约数，就转几次。 开始所有同学都面向南，最后有些同学面向东，面向东的同学转了3次、7次、11次、；即转的次数是被4除余3的数。 在1200中，恰好有3个约数的数有22、32、52、72、112、132 共6个。 恰好有7个约数的数有26 共1个。 恰好有11个约数的数有 0个。 恰好有15个约数的数有3224 144， 共1个。 所以，一共有8个满足条件的数，200秒后面向东的同学有8名。 【练习5】已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？解：设A3a5 bd d不含质因数3和5 A的约数的个数为（a1）（b1）n12 n为d中含有的约数个数。9 A的约数的个数为（a3）（b1）n24 与比较得 2 解得a1 15 A的约数的个数为（a2）（b2）n36 与比较得 3 解得b0 把a1，b0代入式 n6， 5 A的约数个数（a1）（b2）n 22624（个） 答：5 A有24个约数。【练习6】已知自然数n满足：12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。 12！n 完全平方数 （2103552711）n 完全平方数 这个完全平方数是12！的约数，最大是2103452，所以n的最小值是：12！（2103452）3711231。 答；n的最小值是231。【练习7】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小数的差为60，求这三个数。解： 设这三个数从大到小分别是A2、B2、C2。 A2B280， B2C260 A2C2140 即（AC）（AC）140AC和AC的奇偶性相同，而140的约数共6组： 1和140； 2和70； 4和35； 5和28；7和20；10和14；共2种可能 AC70 AC14 AC2 AC10 解得A36，C34 或A12，C2 当A36，C34 时B2不是平方数。 当A12，C2时，B2A2806482 A2122144 B28264 C2224答：这三个数分别是144、64、4。【练习8】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三个数的和为立方数，则这五个数中最小的数的最小值为多少？解： 设五个数的中间数为，则五个数的和为5，中间三个数的和为3。 根据“五个数的和是一个平方数”，设这五个数的和为52a2， 552a2 5a2 中间三个数的和是一个立方数，即335a2，为了使35a2是一个立方数，a2至少含有质因数3和5各2个。即a2至少为a23252225， 5a2532521125，这五个数中最小的数的最小值为112521123。【练习9】若六位数恰有16个正约数，请问这样的的最小值是什么？ 100171113 该六位数最少有3个质因数7、11、13，又因为162222所以该六位数最多有4个质因数。 当六位数恰好有3个质因数时，因为16422，分解质因数形如A1B1C371113，所以只可能是72 、112 、132 ，其中7249不是三位数，所以在这种强况下最小为112121，121121 当六位数恰好有4个质因数时，因为162222，71113， 也是一个质数而且是三位数，最小为101，101101。 该六位数最小为101101。【练习10】、从1到600中所有能被3整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个连续的0？解： 从1到600所有能被3整除的数有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、597、600。共有6003200个。观察这200个数，从前向后分别是3的1倍、2倍、3倍、200倍。从前向后每5个数一组，每组最后一个数都是5的倍数，含有质因数5；从前向后每25个数一组，每组最后一个数都是25的倍数，含有2个质因数5；从前向后每125个数一组，每组最后一个数都是125的倍数，含有3个质因数5。 在这200个数中5的倍数有15、30、45、60、75、600；共有200540个。 在这200个数中25的倍数有75、150、225、300、375、450、525、600，共8个。 在这200个数中125的倍数只有375一个。 这200个数的乘积分解质因数后共含有408149个质因数5，而乘积中质因数2的个数远远多于质因数5的个数。所以乘积的末尾共有49个连续的0。【练习11】、在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ 933，根据约数个数公式，所求的三位数分解质因数只能是：A8、A2B2 两种形式。 这个三位数分解质因数如果是A8形式，386561，只有28256符合条件，。 这个三位数分解质因数如果是A2B2形式，符合条件的有：2252100、2272196、22112484、22132676、3252225、3272441， 所以，符合条件的数一共有7个。【练习12】、一个房间里有100盏灯，用自然数1、2、3、4、100编号，每盏灯各有一个开关，开始时，所有的灯都不亮。有100个人轮流进入房间，第一个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离去。第二个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离去；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离去。问：第100个人离开房间后，房间里那些灯还亮着？ 对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，开关被按奇数次时灯是亮着的，开关被按偶数次时灯是灭着的。 “一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯编号的约数个数”。求哪些灯还亮着，就是求哪些灯编号的约数个数是奇数个。显然，完全平方数有奇数个约数，所以用完全平方数编号的灯是亮着的。 在1100这100个数中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。【练习13】、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？解： 完全平方数，分解质因数后质因数必成对出现。 7222232262 乘以72后是完全平方数的数必是某个平方数的2倍。 23121922 1922符合要求，且19222008 2322