质数与合数(含答案).doc

质数与合数第3讲对于自然数和（），若没有余数，则是的倍数，是的约数。特殊地，是任意非零自然数的倍数。质数：除了和本身，没有其他约数的自然数叫质数。合数：除了和本身，还有其他约数的自然数叫合数。特殊地，既不是质数也不是合数。最小的合数是，最小的质数是，且是唯一的偶质数。质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。知识要点阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！质数和合数的分类产生了哥德巴赫猜想等世界著名的命题，学习质数和合数，窥探数字的奥秘！编写说明【例1】 对个不同质数求和，和为，则最大的质数是多少？【分析】 七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数，所以最小的质数是，从开始，最小的七个连续质数是，和为，所以题中的七个质数只能是从开始的七个连续质数，最大为。【温馨提示】是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒”，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“”.【拓展】 已知、都是质数，且，求、的值。【分析】 ，所以、应该都是奇数，所以是唯一的偶质数，依此可求得：，.【例2】 从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。这样的数有几组？【分析】 考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53。这样的数只有一组。说明：除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。这是此题的突破口。老师可以只推算个位数字就可以否定1、3、7、9，然后剩下个位数字是2和5，就很容易找到5。【拓展】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与1的差是质数，这个数除以2所得的商也是质数，这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。【分析】 法一：由条件可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为2，则的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件，2-1应为质数，因此2-1只可能为13，37，61或73。再由条件知2-1除以9所得的余数应为4，于是2-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2=14。法二：从条件入手，符合条件的偶数有：14，32，50，68，86，再由条件排除掉32，50，68，最后由条件排除掉86，所以这个幸运数是14。 【例3】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【分析】 分解质因数，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数。若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5，不行），经检验6、7、8、9恰符合。【温馨提示】根据乘积求因数，是分解质因数的一个重要运用.【拓展】 2004720的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【分析】 首先分解质因数，2004720=2222357167，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数。165=3511，166=283，168=22237，169=1313，所以165166167，166167168，167168169都没有4个2，不满足题意。说明167不可行。尝试334=1672，335=567，336=222237，334335336=2222235767167，包括了2004720中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005。【拓展】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数。【分析】 将6384分解质因数，6384，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，1951427，195242223，恰好1419246384，所以这三个数即为14，19，24。一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析。如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推。【例4】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?【分析】 方法一：3927023571117，为三个连续自然数的乘积，所以33、34、35为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2（长宽宽高高长）2（333434353533） 6934(平方厘米)方法二：3927023571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数3236中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为333435长方体的表面积为：2（+）2（119011551122）234676934(平方厘米)【拓展】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【分析】 如上图，设长、宽、高依次为、，有正面和上面的和为 ，而 当时，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数，则; 当时，则，为不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为【例5】 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：，已知只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油?【分析】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8+9+10+11+12+13)3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：(1)油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13-2=12(千克)(2)油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13-2=(千克)，这与油重之和2千克矛盾因此最重的两瓶内共有12千克油【例6】 从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等。将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【分析】 小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。【拓展】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】 在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是。按题目要求分拆45有如下12种方法：按题目要求分拆46有如下7种方法：按题目要求分拆47有如下14种方法 ： 因此满足题意的最小自然数是47。【练习1】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【分析】 将360分解质因数得360=222335，它是6个质因数的乘积。因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为63=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533。【练习2】 9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【分析】 大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数经验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个【练习3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数【练习4】 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？【分析】 由题意可知这个合数最大是16，16以内相差2的质数有3和5、5和7、11和13，那么对应合数是4，6，12。经检验这个合数是6，四个质数分别是5，7，11，13。【练习5】 若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【分析】 根据整数拆分原则：多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘积最大。若要使17拆成的不同质数的乘积尽可能大，应该将17分解为5个3和1个2，所以最大乘积是333332=486。对于此类整数分拆的题，可以适当归纳一下：当这个数是3的倍数时，全部拆成3；当这个数除以3余1时，可拆成若干个3和两个2，如16可拆成4个3和两个2；当这个数除以3余2时，可拆成若干个3和一个2。【练习6】 三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？【分析】 分解质因数：，可知这三个数是、和。设定目标美国汽车大王亨利福特，在12岁的那一年，随着父亲驾着马车到城里，偶然间见到一部以蒸汽做动力的车子，他觉得十分惊奇，并在心中想着：既然可以用蒸汽做动力，那么用汽油应该也可以，我要试试！虽然是个遥不可及的梦想，但是从那时起，他便为自己立下了10年内完成一辆用汽油做动力的车子。 他告诉父亲说：“我不想留在农场里当一辈子的农民，我要当发明家！” 然后他就离开家乡到工业大城底特律去，当一名最基本的机械学徒，逐渐对于机械有了更深入的认识。工作之余，他一直没有忘记他的梦想，每天劳累地从工厂下班后，仍孜孜不倦地从事他的研发工作。29岁那一年，他终于成功了！在试车大会上，有记者问他说：“您成功的要诀是什么?”福特想了一下说：“因为我有远大的目标，所以成功！”澳大利亚馆澳大利亚将在上海世博会园区内自行建设一座占地面积达4800平方米的国家展馆，其主题是“战胜挑战：针对城市未来的澳大利亚智能化解决方案”，通过探讨环境保护以及城市化和全球化等人类面临的共同挑战，以及展示澳大利亚自然风光，向参观者呈献“世界上最适宜居住地”澳大利亚如何缔造城市建设和自然环境之间可持续发展的和谐。 上期答案：高强在天平的两端各放上两个小球，有次品的那段要重一些，肯定要比另一端低。然后，高强在天平的两端各拿走一个小球，如果这时的天平还是不平衡，仍然一端高一端低，那么天平上低的那端的小球就是次品；如果天平是平衡的，那么从刚才低的那端拿走的小球就是次品。金币与银币在一个国家有一个美丽而聪明的公主，一个王子来向公主求婚。公主声明要嫁给最聪明的人，为了考验王子的智慧，公主吩咐仆人端来两个盆，一个盆装着10个金币，另一个盆里则装着10个银币，金币和银币的大小完全一样。公主让人把王子的眼睛用布蒙上，然后说：“现在，我要让人将两个盆的位置随意调换，请你随意选一个盆，并从里面挑出一枚硬币。如果你选中的是金币，我就嫁给你；如果你选中的是银币，我不但不会嫁给你，还要将你赶出宫殿。”王子想了想，问道：“在蒙上眼睛之前，我能不能任意调换盆里的硬币组合呢？”“当然可以。”公主同意了。 王子应该怎样调换硬币，娶到公主的把握才能最大呢？ 动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44