（精选）西华大学大物第4章机械振动.ppt

1 2 一般地说 任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动 振动有 机械振动 电磁振动 光振动 力学中主要研究机械振动 最简单最基本最有代表性的是简谐振动 学习中的重点和难点是 相 phase 3 4 1简谐振动的一般概念 4 1 1简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动 取平衡位置为坐标原点 若质点对平衡位置的位移 坐标 x随时间t按余弦变化 即 则称质点作简谐振动 谐振 注意 研究简谐振动时 坐标原点一定要取在平衡位置 x Acos t 运动学方程 4 x Acos t A 振幅 对平衡位置最大位移的绝对值 初相 t 0时的相 t 相 位相 相位 周相 三个特征量 角频率 5 a d2x dt2 2x 显然 它们都是简谐振动 动力学特性 k m 2 x Acos t 加速度 速度 m A am 2A 4 1 2简谐振动的特征 等幅振动 A不变 周期振动 x t x t T 6 t 0 x A 0 正最大 t 在第1象限 x 0 0 t 3 2 x 0 0 平衡位置 t 在第4象限 x 0 0 t 2 x A 0 正最大 x Acos t 可见它们由相位唯一确定 4 1 3质点的振动状态完全由相位确定 7 4 1 4振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 0 振动x2比x1超前 2 1 0 振动x2比x1落后 1 2 0 振动x2和x1同相 振动x2和x1反相 例1x Acos t Asin t Acos t 2 a 2Acos t 2Acos t 2x 比x超前 2 a比 超前 2 a与x反相 8 x a的位相关系 9 例2x1 0 3cos t x2 0 4cos t x2超前x1 0 4cos t x1超前x2 10 一 解析法 x Acos t 角频率 由谐振系统确定 对弹簧振子 顺便指出 弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反 例如 一根弹性系数为k的轻弹簧 均匀分成两段后 每段的弹性系数是多少 4 2简谐振动的描述 11 x Acos t Asin t o Asin 振幅A和初相 由初始条件 即t 0时刻物体的运动状态 来确定 12 解 x Acos t 13 解 由m1g kx 得 t 0时 xo 2cm o 10cm s 2 06cm 例题2 2弹簧挂m1 80g时伸长4 9cm 用此弹簧与m2 40g组成一弹簧振子 将m2从平衡位置向下拉2cm后 给予向上初速 o 10cm s并开始计时 试求振动方程 14 0 25 14 04 0 24rad t 0时 xo 2cm o 10cm s 应取 0 24 3 38 rad 所求振动方程为x Acos t 2 06cos 20t 3 38 cm A 2 06cm 20 15 二 旋转矢量法 负最大 端点M在x轴上的投影点 p点 的位移 x Acos t 显然 p点作简谐振动 t 相位 正最大 0 动画演示 16 例题2 3求简谐振动质点的初相 1 t 0时 xo A 2 t 0时 质点经过平衡位置正向x轴正方向运动 则 3 2 或 2 3 t 0时 xo A 2 质点正向x轴负方向运动 则 xo Acos 4 t 0时 质点正向x轴正方向运动 则 3 5 4 17 解质点受弹性恢复力的作用 故作简谐振动 由 知 直接用下述公式求A 是困难的 T 12s 18 于是 t 1 最后得 由t 0 xo 0 知 2 又因T 12s t 1s 2 0 所以 2 已知 t 0 xo 0 t 1s 2m s 19 解 由F kx 得 1 t 0时 xo 0 1m o 0 0 1m 200 例题2 5弹簧在60N的拉力下伸长30cm 将m 4kg 从平衡位置下拉10cm后静止释放 t 0 求 1 振动方程 2 物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力 3 物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间 20 lo 0 196m 弹簧对物体的拉力 F k lo 0 05 29 2N 3 物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间 A 10cm 平衡条件 2 物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力 21 解 1 x 0 12cos t m 2 0 19 m s 1 03 m s2 例题2 6质点作简谐振动 T 2s A 0 12m t 0时 xo 0 06m 向x轴正方向运动 求 1 振动方程 2 t 0 5s时的速度和加速度 3 x 0 06m 且向x轴负向运动时的速度和加速度 4 从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间 22 0 33 m s 0 59 m s2 相位 3 x 0 06m 且向x轴负向运动时刻的速度和加速度 A 0 12m 23 旋转矢量转动的角速度 旋转矢量转动过程所用的时间 即质点从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间为5 6s 4 从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间 旋转矢量转过的角度 24 解 周期T 8s 例题2 7质点作谐振动 t 0时向右通过A点 经2s第一次通过B点 再经2s质点第二次通过B点 A B AB 10cm 求振动方程 由于 A B 所以坐标原点应在AB的中点 初相 5 4 振幅 25 三 曲线法 t m t 0 26 cm t 2 t 0 27 t 0 x 8cos cm t 1 t 0 28 m A A 2 4 x cos m 2 4 t 0 t 0 29 一 同频率平行简谐振动的合成 分振动 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 合振动 x x1 x2 Acos t 1 合振动仍是同频率的谐振动 2 合振动的振幅和初相 4 3简谐振动的合成 30 由余弦定理 合振动的振幅为 合振动的初相 31 3 合振动的强弱 取决于两分振动的相位差 2 1 2k k 0 1 2 A A1 A2 加强 2k 1 k 0 1 2 A A1 A2 减弱 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 x x1 x2 Acos t 32 1 公式法 0 5 36 86 0 64rad 0 64 2 5rad 合振动方程 x 0 5cos t 2 5 cm 已知 A1 0 3 A2 0 4 1 2 2 解x Acos t 例题3 1x1 0 3cos t cmx2 0 4cos t cm求合振动方程 33 2 旋转矢量 36 86 0 64rad 2 5 合振动方程 x 0 5cos t 2 5 cm 34 合振动方程 x 0 04cos t 2 m 例题3 2t 0时 x1和x2的振动曲线如图所示 求合振动方程 解由图可知 x1与x2是反相的 因而合振幅 A 0 12 0 08 0 04 合振动的初相 2 振幅大的分振动的初相 合振动的角频率 2 T 35 例题3 3两个同方向 同频率的谐振动合成后 合振幅A 20cm 合振动与第一个振动的相差为 6 A1 17 3cm 求 1 A2 2 两振动的相差 2 1 10cm 由余弦定理 解直接用公式 36 因A 20 A2 10 由上式可求出 2 两振动的相差 2 1 用正弦定理有 37 例题3 4求同方向 同频率 同振幅 相差均为 的N个谐振动的合振动方程 解设 x1 Aocos tx2 Aocos t xn Aocos t N 1 OBD OBC 38 x Acos t 39 二 不同频率 平行简谐振动的合成 分振动 x1 Acos 1t x2 Acos 2t 且 1与 2相差很小 合振动 x x1 x2 由于 1与 2相差很小 故 1 2比 1 2小得多 即 比的周期长得多 所以 合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动 拍 40 显然 拍频 振幅Ao的变化频率 为 拍 2 1 拍 2 1 41 x A1cos t 1 y A2cos t 2 在一般情况下 这是一个椭圆方程 三 同频率 相互垂直谐振动的合成 消去时间t 可得轨道方程 42 1 当 2 1 0时 上式退化为一直线 合振动仍为谐振动 合振动仍为谐振动 2 当 2 1 时 上式也退化为一直线 43 3 当 2 1 2时 上式为一椭圆 合振动不再是谐振动 左旋 右旋 44 4 其他相位差的振动合成 合振动的轨迹一般是长短轴有一定倾角的椭圆 演示 45 四 不同频率垂直谐振动的合成 电学测量中的应用 利用李萨如图形由已知频率测量未知频率 通常不同频率的垂直振动合成 其轨迹不能形成稳定图案 而当两个分振动的频率具有简单倍数关系时 曲线形成稳定的封闭曲线 李萨如图形 示波器演示李萨如图形 46 47 振动合成的反向操作 振动的分解 对于周期函数x f t 周期为T 2 可表示为 称为傅里叶级数 其中各参数称为傅里叶系数 各频率称为基频及谐频 对于非周期函数 可用频率连续分布的积分来展开 称为傅里叶积分 这两种分解展开统称傅里叶分析方法 在光学和电子信息学中常用这种分析方法 五 振动的频谱分析 48 49 方法 4 4简谐振动的动力学 简谐振动的周期 频率 由振动系统确定 注意 分析物体的受力 力矩或其它物理规律 建立动力学方程 50 解设木块质量为m 边长为b 则平衡条件为mg gb2h 牛二 gb2 h x mg ma gb2x ma 比较 a 2x 例题4 1正方体形木块在水面上作谐振动 假设木块静止时吃水深度为h 水面下的木块高度 求振动周期T 51 解平衡条件 kxo mg 令m位移x 则 mg T1 ma T1R T2R I T2 k xo x a R 比较 a 2x 例题4 2求图示圆盘 弹簧系统的振动周期 图中k I R m为已知 52 例题4 3角谐振动刚体 m I 在竖直面内作微小振动 质心到转轴的距离为hc 求振动周期 解由M I 有 mghcsin I 当 很小 5 时 sin 于是 比较 复摆 53 当 5 时 54 解电容 电感 例题4 4LC振荡电路 求振动周期T 可得动力学方程 于是 55 x Acos t Asin t 振动势能 振动动能 注意到 k m 2 有 恒量 总能 4 5简谐振动的能量 56 1 Ek和Ep随t作周期性的变化 而且 Ek和Ep的周期为其振动周期的二分之一 3 平均势能 平均动能 恒量 2 势能最大时 动能最小 动能最大时 势能最小 但系统的总机械能守恒 57 4 振动势能与弹性势能一般是不相同的 振动势能 其中x是对平衡位置的位移 弹性势能 其中x是弹簧的伸长量 例 58 例题5 1光滑水平面 k 24N m m 6kg 静止在平衡位置 设F 10N使物体向左运动s 0 05m再撤去 取物体运动到左方最远处开始计时 求 1 物体的运动方程 2 何处Ek Ep 解 1 A 0 204 x 0 204cos 2t m 振动能量来源于外力的功 59 2 何处Ek Ep A 0 204 60 例题5 2当m 100g 处于平衡状态时 再用一拉力使弹簧伸长后静止释放 已知物体在32s内完成48次振动 振幅为5cm 1 上述的外加拉力是多大 2 当物体在平衡位置以下1cm处时 此振动系统的动能和势能各为多少 解 1 由于是静止释放 振动的振幅A就等于拉伸的长度l 于是有F kA 0 444N 61 2 当物体在平衡位置以下1cm处时 此振动系统的动能和势能各为多少 总能 4 44 10 4J 势能 1 11 10 2J 动能 Ek E Ep 1 07 10 2J m 100g A 5cm 62 简谐振动是理想模型 其振动能量保持守恒 而现实中的振动总会有能量损耗 振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动 在考虑了阻力后 可将振动方程写为 4 6阻尼振动受迫振动共振 一 阻尼振动 其中 63 这就是阻尼振动的动力学方程 其中 即系统的固有频率 称为阻尼系数 根据微分方程理论 其通解可以写成 根据阻尼系数 对应了三种不同的运动状态 欠阻尼状态 过阻尼状态 临界阻尼状态 其中 64 即由于阻力作用 振动变慢 于是有 欠阻尼状态阻力较小 即 此时有 其中A和 由初始条件确定 系统的振动角频率变为 因子Ae t表明振幅随时间而衰减 质点趋于静止 显然阻尼越大 衰减越快 反之阻尼越小 衰减越慢 65 上式表明 当阻力较大时 随时间变化 质点运动是非周期的 其坐标单调趋于零 即质点缓慢回到平衡位置 没有往复运动 过阻尼状态阻力较大 即 此时有 其中系数由初始条件决定 66 此时质点运动也是非周期的 没有往复运动 由于阻力较小 回到平衡位置所需时间也更短 临界阻尼状态恰好有 则方程的解为 其中系数由初始条件决定 例如 天平或电流表 电压表的指针最好处于临界阻尼状态 理想 实际应用中通常稍偏于欠阻尼状态 67 动力学方程 令 二 受迫振动 68 该微分方程的解为 可见 稳态振动的频率 就是驱动力的频率 经过一段时间第一项就减弱到可以