中考数学归纳猜想型问题复习导学案.doc

中考数学归纳猜想型问题复习导学案 2012年中考复习二轮材料归纳猜想型问题一专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。二解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言， 猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例1（2011云南曲靖）将一列整式按某种规律排成x，2x2，4x3，8x4，16x5则排在第六个位置的整式为 【分析】符号的规律：n为 奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n1指数的规律：第n个对应的指数是n【解答】根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：26x6=32x6故答案为：32x6【评注】此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键例2（2011山东济宁）观察下面的变形规律： 1 ； ； ；解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想 ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .【分析】（1）根据 的定义规则，可知 ， ， ， 则有 （2） 观察数表可知，第1问中的 恰是 的具体形式，若将 赋值于不同的行与列，我们不难发现 【解答】（1） （2）证明： （3）原式1 【评注】归纳猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜 想出结论本题属于典型的开放性探究题，其中的分数形式、分母中相邻两数相差1，都给答案探究提供了蛛丝马迹。问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律从培养学生不完全归纳能力的角度看，不失为一道训练思维的好题考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例1（2011重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为（ ）A、55B、42C、41D、29【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次一个循环，10422，所以应和图相同【解答】图平行四边形有5个=1+2+2，图平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，图的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41故选C【评注】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题例2（ 2011浙江舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）A、2010B、2011 C、2012D、2013【分析】该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案【解答】由题意设被截去部分为5n+2+1=5n+3，从其选项中看，故选D【评注】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案考点三：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习 的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例1（2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC= （0 90）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则 = ， = ， = ；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求 的范围.图乙【分析】（1）显而易见，能。（2）22.5方法一：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3= ，AA3=1+ .又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6，a2= A3A4=AA3=1+ ,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A3A5= a2,a3=A5A6=AA5=a2+ a2=( +1)2.方法二：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3= ，AA3=1+ .又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，a2=A3A4=AA3=1+ ,又A2A3A4=A4A5A6=90，A2A4A3=A4A6A5，A2A3A4A4A5A6， ，a3= =( +1)2.an=( +1)n-1.(3) (4)由题意得 ，15 18.【解答】（1）能（2）22.5an=( +1)n-1.(3) (4)由题意得 ，15 18.【评注】这是一道典型的归纳猜想型问题，以物理学中反射的知识作为命题载体，而三角形外角等于不相邻的两个内角和，是解决问题的主干数学知识。例2（2011浙江衢州） 是一张等腰直角三角形纸板， .要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为 (如图2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图3)；继续操作下去则第10次剪取时， . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【分析】解决问题的关键看内接正方形的一边与三角形重合的边落在三角形的哪条边上，通过对例题的分析，直角三角形的内接正方形有两种，比较两者的大小，可知，直角边上的内接正方形的边长比斜边上的内接正方形的边长大。【解答】(1)解法1：如图甲，由题意得 .如图乙，设 ，则由题意，得 又 甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为 的中点， 解法2：如图甲，由题意得 如图乙，设 甲种剪 法所得的正方形的面积更大(2) (3) (3)解法1：探索规律可知： 剩余三角形的面积和为： 解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为 第二次剪取后剩余三角形面积和为 第三次剪取后剩余三角形面积和为 第十次剪取后剩余三角形面积和为 【评注】类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法，它可以使一些数学问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。数学思维呈现形式是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求在教学过程中，有目的地进行思维训练，通过思维类比，不断在解决问题中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。考点四：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例1（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1在图6-2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是A6 B5 C3 D2【分析】不妨把立体图形用平面的形式表现出来。如右图所示。前三次变换过程为下图所示： 可以发现，三次变换可还原成初始状态。十次意味着三轮还原后又变换了一次，所以状态为上图所示，骰子朝上一面的点数是 5。【解答】B。【评注】 历年以“骰子”形式出现的中考题不在少数。本题以考查学生空间想象能力为出发点，将空间转化融入到正方体的旋转中。正方体表面展开图识别对面本不难，但这样一来难度陡然上升。三次变换循环的规律也要煞费周折。有点动手操作题的味道。题目呈现方式灵活，考查形式新颖，使日常熟悉的东西平中见奇。要求考生有很强的空间感，给平时靠死记硬背得分的同学一个下马威，也给教学中不重视动手探究的老师敲响了警钟。例2. （2011湖南邵阳）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是ACP的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN。（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得AEM。1=180-AMB-AMN，2=180-AMB -B，AMN=B=60，1=2.又CN、平分ACP，4= ACP=60。MCN=3+4=120。又BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即BE=BM。BEM为等边三角形，6=60。5=10-6=120。由得MCN=5.在AEM和MCN中，_,_,_,AEMMCN（ASA）。AM=MN.(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是D1C1P1的平分线上一点，则当A1M1N1=90时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形ABC” 改为“正多边形AnBnCnDnXn”，请你猜想：当AnMnNn=_时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）【分析】证明线段相等，三角形全等是一种重要的方法。根据题目条件，结合图形，对应边角还是不难找的。关键是到正方形、正多边形，哪些条件变了，哪些没变。【解答】（1）5=MCN，AE=MC，2=1；（2）结论成立；（3） 。【评注】三角形全等的判定是初中数学中的重点知识，第一问明显考查“角边角”方法的条件寻找。而从三角形到正方形的变化，抓住不变的东西，透视问题的本质，也不难得到正确答案。再到正多边形，是一个质的飞跃。在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，难度不算大，具有一定的区分度四真题演练1. （2011四川成都）设 , , , 设 ，则S=_ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)2. （2011内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）3（2011河北）如图9，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3451为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从12为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是_.4. （2010四川内江）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（x1x22，y1y22）.观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；（2）另取两点B(1.6，2.1)、C(1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，则P3、P8的坐标分别为 ， ;拓展延伸： （3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.答案：1. = = = S= + + + .接下去利用拆项法 即可求和2. 或 3. 根据“移位”的特点，然后根据例子寻找规律，从而得出结论小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3451为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从12为第二次“移位”，34512五个顶点五次移位为一个循环返回顶点3，同理可得：小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，即连续循环两次，故仍回到顶点3故答案为：34. 设A、P3、P4、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、(xn，yn)(n3，且为正整数).（1）P1(0，1)、P2(2，3)，x0221，y1321，A（1，1）（2）点P3与P2关于点B成中心对称，且B(1.6，2.1),2x321.6，3y322.1，解得x35.2，y31.2，P3(5.2，1.2). 点P4与P3关于点C成中心对称，且C(1，0),5.2x421，1.2y320，解得x43.2，y41.2，P4(3.2，1.2) .同理可得P5(1.2，3.2)P6(2，1)P7(0，1)P8 (2, 3).（3）P1(0，1)P2(2，3)P3(5.2，1.2).P4(3.2，1.2)P5(1.2，3.2)P6(2，1)P7(0，1)P8 (2, 3) P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环， 201263352，P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012 (2，3);在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为（321,0），（2,0），（321,0），（5,0）第二部分 练习部分1. （2011湖南常德）先找规律，再填数：2.（2011四川内江）同学们，我们曾经研究过nn的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+n2但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n1)n= n(n+1)(n1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+01+2+12=(1+2)+(01+12)12+22+32=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23=(1+2+3)+(01+12+23)12+22+32+42=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+ =1+01+2+12+3+23+ =(1+2+3+4)+( )(2)归纳结论：12+22+32+n2=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+n=1+01+2+12+3+23+n+(n一1)n=( ) += + = (3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是 3. （2011广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 （ 是大于0的 整数）个图形需要黑色棋子的个数是 4. （2011广东东莞）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取ABC和DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取A1B1C1和1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .5（2011广东汕头）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；（3）求第n行各数之和6. （2011四川凉山）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中的系数等等。（1）根据上面的规律，写出 的展开式。（2）利用上面的规律计算： 7.（2011江苏南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y33x相切设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r11时，r3 8.（2010年湖北恩施） (1)计算:如图10,直径为 的三等圆O 、O 、O 两两外切，切点分别为A、B、C ，求O A的长（用含 的代数式表示）.（2）探索:若干个直径为 的圆圈分别按如图10所示的方案一和如图10所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中 层圆圈的高度 和 （用含 、 的代数式表示）.（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（ 1.73）答案：1. 2. （1+3）44+3401+12+23+341+2+3+n01+12+23+(n-1)n n(n+1)(n1)n(n+1)(2n+1)3. 4. 5. （1）64，8，15； （2） ， ， ； （3）第2行各数之和等于33；第3行各数之和等于57；第4行各数之和等于77-13；类似的，第n行各数之和等于 = .6. 原式= 7. 设直线y33x与三个半圆分别切于A，B，C，作AE X轴于E，则在Rt AEO1中，易得AOE=EAO1=300，由r11得EO= ，AE= ，OE= ，OO1=2。则。 同理， 。8. (1)O 、O 、O 两两外切， O O =O O =O O =a 又O A= O A O AO O O A= = 3方案二装运钢管最多即：按图10的方式排放钢管，放置根数最多.根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得 解得 为正整数 =35钢 管放置的最多根数为：3118+3017=1068（根）【答案】1. （1） =12602.根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x为偶数时，结果为 ；当x为奇数时，结果为 ，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3所以选择B。3.图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要716枚棋子，第2个图案需要191612枚棋子，第3个图案需要37161218枚棋子，由此规律可得第6个图案需要16123（61）枚棋子，第n个图案需要16123（n1）13 枚棋子。所以，摆第6个图案需要127枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子4. 正A1B1C1的面积 ，第二个正