已知三点确定二次函数的表达式.ppt

第二章二次函数 确定二次函数的表达式 西安市东方中学刘录平 课讲解 确定二次函数的表达式1 用一般式 三点式 确定二次函数表达式2 用顶点式确定二次函数表达式3 用交点式确定二次函数的表达式 一名学生抛实心球时 实心球行进高度y m 与水平距离x m 之间的关系如图所示 其中 4 3 为图象的顶点 你能求出y与x之间的关系式吗 知识点 确定二次函数的表达式 想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件 与同伴进行交流 1 总结 1 总结 2 二次函数的表达式中有几个待定的字母 就需要有几个条件去求解 反过来 要根据题目中给定的条件数目去设相应的函数表达式并求解 这种方法叫待定系数法 用待定系数法求二次函数的表达式 1 若给出抛物线上任意三点 通常可设一般式y ax2 bx c a 0 2 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值 通常可设顶点式y a x h 2 k a 0 3 若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离 通常可设交点式y a x x1 x x2 a 0 2 知识点 用一般式 三点式 确定二次函数表达式 例1已知二次函数的图象经过 1 10 1 4 2 7 三点 求这个二次函数的表达式 并写出它的对称轴和顶点坐标 解 设所求二次函数的表达式为y ax2 bx c 将三点 1 10 1 4 2 7 的坐标分别代人表达式 得 所以 所求二次函数表达式为y 2x2 3x 5 因为y 2x2 3x 5 2所以 二次函数图象的对称轴为直线 顶点坐标为 总结 已知抛物线过三点 求其对应的函数表达式 可采用一般式 而用一般式求待定系数要经历以下三步 第一步 设一般式y ax2 bx c 第二步 将三点的坐标分别代入一般式中 组成一个三元一次方程组 第三步 解方程组即可求出a b c的值 探究活动 一个二次函数的图象经过点A 0 1 B 1 2 C 2 1 你能确定这个二次函数的表达式吗 你有几种方法 与同伴进行交流 方法一 解 设所求的二次函数的表达式为由已知 将三点 0 1 1 2 2 1 分别代入表达式 得 所求函数表达式为 解这个方程组得 方法二 解 A 0 1 与C 2 1 的纵坐标相同 A C两点关于二次函数的对称轴对称根据对称轴性质可得对称轴的横坐标 所以B 1 2 为二次函数的顶点 可设 将A 0 1 代入解得 3 知识点 用顶点式确定二次函数表达式 例2已知抛物线的顶点坐标为 4 1 与y轴交于点 0 3 求这条抛物线的解析式 解 依题意设y a x h 2 k 将顶点 4 1 及交点 0 3 代入得3 a 0 4 2 1 解得a 这条抛物线的解析式为 y x 4 2 1 总结 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值 通常可设顶点式y a x h 2 k a 0 那么再知道图象上另一点的坐标 就可以确定这个二次函数的表达式 练习 已知二次函数图象的顶点坐标是 1 1 且经过点 1 3 求这个二次函数的表达式 4 知识点 用交点式确定二次函数的表达式 例3如图 已知抛物线y ax2 bx c与x轴交于点A 1 0 B 3 0 且过点C 0 3 1 求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标 2 请你写出一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落在直线y x上 并写出平移后抛物线对应的函数表达式 导引 1 利用交点式得出y a x 1 x 3 进而求出a的值 再利用配方法求出顶点坐标即可 2 根据 左加右减 上加下减 得出抛物线对应的函数表达式 进而得出答案 解 1 抛物线与x轴交于点A 1 0 B 3 0 可设抛物线对应的函数表达式为y a x 1 x 3 把点 0 3 的坐标代入得 3a 3 解得a 1 故抛物线对应的函数表达式为y x 1 x 3 即y x2 4x 3 y x2 4x 3 x 2 2 1 顶点坐标为 2 1 2 答案不唯一 如 先向左平移2个单位 再向下平移1个单位 得到的抛物线对应的函数表达式为y x2 平移后抛物线的顶点为 0 0 落在直线y x上 总结 若已知抛物线与x轴的交点坐标 通常可设交点式y a x x1 x x2 a 0 那么再知道图象上另一点的坐标 就可以确定这个二次函数的表达式 练习 抛物线与坐标轴交点分别为A 1 0 B 3 0 C 0 2 则抛物线的解析式为 用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法 若已知图象上三个任意点的坐标 则利用一般式y ax2 bx c求 若已知图象的顶点坐标 或对称轴或函数的最值 则利用顶点式y a x h 2 k求 若已知图象与x轴的两个交点 则利用交点式y a x x1 x x2 求解 1 求二次函数表达式的几种方法之间是相互联系的 而不是孤立的 不同的设法是根据不同的已知条件结合二次函数图像的性质来确定的 2 在选用不同的设法时 应具体问题具体分析 特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时 应灵活地选用不同的方法来求解 以达到事半功倍的效果 易错警示 根据题目中的条件设出相应的函数达式 一名学生抛实心球时 实心球行进高度y m 与水平距离x m 之间的关系如图所示 其中 4 3 为图象的顶点 你能求出y与x之间的关系式吗 若二次函数的部分图像如图 对称轴是直线x 1 则这个二次函数的解析式为 已知二次函数y有最大值4 且图像与x轴的两交点间的距离是8 对称轴为直线x 3 则此二次函数的解析式为 已知 抛物线C1 将其平移 使平移后的抛物线C2与y轴交于点A 0 5 且顶点在直线y 2x 2上 则抛物线C2的解析式是 已知二次函