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一阶线性微分方程 第四节 一 一阶线性微分方程 二 伯努利方程 第七章 一 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 例1 解方程 解 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 例2 有一电路如图所示 电阻R和电 解 列方程 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为 因此有 即 初始条件 由回路电压定律 其中电源 求电流 感L都是常量 解方程 由初始条件 得 利用一阶线性方程解的公式可得 因此所求电流函数为 解的意义 例3 求方程 的通解 解 注意x y同号 由一阶线性方程通解公式 得 故方程可变形为 所求通解为 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 伯努利 例4 求方程 的通解 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 得原方程通解 内容小结 1 一阶线性方程 方法1先解齐次方程 再用常数变易法 方法2用通解公式 化为线性方程求解 2 伯努利方程 3 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如 解方程 法1 取y作自变量 线性方程 法2 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程 思考与练习 判别下列方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 P3151 3 6 9 2 5 6 8 1 3 5 作业 第五节 习题课1 备用题 1 求一连续可导函数 使其满足下列方程 提示 令 则有 线性方程 利用公式可求出 2 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解 解 1 先解定解问题 利用通解公式 得 利用 得 故有 2 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3 原问题的解为 雅各布第一 伯努利 书中给出的伯努利数在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士数学家 位数学家 标和极坐标下的曲率半径公式 1695年 版了他的巨著 猜度术 上的一件大事 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孙三代出过十多 1694年
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