高等数学函数的连续性PPT参考课件.ppt

1 3 函数的连续性 1 掌握函数连续性的判断方法 2 零点定理的应用 2 1导数的概念 3 掌握导数的概念 几何意义及其与连续性的关系 1 1 变量的增量 设函数y f x 在点x0的某一个邻域U x0 内有定义 称Dy f x0 Dx f x0 函数y的增量 在邻域U x0 内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx x1 x0为自变量x的增量 1 3 1 函数连续性 2 2 函数的连续性定义 提示 设x x0 Dx 则当Dx 0时 x x0 因此 Dy f x0 Dx f x0 3 左连续和右连续 4 解题思路 根据函数连续的充要条件 5 函数在区间内连续 6 7 1 3 2 函数的间断点 如果函数f x 在点x0有以下三种情况之一 则称函数在点x0为不连续 x0称为函数的不连续点或间断点 8 可去间断点只要改变或补充间断点的函数值定义后 间断点可以变成连续点 9 10 11 1 3 3 初等函数的连续性 一 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 二 设函数f x 和g x 在点x0连续 则函数 在点x0也连续 三 设函数y f g x 由函数y f u 与函数u g x 复合而成 若函数u g x 在点x0连续 函数y f u 在点u0 g x0 连续 则复合函数y f j x 在点x0也连续 12 四 初等函数在其定义区间内是连续的 13 总结 由于函数在其连续点x0满足 初等函数在其有定义的点处求极限 求这一点的函数值 14 例1 15 因式分解 去掉零因子 有理化 去掉零因子 16 17 18 一般地 19 例7 有理化 去掉零因子 20 1 3 4 闭区间上连续函数的性质 定理8 最值定理 闭区间 a b 上的连续函数f x 在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次 推论6 闭区间 a b 上的连续函数f x 一定有界 21 定理9 介值定理 若y f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 则对于f a 与f b 之间的任意一个常数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得f x C a x b 定理的几何意义 连续曲线f x 与水平直线y c至少相交于一点 22 推论 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 0 则在开区间 a b 内至少一点x 使f x 0 应用 求一个方程在某区间内至少有一个实根 23 例9证明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个实根 证明设f x x3 4x2 1 则f x 在闭区间 0 1 上连续 并且f 0 1 0 f 1 2 0 根据推论 在 0 1 内至少有一点x 使得f x 0 即x3 4x2 1 0 0 x 1 这说明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根是x 24 第二章一元函数微分学 一 导数的概念二 导数的运算三 微分四 导数的应用 25 本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念 其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度 即函数的变化率 而微分则是指当自变量有微小变化时 函数改变量的近似值 本章重点导数与微分的概念 基本初等函数的求导公式 求导法则 本章难点导数与微分的概念 复合函数的求导法则 26 实例1 变速直线运动的瞬时速度问题 如图 取极限得 瞬时速度 2 1导数的概念 设物体作直线运动所经过的路程为s f t 求t0时刻瞬时速度 27 2 1 2导数的定义 定义1 设函数f x 在x0及其某个邻域内有定义 当自变 量x在x0处取得增量 x时 相应地函数y取得增量 如果 存在 则称函数y f x 在x0处可导 或称y f x 在x0处有导数 该极限值就是f x 在点x0处的导数 记为 28 29 30 很明显 31 由导数定义可知 由定义求导数步骤 32 例1设 求 解一 所以 解二 33 例2 解 34 35 单侧导数 导数与单侧导数的关系 函数f x 在开区间 a b 内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f x 在闭区间 a b 上可导是指函数f x 在开区间 a b 内可导 且在a点有右导数 在b点有左导数 函数在区间上的可导性 36 37 例5已知 解因为 所以 从而 38 M T 的切线方程 法线方程 N 2 1 3导数的几何意义 39 例3 解 根据导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 40 2 1 4可导与连续的关系 结论 可导的函