数学北师大版九年级下册第三章圆复习课.docx

第3章 园复习教案灵璧县浍沟中学 张广跃 通过系统地归纳总结本章的知识内容,学会整理归纳知识的方法,使其条理化、系统化. 通过对圆与各种图形位置关系的复习,认识事物之间是相互联系的,通过运动和变化,知道事物之间可以相互转化. 【重点】 1.垂径定理的应用,相等的弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系应用. 2.掌握切线的性质及判定并能熟练应用其解决与圆有关的问题.【难点】应用圆的有关性质及推论与解直角三角形、相似三角形的知识相结合解决问题. 一、圆及其相关概念 1.概念:圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径. 2.相关概念:弦、直径、圆弧(优弧、半圆、劣弧)、等圆、等弧. 二、圆的对称性 (1) 圆是轴对称图形. 对称轴:直径所在的直线; 垂径定理及其逆定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. (2)圆是中心对称图形. 对称中心:圆心. 性质: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等; 如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么其余各组量都分别相等. 三、圆周角与圆心角的关系 (1)圆周角概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角. (2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3)圆周角定理推论: 同弧或等弧所对的圆周角相等. 直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径. (4)圆内接四边形. 概念:顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 性质:圆内接四边形对角互补. 四、确定圆的条件 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. (2)三角形的外接圆. 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.它到三角形三个顶点的距离相等. 位置:锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边中点;钝角三角形的外心在三角形的外部. 五、与圆有关的位置关系 (1)点和圆的位置关系: 点在圆外dr;点在圆上d=r;点在圆内dr. (2)直线和圆的位置关系: 相交dr. (3)切线的性质和判定. 性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 判定:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 内切圆和内心的概念:和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.它到三角形三边的距离相等. 切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 六、圆内接正多边形 (1)概念:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形. (2)作法:把一个圆n等分(n3),依次连接各分点. 七、弧长及扇形的面积 (1)弧长的计算公式:l=R. (2)扇形的面积公式:S扇形=R2. (3)弧长及扇形的面积S之间的关系:S扇形=lR. 专题一圆及其相关概念【专题分析】 圆是初中几何图形中的最后一部分知识,圆与其他几何图形,如三角形、四边形及正多边形都有联系,是初中数学考查的热点.涉及圆的概念的知识的理解要注意运用集合思想.此外,弦和弧的概念也是圆的基本概念,是概念知识考查的重点.下列说法正确的是()A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径解析A.弦是连接圆上任意两点的线段,只有经过圆心的弦才是直径,不是所有的弦都是直径,故本选项错误.B.弧是圆上任意两点间的部分,只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆,不是所有的弧都是半圆,故本选项错误.C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,所以半圆是弧是正确的.D.过圆心的弦才是直径,不是所有过圆心的线段都是直径,故本选项错误.故选C.【针对训练1】有下列四个说法:半径确定了,圆就确定了;直径是弦;弦是直径;半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是()A.1B.2C.3D.4解析圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误.直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确.弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误.半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误说法的是两个.故选B.如图所示,AB是O的直径,D,C在O上,ADOC,DAB=60,连接AC,则DAC等于()A.15B.30C.45D.60解析OA=OC,CAO=ACO,ADOC,DAC=ACO,DAC=CAB,DAB=60,DAC=DAB=30.故选B.【针对训练2】如图所示,O的弦AB、半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若AOC=120,则D的度数是.解析连接OB,BD=OA,OB=OA,BD=AO=OB,OBD,OAB都是等腰三角形,设D的度数是x,则BAO=ABO=x+x=2x,则在AOB中,利用三角形的内角得是180度,可得120-x+2x+2x=180,解得x=20.故填20.专题二圆的对称性【专题分析】圆的对称性是圆的基础知识中的重点内容,利用圆的中心对称性可以得到弧、弦、圆心角之间的关系,而利用轴对称性可以得到垂径定理,特别是垂径定理是中考考查的热点,题型单独考查和综合考查的都有,常与等腰三角形、直角三角形以及正多边形综合考查.在同圆或等圆中,下列说法错误的是()A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等解析A.相等弦所对的弧不一定相等,故本选项错误;B.相等弦所对的圆心角相等,故本选项正确;C.相等圆心角所对的弧相等,故本选项正确;D.相等圆心角所对的弦相等,故本选项正确.故选A.【针对训练3】如图所示,在ABC中,C=90,A=25,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为()A.25B.30C.50D.65解析连接CD,在ABC中,ACB=90,A=25,ABC=90-25=65,BC=CD,CDB=ABC=65,BCD=180-CDB-CBD=180-65-65=50,的度数为50.故选C.如图所示,在O中,点C是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求O半径的长.解析连接OA,根据垂径定理求出AD=6,ADO=90,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.解:连接AO, 点C是弧AB的中点,半径OC与AB相交于点D,OCAB,AB=12,AD=BD=6,设O的半径为R,CD=2,OD=R-2,在RtAOD中,由勾股定理得AO2=OD2+AD2,即R2=(R-2)2+62,R=10.答:O的半径长为10.【针对训练4】如图所示,AB是O的直径,弦CDAB于点E,且CD=24,点M在O上,MD经过圆心O,连接MB.(1)若BE=8,求O的半径;(2)若DMB=D,求线段OE的长.解析(1)根据垂径定理求出DE的长,设出半径,根据勾股定理,列出方程求出半径.(2)根据OM=OB,证出M=B,根据M=D求出D的度数,根据锐角三角函数求出OE的长.解:(1)设O的半径为x,则OE=x-8,CD=24,由垂径定理得DE=12,在RtODE中,OD2=DE2+OE2,即x2=(x-8)2+122,解得x=13.(2)OM=OB,M=B,DOE=2M,又M=D,D=30,在RtOED中,DE=12,D=30,OE=4. 专题三圆周角和圆心角的关系【专题分析】圆周角和圆心角的关系是圆的内容中有关角度的基础知识,是解决角度之间关系的重要依据.圆周角和圆心角是中考的重要考点,题型多样,选择、填空、解答题均有出现,常与直角三角形、四边形等知识综合考查.如图所示,AB为O的直径,CD为弦,ABCD,如果DOC=140,那么A的度数为()A.70B.35C.30D.20解析直径ABCD,B是的中点,A=BOC=DOC=35.故选B.【针对训练5】如图所示,已知A,B,C是O上的三个点,ACB=110,则AOB=.解析如图所示,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,根据圆内接四边形的性质可知ACB+ADB=180,又ACB=110,ADB=70,AOB=2ADB=140.故填140.(2015泰州中考)如图所示,O的内接四边形ABCD中,A=115,则BOD等于.解析A=115,C=180-A=65,BOD=2C=130.故填130.【针对训练6】如图所示,圆内接四边形ABCD中,AB=AD,BAD=60,则ACD度数是.解析如图所示,连接BD.AB=AD,BAD=60,ABD为等边三角形,ABD=60,ACD=ABD=60.故填60.专题四确定圆的条件【专题分析】确定圆的条件是圆的尺规作图中的重点内容,而三角形外接圆的知识,特别是利用三角形外接圆的知识解决实际问题是考试的重点.下列命题正确的有()过两点可以作无数个圆;经过三点一定可以作圆;任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析过两点可以作无数个圆,正确;经过三点一定可以作圆,错误;任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确;任意一个圆有且只有一个内接三角形,错误.正确的有2个,故选B.【针对训练7】如图所示,AB=OA=OB=OC,则ACB的大小是()A.40B.30C.20D.35解析由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,AB=OA=OB=OC,AOB=60,ACB=AOB=30.故选B.专题五与圆的位置关系【专题分析】与圆的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系是圆的主要知识点,切线的性质与判定深受命题人的青睐,是各地市中考的热门考点,常与三角形全等、平行、直角三角形等知识综合考查,题型灵活多变.O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,则直线l与O的位置关系是()A.相交B.内含C.相切D.相离解析O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,78,直线l与O相离.故选D.【针对训练8】已知O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两根,当直线m与O相切时,a=.解析直线和圆相切,d=R,=16-4a=0,a=4.故填4.(2015扬州中考)如图所示,已知O的直径AB=12 cm,AC是O的弦,过点C作O的切线交BA的延长线于点P,连接BC.(1)求证PCA=B;(2)已知P=40,点Q在优弧ABC上从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合),当ABQ与ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长.证明:(1)如图所示,连接OC,PC是O的切线,PCO=90,1+PCA=90,AB是O的直径,ACB=90,2+B=90,OC=OA,1=2,PCA=B.解:(2)P=40,AOC=50,AB=12,AO=6,当AOQ=AOC=50时,ABQ与ABC的面积相等,点Q所经过的弧长=;当BOQ=AOC=50,即AOQ=130时,ABQ与ABC的面积相等,点Q所经过的弧长=;当点Q运动到点B上方,且BOQ=50时,ABQ与ABC的面积相等,点Q所经过的弧长=.综上,当ABQ与ABC的面积相等时,动点Q所经过的弧长为或或.【针对训练9】(2015东营中考)如图所示,已知在ABC中,ABC=90,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.(1)求证ACAD=ABAE;(2)如果BD是O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.证明:(1)如图所示,连接DE,AE是直径,ADE=90,ADE=ABC,DAE=BAC,ADEABC,=,ACAD=ABAE.解:(2)连接OD,BD是O的切线,ODBD,在RtOBD中,OE=BE=OD,OB=2OD,OBD=30,同理BAC=30,在RtABC中,AC=2BC=22=4.专题六弧长及扇形面积【专题分析】弧长及扇形面积是有关圆的计算的基本知识点,是各地中考的必考点,题型灵活多变,弧长及扇形面积以选择、填空题为主,而求阴影部分的面积则是解答题的主要考点,常与切线的性质综合考查.(2015黔南中考)如图所示,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的弧EF上.若BAD=120,则的长度等于(结果保留).解析连接AC,菱形ABCD中,AB=BC,又AC=AB,AB=BC=AC,即ABC是等边三角形.BAC=60,的长是=.故填.【针对训练10】如图所示,在O中,C=30,AB=2,则的长为()A.B.C.D.解析C=30,根据圆周角定理可知AOB=60,AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2,的长为=.故选D.(2014钦州中考)如图所示,点B,C,D都在半径为6的O上,过点C作ACBD交OB的延长线于点A,连接CD,已知CDB=OBD=30.(1)求证AC是O的切线;(2)求弦BD的长;(3)求图中阴影部分的面积.证明:(1)如图所示,连接OC交BD于点E,CDB=30,BOC=60.OBD=30,OEB=90.ACBD,OCA=OEB=90,AC是O的切线.解:(2)在RtOBE中,OB=6,OBD=30,OE=OB=3,BE=3,BD=2BE=6.(3)由(2)得OE=EC=3,由(1)得BE=ED,OEB=CED=90,OBECDE(SAS),