【全国百强校首发】河北省衡水中学高三下学期一调考试（理）数学试题.doc

2015-2016学年度下学期高三年级一调考试数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，且有，则（ ）A5 B C3 D2.已知全集，集合，那么集合（ ）A B C D3.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）A B C D24.执行所示框图，若输入，则输出的等于（ ）A120 B240 C360 D7205.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）A144种 B150种 C196种 D256种6.在中，三边之比，则（ ）A1 B 2 C-3 D8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A B C D9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A B C D10.已知和分别为数列与数列的前项和，且，则当取得最大值时，的值为（ ）A4 B5 C4或5 D5或611.在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个12.已知函数，设函数，且函数的所有零点均在区间，则的最小值为（ ）A6 B8 C9 D10第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式中（且）的系数为0，则 .14.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为 .15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的交点，则的离心率为 .16.在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列满足（为实数，且），且成等差数列.求的值和的通项公式；设，求数列的前项和.18（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；在中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：19.（本小题满分12分）如图，在中，是的中点，将沿折起，使点与图中点重合.求证：平面；当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；在条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.求椭圆的方程；设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，探究是否过定点，并说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.当时，求函数在上的极值；若，求证：当时，.（参考数据：）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆与圆内切于点，其半径分别为3与2，圆的弦交圆于点（不在上），是圆的一条直径.求的值；若，求到弦的距离.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.若，求线段中点的坐标；若，其中，求直线的斜率.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，函数求的值；求的最小值.参考答案1、 选择题1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD二、填空题13. 2 14. 8 15. 16.3、 解答题又因为，所以由当时，当时，所以数列的通项公式为;(2)由(1)，得、设数列的前项和为，则上述两式相减，得所以数列的前项和为18.(1)设各组的频率为由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，因为后四组的频数成等差数列所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5.0以下的频率为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82故全年级视力在5.0以下的人数约为；(2)因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；(3)依题意9人中年级名次在名和名的人数分别为3人和6人所以可能的取值为0,1,2,3，的分布列为0123.19.(1) ，且是的中点，即又平面(2)在平面内，作于点则由(1)可知，又平面即是三棱锥的高又当与重合时，三棱锥的体积最大过点作于点，连接由(1)知，平面平面，平面，所以即为二面角的平面角在中，(3)存在，且为线段的中点，以为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系设，又平面的一个法向量为解得：20.(1)由已知可得所以所求椭圆方程为；(2)设点的中点坐标为，即由，得，代入上式，得；(3)若直线的斜率存在，设方程为，依题意设，由，由已知所以，即所以故直线的方程为所以直线过定点；若直线的斜率存在，设方程为设由已知此时方程为，显然过点综上，直线过定点.21.(1) 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以极小值为，无极大值；(2)构造函数在区间上单调递增，在区间上有唯一零点，即，由的单调性有构造函数在去甲上单调递减即，.22.(1)设交圆于点，连接因为圆与圆内切于点，所以点在上，所以分别是圆与圆的直径所以(2)若，由的结果可知，面在中，又由，得到弦的距离为1.23.(1)将曲线，化为普通方程，得当，设点对应的参数为直线的参数方程为（为