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Warning:版权所有，不容侵犯八上数学第一章 勾股定理 勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 a c 如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。 答题格式：在RtABC中 C=90 a2+b2=c2 b注意事项：非Rt不可用。在Rt中，已知任意两边，或两边比值，可求第三边长。证明：向Rt三边外作正方形、半圆形、等边三角形、等腰直角三角形，均可证明沟股定理，得出三边关系。扩展：锐角三角形三边满足a+bc 钝角三角形三边满足a+bc勾股定理逆定理（勾逆）定义：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。答题格式：在ABC中 a+b=9+16=25=c ABC是RtABC，且C=90。（通过数据得到三边关系）判断Rt的方法：勾逆。量角器量。两锐角互余。勾股数：定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。 与Rt的关系：Rt的三边长不一定是勾股数，由勾股数组成的一定是Rt。 勾股数之间的关系：a=n-1，b=2n，c=n+1 a=2n+1，b=2n+2n，c=2n+2n+1 常见的勾股数：3,4,5 5,12,13 8,15,17 7,24,25 9,40,41勾股数的变化：勾股数的正整数倍仍是勾股数。勾股数的规律：一组勾股数中，有且只有一个偶数。勾股定理的应用折叠问题。方法：抓折痕，折痕两边对应角相等，对应边相等，图形全等。分类讨论。例1：ABC两边长为15和41，第三边上的高为9，求ABC的面积。（答案：126或234。）（方法：分类讨论高在形外 高在行内） 例2：Rt两边长为3、4，求第三边长。（答案：5或7。方法：认真读题）中线问题。例：ABC，AB=13,AC=5，中线AD=6 求BC(答案：244)(方法：倍长中线)整体思考。例：RtABC，AB=2，a+b+2=4.5求RtABC的面积(答案：0.5625)(方法：整体带入进行计算，先用分数形式）最短距离。方法：将立体图形先展开，在展开图上连接两点（两点之间线段最短），构建Rt，用勾股定理计算距离。 分类：圆柱体。4+1（沿高走）种情况。 长方体。3种情况。 1/10 made in和第二章 实数数的定义有理数：有限小数和无限循环小数统称为有理数。 无理数：无限不循环小数称为无理数。(三种情况：无尽方根 和有关 人为制造) 实数：有限小数和无限不循环小数统称为实数。 数的分类 正整数 正实数 正有理数 正分数 正无理数.实数（按正负性分） 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 无理数 实数（按定义分） 整数 有理数 分数 平方根 立方根 定义：算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于 a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。（记作a，读作“根号a”）平方根：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a，另一个是a，他们互为相反数。这两个平方根合起来可以（记作a，读作“正负根号a”）平方根的性质：一个正数有两个平方根,0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根。每个数都有一个立方根。（记作3a，读作“三次根号a”。）立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。n次方根：一般地，如果一个数x的n次方等于a，即xn=a，那么这个数x就叫做a的n次方根。（推广） 开方：求一个数a的n方根的运算，叫作n次平方，a叫作被开方数。（推广）关系：开方与乘方的关系：开方是乘方的逆运算。平方根与算术平方根的关系：平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根的一个正值。公式：a2=|a| 分类讨论：a2=a（a0）a2=0(a=0) a2= -a(a0) 根号a的平方=a 文字：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 3a3=3a3=a=a3 -3a= 3-a 2/10 made in和算术平方根的双重非负性：本身0 被开方数0注意事项：带根号的不一定都是无理数。16的算术平方根16的算术平方根。已学过的非负数：|a|、（a-1）、a。根指数a幂指数 实数 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。（多种画法）实数与有理数的关系：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数运算法则与运算律对市属仍然适用。二次根式二次根式定义：一般地，形如a（a0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。（都含有开方运算，且被开方数都是非负数的式子。） a的取值范围：可单可多，可整可分，可正不可负。最简二次根式定义：被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，最终结果中分母不含有根号的二次根式，叫作最简二次根式。二次根式乘除公式：ab=aba0，b0积的算术平方根，等于被开方数（式）中各因数算术平方根的积。ab=aba0，b0商的算术平方根，等于被开方数（式）中各因数算术平方根的商。ab=aba0，b0两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数（式）相乘。ab=aba0，b0两个二次根式相除，根指数不变，被开方数（式）相除。二次根式加减运算：实数运算法则、运算律也适用于二次根式加减运算。先化简，再找同类二次根式（被开方数相同），最后合并。有理数、无理数运算结果：两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定是有理数。两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果可能是有理数（互为有理化因式）也可能是无理数。补充设一个三角形三边长为a、b、c，p=(a+b+c) 2，则有下面公式： 海伦公式：S=pp-ap-bp-c 秦九韶公式： S= 14a2b2-a2+b2-c222S=r(a+b+c) 2 (r为三角形内心到各边的距离)S=ah2(h为三角形a边上的高)特殊直角三角形边的比值：RtABC中 如果C=90A=45那么a:b:c=1:1:2RtABC中 如果C=90A=30那么a:b:c=1:3:23/10 made in和第三章 位置与坐标平面内确定位置确定位置的数据：直线上确定一点一般需要一个数据 平面上确定一点一般需要两个数据。方法： 线定位（行，列） （准确） 区域定位 （普遍）极坐标定位（方位角，距离） （军事，航海）平面直角坐标系定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。命名：通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴。x轴和y轴统称坐标轴，他们的公共原点O成为平面直角坐标系的原点。确定坐标平面中点的位置：在坐标平面中，平面内的点可以用一组有序实数对来表示。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴做垂线，垂足在x轴、y轴上对应的书a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。四个象限：在平面直角坐标系中，两条数轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。平面直角坐标系与实数的关系：在直角坐标系中，对于平面上任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的点与它对应。 建立平面直角坐标系：说坐标原点说坐标轴（以所在直线为轴）建立平面直角坐标系。（以简单为原则，建立适当的平面直角坐标系） 注意事项：建立平面直角坐标系时，不可少的有：正方向 坐标原点 单位长度轴对称与坐标变化点的对称：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。P1(a,b) P2(a,-b) 关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，和坐标互为相反数。P1(a,b) P2(-a,b) 关于坐标原点对称的两个点的坐标，横坐标、纵坐标均为相反数。P1(a,b) P2(-a,-b)线的对称： 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同。两点连线平行于x轴的点纵坐标相同。平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。两点连线平行于y轴的点横坐标相同。 4/10 made in和第四章 一次函数定义函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。一次函数：若两个变量间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数。正比例函数：若两个变量间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数,b0，k0）的形式，则称y是x的正比例函数。一次函数图像：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。表示函数的方法图像法（有误差，直观）列表法（有局限性，准确）关系式法（需要计算，简洁）关系函数：函数不是数，是两个变量之间的关系。函数值与自变量：函数值只对应一个自变量，函数值离不开自变量。正比例函数与一次函数：正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。一次函数与图像：自变量是横坐标，函数值是纵坐标。一次函数的图像是一条直线。正比例函数与图像：正比例函数的图像是一条过原点的直线。注意事项自变量的取值范围：使函数本身有意义，也使实际问题有意义。分母不为零；偶次根式被开方数非负。一次函数关系式y=kx+b：必须是整式(字母不在分母、根号中)。变量最高次数为1。 k为x的系数。说明自变量取值范围：若图像为线段时，需说明解析式自变量取值范围；直线则不必。画函数图像一次函数：只需确定两个点，再过两点画直线即可。一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b。合理取值，便于描点。（通常x取0，y取0；如下：通常取这两个点：(0，b)(-kb，0)正比例函数：只需确定一个点(除坐标原点外)，过这点与原点画直线即可。具体方法：列表.(画正比例函数时不需要) 描点,连线(自变量没有取值范围时，直线不受端点限制，画出去) 建立平面直角坐标系(x,y轴标记，正方向，坐标原点，单位长度). 写解析式.5/10 made in和一次函数解析式(y=kx+b)与图像的结合k的正负性决定：图像所在的象限当k0时，直线过1、3象限。k0时，直线过2、4象限。 y值的增减性。当k0时，y随x的增大而增大。k0时，y随x的增大而减小。b的值决定： 直线与y轴交点的纵坐标。图像所在的象限当b0时，直线过1或2象限。b0时，直线过3或4象限。平移当b0时，向上平移。当b0时，向下平移。k和b的4种情况：当k0且b0时，图像(直线)过1、2、3象限。（大大）当k0且b0时，图像(直线)过1、3、4象限。（大小）当k0且b0时，图像(直线)过1、2、4象限。（小大）当k0且b0时，图像(直线)过2、3、4象限。（小小）位置关系：两条直线：y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 平行 当k1k2且b1b2时，y1y2。 相交 当k1k2时，y1与y2相交。 垂直 当k1与k2互为负倒数时，y1y2。 对称 当k1与k2互为相反数，且b1b2时，两个图像关于y轴对称。 重合 当k1k2且b1b2时，y1与y2重合。正比例函数y=kx+b中y的增减幅度：k的绝对值越大，y随x值增大的幅度越大，减小的幅度越大。平移：左加右减，上加下减。y=kx+b左加右减针对x：左移a单位：y=k(x+a)+b 右移a单位：y=k(x-a)+b上加下减针对b：上移a单位：y=kx+b+a 下移a单位：y=kx+b-a一次函数的应用方法：待定系数法。（先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式。）答题格式：设 设表达式。 设一次函数表达式为y=kx+b代 将条件代入表达式，得到方程。 根据题意得：方程组解 解方程。 解得：方程组的解，即k、b的值。写 写表达式。 所以，此函数解析式为y=kx+b（用二元一次方程组确定一次函数表达式）求一次函数解析式的条件：一次函数需找2个点的坐标（一对值）。（待定系数2个）正比例函数需找除原点外一个点的坐标。（待定系数1个）出题类型：图像 给图像求解析式。 图像过A(3,3)、B(-3,3)两点。 列方程。对应值 给对应值求解析式。（当t=3时，v=5）坐标 给坐标求解析式。（图像经过点（3,3） A(3,3)、B(-3,3)两点在图像上。列方程。 注意事项：求正比例函数解析式可写：图像过原点。设正比例函数解析式为y=kx。 图像不过第三象限，有两种情况：过坐标原点。.过1、2、4象限。一次函数与一元一次方程的关系：一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b =0的解。从图像上看，一次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是方程kx+b =0的解。6/10 made in和 第五章 二元一次方程组定义一元一次方程：含有1个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。二元一次方程：含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。三元一次方程：含有3个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。N元1次方程：含有N个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。（推广）二元一次方程组：共含有2个未知数的2个一次方程所组成的一租方程。三元一次方程组：共含有3个未知数的3个一次方程所组成的一租方程。N元1次方程组：共含有N个未知数的N个一次方程所组成的一租方程。（推广）二元一次方程的一个解：适合1个二元一次方程的一组未知数的值。三元一次方程的一个解：适合1个三元一次方程的一组未知数的值。N元1次方程组的一个解：适合1个N元一次方程的一组未知数的值。（推广）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解。N元1次方程组的解：N元一次方程组中各个方程的公共解。（推广）注意事项一元一次方程、二元一次方程都是整式，未知数不在分母和根号中(若在分母中，未知数次数即为-1)。二元一次方程的一个解是一对值，一个二元一次方程有无数个解，但条件解可能有限个。二元一次方程组的解也是一对值，一个二元一次方程组一般有一个解，方程组里相同字母代表的意义相同。二元一次方程的一个解、二元一次方程组的解须用大括号联立，表示有对应关系。三元一次方程的解是三个值，一个三元一次方程有无数个解。解方程组后要写：解原方程组得 x=3 y=3解二元一次方程组 基本思路：把“二元”变为“一元”。代入消元法。将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。（方程标号。用含有一个字母的代数式表示另一个字母。代入另一个方程。解一元一次方程，代入任意方程。写出方程的解。）加减消元法。通过两式相加减，消去其中一个未知数。二元一次方程组的应用鸡兔同笼。 增收节支。（数据多，列表）里程碑上的数。（字母表示数）7/10 made in和二元一次方程与一次函数一般地，以一个二元一次方程组的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。（二元一次方程的每个解，都是相应的一次函数图像上的点的坐标。一次函数图像上的点的坐标，都是相应的二元一次方程的一个解）一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线小点的坐标。（相应的二元一次方程组的解=相应的两条直线交点坐标） a1x+b1y=c1二元一次方程组与一次函数图像(两直线)的关系： 条件 解的数量 图像上 a2x+b2y=c2 a1a2b1b2时 有唯一解 相交a1a2=b1b2=c1= c2时 有无数个解 重合a1a2=b1b2=c1c2时 无解 平行求两直线交点坐标方法：确定解析式，联立解析式，构建方程组。第六章 数据的分析定义算数平均数：一般地，对于n个数x1,x2,xn,我们把1n(x1+x2+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为x。众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。离散程度：一组数据相对于集中趋势的偏离情况。极差：一组数据中最大数据与最小数据的差。方差：各个数据与平均数差的平方的平均数。标准差：方差的算术平方根。公式算术平均数：x=1n(x1+x2+xn) 加权平均数：x=x1f1+x2f1+xkfkf1+f2+fk x1f1+x1f1+xkfk=n（一组数据中相同的数出现较多时使用）（其中x是平均数，x1x2xk是每个数据，f1+f2+fk是每个数据的权，n是总数）补充公式：x=x+a方差：S2=1nx1-x2+x2-x2+xn-x2（其中S2是方差，n是样本容量，x是这组数据的平均数 ，x1、x2xn是每个数据）8/10 made in和注意事项：除方差外，平均数、众数、中位数、极差、标准差必须带单位。中位数：中位数不一定在数据中，但一定存在。按大小顺序排列，3（或2+42=3）在最中间。3是这组数据的中位数。众数：众数一定在数据里，也可能没有，也可能不止一个。3（或3和6）在这组数据中出现6次，出现次数最多。3（或3和6）是这组数据的众数。集中趋势和离散程度描述数据集中趋势的统计量：平均数、中位数、众数。平均数、中位数、众数的特征：平均数：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响。为此一般先去掉一个最高数和一个最低数，然后求其余数的平均数中位数：中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分地利用所有数据的信息。众数：组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量。但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。描述数据离散程度的统计量：极差（数据的波动范围）、方差、标准差。一般而言。一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。乘和加对于平均数、方差的影响 一组数据 平均数（x） 方差（S2） a1 a2 a3 m q a1+b a2+b a3+b m+b q ca1 c a2 c a3 cm c2q c a1+b c a2+b c a3+b cm+b c2q第七章 平行线的证明真命题公理(无需证明)定理(需要证明)假命题定义定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。命题：判断一件事情的句子，叫做命题。真命题：正确的命题称为真命题。假命题：不正确的命题称为假命题。反例：一个具备命题的条件，而不具有命题的结论的例子。原名：数学名词称为原名。证明：演绎推理的过程称为证明。公理：公认的真命题称为公理。定理：经过证明的真命题称为定理。推论：用一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当做定理使用。外角：ABC的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为ABC的外角。9/10 made in和命题命题的结构：一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果那么”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。改写命题：同角的余角相等。如果两个角是同一个角的余角，那么那么着两个角相等。直角三角形两锐角互余。如果一个三角形是直角三角形，那么两锐角互余。说明假命题：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个反例来说明。八条公理两点确定一条直线。（直