9-连分数与佩尔方程的最小整数解.doc

连分数与佩尔（Pell）方程的最小正整数解（0）基本命令 LCM2,3,5：求2，3，5的最小公倍数。 GCD3,6,9：求3，6，9的最大公因子。 RealDigits2008：对2008进行数字分解，并别求出2008是几位数。程序执行后结果：2,0,0,8,4 Dropx,y,z,3：从向量x,y,z中去掉第3个元素。（1）连分数表示法一个“既约”分数（分子可以比分母大，但无公因子）可以表示成连分数的形式。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction得到结果：0，1，1，1，5。这表示二次整系数方程的根叫做二次无理数。初等数论中已经证明：一切二次无理数表示成连分数，都具有无穷循环节。例如将表示成连分数，程序如下：ContinuedFraction得到结果：4，3，6。这表示其中3，6用花括号括起来，表示无穷循环节。反之，我们可以通过一个数的连分数表示形式求其正常形式。例如：FromContinuedFraction 1，2，3 得到结果：。这表示：连分数又例如，FromContinuedFraction 2, 1, 4, 2, 3 得到结果：。这表示：（2）佩尔（Pell）方程的最小正整数解公元前世纪下半叶古希腊科学家阿基米德（Archimedes，公元前287公元前212年）在其论著中记载了一个牲畜问题，普遍称作群牛问题。历史上对这问题的研究丰富了初等数论的内容。 原文用诗句写成，大意是：西西里岛草原上有一大群牛，公牛和母牛各有种颜色。设、分别表示白、黑、黄、花色的公牛数，、分别表示这白、黑、黄、花色的母牛数。它们满足：、（1）不附加条件的群牛问题求解方程组：、在Mathematica4.1软件包中编程如下3：执行后得到结果：其中，是自由变量。求分母的最小公倍数，就可以得到整数解：LCM367903,3679030,7358060,790,1580执行后得到最小的z =7358060，将其代入方程组及需求解：执行后得到：即，百色母牛（头），黑色母牛（头），黄色母牛（头），杂色母牛（头）；百色公牛（头），黑色公牛（头），黄色公牛（头），杂色公牛（头）。 不附加条件的群牛问题，总数最少为4149426239697（头），即，大约四万一千四百九十四亿头。（2）附加条件的群牛问题求解方程组：、并且，为一个三角数，即，其中，是一个正整数，以及为一个长方形数，即， 较简问题因为牛的身长与体宽不一样，“较简问题”表示，将牛排成长方形，两边的数目不一样。有文章说，较简问题求解后，牛的总数近万亿头。 完全问题（长与宽的数目相等），即，将牛排成正方形，两边的数目相等时，称为“完全问题”。求解完全问题，最后归结为求解二元二次方程不定方程（Pell方程）X2 410286423278424Y2 = 1这个不定方程的解，已经通过计算机在几分钟之内求出。这个方程的最小正整数解是名副其实的天文数字(求解结果在后面)。17世纪，费尔马重新提出求解不定方程X2 A*Y2 = 1的解的问题，其中A是正的非完全平方数。他提出此方程有无穷多组正整数解。同时他向所有的数学家挑战：求出此方程的无穷多组正整数解。英国皇家学会的第一任会长布龙克尔勋爵（Lord Brouncker）给出了解，但他未能证明解有无穷多个。瓦利斯（J. Wallis，1616-1703）彻底解决了这个问题。佩尔（J. Pell，16111685）在他的一本著作中附录了瓦利斯的结果。欧拉在他于1732年发表的一篇论文中错误地称X2 A*Y2 = 1为Pell方程，这个错误就沿袭至今。假设A是正的非完全平方数，则是二次无理数，它的连分数循环节表示形式是：当无穷循环节中数字的个数r是偶数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解；当无穷循环节中数字的个数r是奇数时，取的近似分数：得到解x、y，这就是Pell方程X2 A*Y2 = 1的解。例1 公元650年左右，首创0不能作除数的印度数学家Brahmagupta（婆罗摩及塔）曾致力研究Pell方程ax2 + 1 = y2,他说：“在一年里头能解出X2 92Y2 = 1的人是一位数学家”。用Mathematica5编程求解如下：得到：9,1,1,2,4,2,1,1,188无穷循环节中数字的个数共8个（即r = 8是偶数的情况），再输入：得到分数：即x = 1151，y = 120是此Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解。例2 据说有人曾向英国数学家瓦利斯提出挑战，要他解X2 313Y2 = 1，结果，他在一小时之内就找到正确的答案。17无穷循环节中数字的个数共17个（即r = 17是奇数的情况），再输入：得到分数：即x = 32188120829134849，y = 1819380158564160是此Pell方程X2 313Y2 = 1的最小正整数解。（3）直接求解佩尔（Pell）方程的最小正整数解第一步 建立一个求解模块。首先执行以下程序：PellSolvem_Integer?Positive := Module cf, n, s ,cf = ContinuedFraction; n = Length Last cf ;If OddQ n , n = 2n ;s = FromContinuedFractionContinuedFraction, n ; Numerator s , Denominator s ;第二步，例如，求解Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解，直接输入以下命令即可： PellSolve 92 得到结果： 1151，120 。即，x = 1151，y = 120是Pell方程X2 92Y2 = 1的最小正整数解。例3 阿基米德问题X2 410286423278424Y2 = 1，用现代计算机可以在几分钟之内求解。程序如下： PellSolve 410286423278424 / Timing运行之后，可以知道运算时间和结果，但是得到的结果太大，不在此收录，读者自己计算即可。另外，我们可以用以下命令求出此Pell方程解的位数：a = PellSolve 410286423278424 ;w1 = Last RealDigits a 1 ;Print“w1 = ”,w1w2 = Last RealDigits a 2 ;Print“w2 = ”,w2其中a = PellSolve 410286423278424 运行的结果是得到Pell方程的最小正整数解 a = x, y ,此处a的第一个分量a 1 = x, 第二个分量a 2 = y；命令RealDigits a 1 运行的结果是得到x = a 1 的位数；RealDigits a 2 运行的结