GCT初等数学部分讲稿2013.6.doc

GCT培训 铁路局2013年8月开班 初等数学部分 目 录第一章 算术 P2第二章 初等代数 P6 第一节 实数与复数 P6 第二节 代数式及其运算 P8 第三节 集合与函数 P10 第四节 简单方程 P15 第五节 不等式 P16第六节 数列 P18第七节 排列组合与简单概率 P20第三章 几何与三角 P23 第一节 平面几何、立体几何 P23第二节 三角 P28第三节 解析几何 P31Part1. 算术1.1知识点1. 质数与合数定义：除1以外的自然数，只能被1和它自身整除的数称为质数。其它的数称为合数。注记：(1)质数和合数都是大于1的。 (2)质数只能被1和他自身整除，而合数可以被更多的数整除。举例：13是质数，因为只有1和13能将13整除;14是合数，因为除了 1和14还有2和7也能将14整除；1既不是质数，也不是合数。100以内的质数全体：2, 3, 5, 7，11,13, 17, 19，23，29，31, 37， 41，43，47，53, 59， 61，67，71，73, 79, 83，89, 972.最小公倍数，最大公约数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，所有公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。3.熟练掌握各类应用题如：行程问题、时钟问题、工程与工作效率问题、浓度问题、植树问题、比例问题、打折问题、年龄问题等。1.2例题1.2.1四则运算（此类题每年必考）例1. 的值是（）A.； B.； C.； D. （2005年真题，第1题）【解析】选A。分子=，分母=那么，。所以，选A。例2. 的值是 （）A.B.C.D. （2007年真题，第2题）【解析】选B。 分子：二项一组得 分母：等比数列求和得 例3 ，则A.B.C.D. （2008年真题，第1题）【解析】选A。例4 A.B.C.D. （2009年真题，第1题） 【解析】选C。 例5. A.B.C.D. （2010年真题，第1题）【解析】选A。例6. 对任意两个实数，定义两种运算： ，那么和分别等于（）A.7和5B.5和5C.7和7D.5和7 （2007年真题，第14题）【解析】选B。只要按照定义运算即可。由定义不难发现maxa,b,mina,b。1.2.2应用题（每年都会有3道左右）例7. 某项工程8个人共用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（）A.18B.35C.40D.60 （2005年真题，第4题）【解析】选C。 工 作 量=工作效率工作时间这里，工作效率（每人每天的工作量）=，那么完成剩余的工程还需要的天数是。所以，选C。例8. 甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30分钟，乙需用40分钟。如果乙比甲早出发5钟去B区，则甲出发后经（）分钟可以追上乙。A.10B.15C.20D.25 （2007年真题，第5题）【解析】选B。由题意可知甲乙的速度比是4:3，不妨就设甲的速度就是4，乙的速度就是3。那么，即甲出发后经15分钟可以追上乙。所以，选B。另解：A、B距离为，甲出发T分钟后追上乙，则甲、乙的速度分别是、。由题意得： ， 解得。例9. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶到A、B两地路程的，再前行50千米时与乙车相遇。A、B两地的距离是【 】千米。A.B.C.D. （2009年真题，第8题）【解析】选A。相遇即两车行车时间相同，设A、B两地距离为，则 ， 解得 。例10. 若某单位员工的平均年龄为45岁，男员工的平均年龄为55岁，女员工的平均年龄为40岁，则该单位男、女员工的人数之比为【 】A.B.C.D. （2010年真题，第3题）【解析】选C。设男、女员工数分别为， 则由条件可得 ，解得 。例11. 在实验室密闭容器培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长一倍，它在20天内密度增长到4百万株，那么该细菌密度增长到百万株时用了【 】天。A.B.C.D. （2010年真题，第5题）【解析】选D。假设第1天细菌密度是，则第天细菌密度是。由（百万株），及（百万株），得 。例12. 在一条公路上，汽车A、B、C分别以80、70、50公里的速度匀速行驶，汽车A从甲站开向乙站，同时汽车B、C从乙站出发开往甲站，途中A与B相遇两小时后与C相遇，那么甲乙两站相距（）A.2010公里B.2005公里C.1690公里D.1950公里 （2004年真题，第5题）【解析】选D。甲、乙两站相距,依题意有,解得=1950。所以选D。例13. 2005年，我国甲省人口是全国的c%,其生产总值占国内生产总值的d%；乙省人口是全国的e%,其生产总值占国内生产总值的f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（）A.B.C.D. （2005年真题，第6题）【解析】选D。为了解题方便我们就按下表假设即可：人均生产总值甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比甲省人口c甲省生产总值d乙省人口e乙省生产总值f所以，选D。例14. 请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于【 】A.B.C.D. （2008年真题，第2题）【解析】选D。 设所想的数为， 则 结果为 例15. 把浓度为50%的酒精溶液90公斤全部稀释为30%的酒精溶液，需加水【 】公斤。A. 60B. 70C. 85D. 105（2008年真题，第7题）【解析】选A。设需加水公斤，则 ， 解得。例16. 若将正偶数依次排成一列：则从左到右数的第个数码是【 】A.B.C.D. （2009年真题，第3题）【解析】选A。Part2. 初等代数Chap1.实数与复数2.1.1知识点1. 有理数 ，其中都是整数且。无理数：无限不循环的小数。实数： 有理数、无理数。2. 正数的平方根共两个，绝对值 ，3. 复数 ，（1）虚数单位，；实部，虚部共轭复数，模 ，（2）， ， ， ，（3）复数的三角形式z，； 其中称为复数z的幅角，它的始边横轴正半轴，终边通过点（a，b），；（4）z的n次方根为：；（如1的三次方根是，1，。通常记，可以验证，）4. 若复数z1，z2的幅角分别是，则z1z2的辅角是，的辅角是。 2.1.2例题例1. 实数在数轴上的位置如图所示，图中O为原点，则代数式=（ ） O A. B. C. D. （2004真题，第7题）【解析】选A。根据“数轴上右边的数比左边的数大”的原则有：，那么=。所以，选A。例2. argz表示z的辐角，今有=arg(2+i) =arg(-1+2i)，则= A. B. C. D. （2004真题，第9题）【解析】选D。依题意，就是(2+i)(-1+2i)= -4+3i的辅角，那么。所以，选D。例3. 设 是虚数单位，的模等于【 】。A. B. C. D. （2008真题，第8题）【解析】选C。例4.若复数，则【 】A. B. C. D. （2009真题，第9题）【解析】选C。 例5. 若复数，则【 】 A. B. C. D. （2010真题，第9题） 【解析】选A ， 。例6. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D. （2006真题，第6题）【解析】选A。例7. 复数的模（）A.4B.2C.2D. （2005真题，第7题）【解析】选C。所以，选C。例8. 复数，则（）A.2B.C. D.1 （2007真题，第7题）【解析】选C。，那么。所以，选C。Chap2.代数式及其运算2.2.1知识点1. 几个常用公式：（1） ，（2） （3） （4） （5） （6） （7） 2. 因式分解：,如果的两个根是，那么；3. 若（），则多项式可以被整除的充要条件是；4. 2.2.2例题例1.如果整除，则实数=（）A. B. C. D. 或【解析】选D。记=，可以被整除，可知=0，即，得或2。所以，选D。例2.已知，且满足和，则（）A. B. C. D. （2004真题，第8题）【解析】选B。解一、，即，那么只可能有。所以，选B。解二、，得。例3.已知=5且，则（）A. B. C. D. （2005真题，第5题）【解析】选B。由=5,，可知5，=75。所以，选B。例4.两个不等的实数与，均满足方程，则的值等于（）A. B. C. D. （2007真题，第9题）【解析】选C。 由韦达定理可知 。例5. 当和时，恒成立，则()A.B. C.D. （2007真题，第11题）【解析】选A。既然恒成立，当时有0=，当时有=，得。Chap3.集合与函数2.3.1知识点1. 一些常用的集合(1)自然数集：全体自然数构成的集合，记为；(2)整数集记为；有理数集记为；实数集记为；复数集记为。2. 集合之间的一些相互关系（1）相等：如果，且，就称集合与集合相等，记作；（2）交集：所有既属于又属于的元素构成的集合，称为与的交集，记为；（3）并集：所有或者属于，或者属于的元素构成的集合，称为与的并集，记为；（4）补集：设是一个集合，所有属于，但不属于的元素构成的集合，称为关于的补集，记为。(5)含有个元素的有限集共有个子集。3. 一次函数： （）4. 反比例函数： （，）5. 二次函数（重点，每年必考）：（） （1）图像的对称轴是直线；顶点坐标 （2）当时，图像开口朝上，函数有极小值；（3）当时，图像开口朝下，函数有极大值；。6. 对称性（1）函数关于直线对称的函数是（2）点关于直线的对称点是；点关于直线的对称点是。7. 幂函数与对数函数的常用性质 ， ， ， ， 8. 函数的一般特性 （1）单调性 ， 称函数单调上升（下降）。 （2）奇偶性 （ 或 ），称函数奇（偶）函数。 （3）周期函数 称函数是周期函数， T是它的一个周期。9. 函数图象的基本特征1平移横向纵向-2伸缩横向纵向3对称中心对称3对称轴对称斜率为1点，点斜率为-1点，点一条曲线若对满足，则关于直线对称；（由求得）两条曲线函数关于直线对称。 （由解得）2.3.2例题例1. 集合的子集的个数为()A.14B.15C.16D.18 （2007真题,第1题）【解析】选C。例2. 函数（）在 0，+）上单调增的充要条件是（）A. 且B. 且C. 且D 且 （2003真题）【解析】选C。（）在 0，+）上单调增。那么只能是开口朝上即，且对称轴在y轴左侧，即，。所以，选C。例3. 设二次函数.的对称轴为，其图像过点（2，0），则=【 】A. B. C. D. （2006真题,第15题）【解析】选D。对称轴，得，图像过点，得，。例4. 抛物线的图像不经过【 】 （2008真题,第5题）A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【解析】选B。函数配方得 ， 顶点，对称轴，开口向下，画图可知函数图象不经过第二象限。例5. 已知二次函数的图像开口向上，且经过点,则【 】。 A. B. C. D. （2009真题,第2题）例6.直线与直线关于直线对称，则直线的方程是（）A. B. C. D. （2004真题,第14题）【解析】选A。例7. 直角坐标系中，若直线与函数 的图像恰好有3个不同交点，则的取值范围是【 】A. B. C. D. （2009真题,第12题）【解析】选C。 画出函数的图形即可判定选C。例8. 下图中给出的函数的图像与轴相切，则【 】 A. B. C. D. （2010真题,第6题） 【解析】选D。 由于函数的图像与轴相切，所以。由图知， 所以 。Chap4.简单的方程2.4.1知识点1. 一元一次方程 唯一解2. 二元一次方程组 3. 一元二次方程（重点问题） （1）求根公式 判别式 当0时，原方程有两个不等的实数根；当=0时，原方程有两个相等的实数根；当0时，原方程没实数根。 （2）韦达定理 （3）曲线 与轴交点情况： 两个根， ， 两个交点 一个根， ， 一个交点 无实根， ， 没有交点2.4.2例题例1.设为正数，则=（） （2005真题，第2题）A. B. C. D. 【解析】选C。设方程=0两个根是和，由韦达定理得+=-0，=-99 SCDB,至此可知l欲平分ABC，l必须在l0左侧。所以，选B。Chap2. 三角3.2.1知识点一、三角函数 1. 正角、负角的定义（？） 弧度 弧度2. 几个特殊角的三角函数值 0 0 1 1 00 1 无 3. 同角三角函数的关系 ， ， ， ， ， 4. 诱导公式 5. 三角函数图形（了解）二、两角和、差的三角公式 1. 2. 三、正弦、余弦定理 三个角所对的边分别为，则 ； ； ； 。四、和差化积公式与积化和差公式：五、半角公式：3.2.2例题例1.已知，则【 】，A. B. C. D. （2010真题，第7题）【解析】选C。 ， 选C。例2.已知0，则的值是（）A. B. C. D. （2005真题，第12题）【解析】选A。，则，由不等式的知识可知，即，所以，只能是，即（因为），即，所以，。那么。所以，选A。例3.已知，若圆的圆心在第四象限，则方程的图形是（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.直线 （2005真题，第15题）【解析】选A。圆的圆心是，在第四项限，即。将整理为，这是椭圆方程。所以，选B。例4.ABC中，AB=5,AC=3,A=x,该三角形BC边上的中线长是x的函数，则当x在中变化时，函数取值的范围是( )A. B. C. D. （2004真题，第15题）【解析】选。 画图演示一下可知取值范围是。Chap3.解析几何3.3.1知识点一、直线1. 倾斜角、斜率：轴绕它与直线的交点旋转到与直线重合产生的最小正角称为直线倾斜角。 斜率： 2. 方程： （1）点斜式 点 斜率 （2）斜截式 斜率 ，轴上截距 （3）参数式 （4）点向式 方向向量 。（5） 一般式 0A、 B不同时为零，（- B，A）是直线的的一个方向向量2. 点 到直线 的距离公式： 二、圆1. 标准方程 2. 一般式方程 3. 参数式方程 三、椭圆1. 定义 是两定点，所有与的距离之和等于的点的轨迹称为椭圆，是椭圆的两个焦点。2. 标准方程 ，其中 。3. 焦点坐标 准线方程 离心率 其中四、双曲线1. 定义 是两定点，所有与两点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹。 是双曲线的两个焦点。2. 标准方程 其中 3. 焦点坐标 准线方程 离心率 其中 渐近线 五、抛物线1. 定义 是一定点，是定直线，所有到点与到直线距离相等的点的轨迹。 是抛物线的焦点，是抛物线的准线。2. 标准方程 （四种情形分别如下）（） ； ； ； 3. 焦点坐标 （四种情形分别如下） ； ； ； 准线方程（四种情形分别如下） ； ； ； 3. 离心率 。3.3.2例题例1. AB是抛物线的过焦点F的一条弦，若AB的中点M到准线的距离等于3，则弦AB的长等于【 】A B. C. D. （2008真题）【解析】选B。 抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离，梯形中位线长为3，A点、B点到焦点的距离之和等于A点、B点到准线的距离之和，又等于中位线长的2倍，选B。在圆C：的内部，则直线l：和圆C例2. 设双曲线的左、右焦点分别是。若P是该双曲线右支点上异于顶点的一点，则以线段为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是【 】。A外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 （2009真题）【解析】选B。例3. 若由双曲线的右焦点向曲线所引切线的方程是：，则该双曲线的离心率等于【 】。A B. C. D. （2010真题）【解析】选D。 由图可知，切线的斜率为， 故 ，解得 ， 选D。例4.设点在圆C：的内部，则直线l：和圆C（ ）A不相交B有两个距离小于2的交点C有一个交点D有两个距离大于2的交点 （2003真题）【解析】选A。由题意知，圆心到l的距离，所以圆与l不相交。所以，选A。例5. 过点作圆的切线PA、PB，A、B是圆的两个切点，则直线AB的方程为（）A B. C. D. （2003真题）【解析】选D。结合图形和选项可知选D。例6一个圆的圆心为P（6，m），该圆与坐标轴交于和两点，则P到坐标原点的距离是（ ）AB. C. D. 【解析】选C。结合图形可知P在AB的中垂线上，AB的中点是，那么，圆心为，P到坐标原点的距离是10.例7已知P为反比例函数图像上一点，过P分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴于M，交Oy于N，则MPN的面积为（）A. B. C. D. （2005真题，第13题）【解析】选C。设P点坐标为(a,b)，有，即，则MPN的面积为。例8在圆所围区域(含边界)中，P(x,y)和Q(x,y)是使得分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（）A. B. C. D. （2007真题，第15题）【解析】选C。圆的方程为 ，圆心,半径 。OP、OQ是圆的切线，是直角三角形，且，.四边形OPRQ面积.由于(OR是角平分线)，则,故 .典型例题-补充1如果与均是锐角，且，那么分析：2已知直线，求点关于的对称点。 A分析：设所求的点为，则直线与直线垂直，且线段的中点在直线上，所以解得 3写出抛物线的焦点坐标和准线方程分析：将化为标准形式为，所以焦点坐标为 ,准线方程为 4一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？ (A)(B)(C)(D)5.如图，弦长，则它们所对的圆周角哪个大？ (A)(B)(C)一样大(D)无法确定ab6如图，矩形与椭圆相切，则椭圆面积与矩形面积之比和相比较谁大？ (A)前者(B)后者(C)一样大(D)无法确定7两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比应为 (A)(B)(C)(D)无法确定8(2004) 在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）A14条B13条*C12条D11条分析 OPA如图，过P且与直径垂直的弦的长度是，这也是过P点的弦中长度最短的，由于直径是过P点的弦中最长的一条，所以过P点的弦中长度为整数的有条注：按本题的问法，考虑到对称性，结果应为24条但选项中没有这个选项9（2004）中，AB=5，AC=3，该三角形BC边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（ ）A（0，5）B（1，4）*C（3，4）D（2，5）分析 ABCf(x)35如图，当在内变化时，BC边上的中线长f(x)的变化范围是10（2006）如右图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB10厘米，则图中阴影部分的面积为（B ）平方厘米。MNNABA.10 B.12.5 C.20 D.25分析：记大圆半径为、小圆半径为，则根据题意可知，所以图中阴影部分的面积为 。D11（2006）已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ B ）。48BCAOA. 8 B. 10 C.12 D. 14分析：如图，易知与全等，从而，解得，所以阴影三角形的面积等于。12（2003）正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后