MATLAB在矩阵中的应用.doc

摘 要本文介绍了MATLAB在矩阵中的应用。首先，从软件的发展史、功能、特点等方面对MATLAB的发展做了详细的介绍；其次，论述了MATLAB应用于矩阵的必要性和现实意义；然后介绍了该软件对矩阵的各种应用，由于该软件比其他计算软件易操作，功能强大，特别适合做大量计算，所以本文主要从MATLAB在矩阵计算上的应用为例进行论述。分别从简单的矩阵生成及简单的运算和如何在不同情况下计算矩阵的特征值及用元胞数组的方法进行矩阵的大量计算来论述MATLAB在矩阵中的应用，同时给出用于计算的函数及其作用；最后，总结了基于MATLAB这个软件在矩阵中的影响及其推动作用。关键词:MATLAB，矩阵，矩阵函数，元胞数组Application of MATLAB in the matrixAbstract：This article describes the application of MATLAB in the matrix.First, from the history of the development of software, functions, features and other aspects of the development of a detailed MATLAB introduction; Second, MATLAB applies matrices discussed the necessity and significance; then introduced the software applications on the matrix, The software is easy to operate than other calculation software, powerful, particularly suitable for a large number of calculations, so this paper, the calculation in the matrix from the MATLAB application example were discussed. Matrices were generated from a simple and easy operation in different situations and how to calculate eigenvalues and using the method of cell matrix array of a large number of calculations to prove the application of MATLAB in the matrix, which describes the many used in the calculations function and its role; Finally, the summary of the software based on MATLAB in the matrix and its catalytic role.Keywords :MATLAB, matrices, matrix functions, cell array目 录一、引言 1二、MATLAB的介绍 1三、MATLAB在矩阵中的基础应用 2（一）构造矩阵2 1.简单构造方法 2 2.构造特殊矩阵 3 3.变换矩阵结构的命令 4 4.聚合矩阵 5（二）获取矩阵的相关信息 6 1.获取矩阵的某个元素或数个元素 6 2.求矩阵共轭转置的命令 7 3.获取矩阵的形状和大小信息 8（三）矩阵简单的运算9 1.矩阵的基本运算9 2.矩阵求逆和除法运算10 3.矩阵函数和计算函数10四、用MATLAB在解决矩阵特征值的应用12 1.特征多项式法12 2.幂法13 3.反幂法14五、应用MATLAB编程实现大量矩阵的运算15六、实例应用 17 1.介绍pcacov函数 17 2.从相关系数矩阵出发求解主成分17七、结束语 22参考文献 23一、引 言随着科学的发展，软件在不断的更新，同样MATLAB软件具有良好的发展前景，MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，从而在计算中的发展前景更为宽广。MATALB语言体系MATLAB是高层次的矩阵数组语言。具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。MATLAB提供了一个人机交互的数学系统环境，该系统的基本数据结构是矩阵，在生成矩阵对象时，不要求作明确的维数说明。与利用C语言或FORTRAN语言作数值计算的程序设计相比，利用MATLAB可以节省大量的编程时间。MATLAB软件主要用于方便矩阵的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵。MATLAB自问世以来,就是以数值计算称雄。MATLAB进行数值计算的基本单位是复数数组（或称阵列），这使得MATLAB高度“向量化”。经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具。由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。现阶段存在很多工程的数据分析，这其中可以用矩阵在MATLAB中进行分析。二、MATLAB的介绍MATLAB的含义是矩阵实验室(Matrix Laboratory),是由美国MathWorks公司于1984年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。现在,他已发展为国际上最优秀的科技应用软件。如果能鼓励和帮助学生将他用到相关学科课的学习上无疑是非常有意义的。MATLAB赋予学习者一个可实验的环境,一个强大的数值计算和分析及可视化（图形）工具。MATLAB最基本也是最重要的功能就是进行实数矩阵或者复数矩阵的运算。由于向量可作为矩阵的一行或者一列，标量（一个数）则可以作为只含有一个元素的矩阵，故向量和标量都可以作为特殊矩阵来处理。MATLAB的操作和命令对于矩阵而言，和我们平时使用的形式很相似，但它还有自己的一些规定。本文展示了如何方便地用MATLAB构造矩阵,获取矩阵的相关信息以及完成矩阵的运算,帮助他人了解矩阵的结构和运算,并使其相信在机器计算环境中,庞大复杂的计算不再是令人头疼的事情。三、MATLAB在矩阵中的基础应用(一)构造矩阵1.简单的构造方法在MATLAB中，进行计算的基本单位是数值矩阵，由键盘直接输入是创建它的最基本方法。输入数值矩阵时，必须遵守以下规则： 矩阵所有元素必须置于方括号“”内。 矩阵一行中元素之间用逗号“,”或空格分隔；矩阵相邻两行之间用分号“,”间隔或回车换行。 如果输入内容太多，屏幕宽度不够或其他原因需要中途换行时，可键入3个连续的英文格式符号“”，称为续行号，回车后可继续键入后续的内容。续行号后的回车只是“换行”而不是“执行命令”。续行号不得加在矩阵一行中的两个元素之间。 矩阵元素可以是实数、复数、向量、矩阵等数值量或其变量名，每行元素个数必须相等。 输完矩阵内容后加逗号“,”或回车，则显示出创建矩阵的内容；若在包含矩阵的右侧方括号外加有英文格式符号分号“;”，回车完成创建任务，但不显示矩阵内容。 命令窗口中同一行内输入几个矩阵或命令时，他们之间必须用逗号或分号间隔。 完成矩阵输入后，无论光标在行内的什么位置，只要按回车键则“执行”该行的命令，不必把光标移到行末再按回车（这里回车的作用是“执行”而不是“换行”）。键入下面的代码, 创建一个3行3列的矩阵112324222,但不显示在屏幕上。在命令窗口上直接输入：a=1,1,2;3,2,4;2,2,2; %逗号和空格等价一般情况下还是用逗号好一些为了验证它已在工作空间中，可键入a按回车键，得到如下结果：a = 1 1 2 3 2 4 2 2 22.构造特殊矩阵对于某些特殊矩阵，MATLAB中设有直接创建的专用命令，这给它们的创建、运算，特别是给程序设计带来了很多方便。表1列出了一些创建特殊矩阵的专用命令。 表1 创建特殊数值矩阵的专用命令命令格式功能命令格式功能zeros(n)输出n阶全零方阵rand(n)输出n阶均匀分布的随机方阵zeros(m,n)输出mn阶全零方阵rand(m,n)输出mn阶均匀分布随机矩阵ones(n)输出n阶全1方阵randn(n)输出n阶正态分布的随机方阵ones(m,n)输出mn阶全1方阵randn(m,n)输出mn阶正态分布随机矩阵eye(n)输出n阶单位方阵；n=1时可以省略magic(n)输出n阶魔方（各行各列及主对角线元素和均为（n3+n/2）diag(a,k)输出矩阵a主对角线右移k列时其元素构成的列向量，k=0时可省略tril(a)输出矩阵a主对角线下（上）方元素构成的下（上）三角矩阵下面举例予以说明：例：创建一个4阶单位方阵。ones(4)按回车键得出ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1例：创建一个4阶魔方阵。magic(4)按回车键得出ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1输出n阶魔方阵（各行各列及主对角线元素和均为(n3+n)/2）。3.变换矩阵结构的命令在编写程序和一些特殊计算中，经常需要对已输入的矩阵结构作某种变换，即不改变矩阵中元素的总数和各元素的取值，仅使其位置发生改变。如使矩阵整体发生旋转、翻转等变换，称为变换矩阵结构。常用的几个变换矩阵结构命令见表2。表2 变换矩阵结构的常用命令命令格式功能命令格式功能flipud(A)输出矩阵A上下翻转后的矩阵rot90(A)输出矩阵A沿逆时针旋90后的矩阵flipli(A)输出矩阵A左右翻转后的矩阵reshape(A,m,n)输出一个mn阶矩阵，它是由矩阵A的k个元素重新排列构成的矩阵，重排前后各元素在矩阵中的序号不变rot90(A,k)输出矩阵A沿逆时针旋转k个90后的矩阵，k为正负整数举例说明：例：在命令窗口输入矩阵a=279562，然后再输出矩阵a逆时针旋转90后的矩阵。a=2,7,9;5,6,2按回车键后矩阵已输入，在命令窗口输入命令rot90(a)按回车键得出：a = 2 7 9 5 6 2ans = 9 2 7 6 2 5此矩阵就是a逆时针旋转90后的输出矩阵。接着在命令窗口再输入命令:reshape(a,3,2)按回车键得出ans = 2 6 5 9 7 24.聚合矩阵矩阵聚合是通过连接一个或多个矩阵来形成一个新的矩阵。表达式C=A B或horzcat(A,B)在水平方向上聚合矩阵,表达式C=A;B或vertcat(A,B)在垂直方向上聚合矩阵。用矩阵聚合的方法可以生成规则的矩阵,因此,如果是水平生成矩阵,则每分子矩阵必须具有相同的行数如果是垂向生成矩阵。则每个子矩阵必须具有相同的列数。利用表3中的函数可以将多个矩阵聚合成一个新的矩阵。下面举一例说明以下这些函数的具体用法:用blkdiag函数创建一个块对角矩阵:a=magic(3); %构造一个3阶魔方矩阵b=0 1 2;2 8 7;c=blkdiag(a,b) %将矩阵A和B沿对角线方向聚合运行结果为：c = 8 1 6 0 0 0 3 5 7 0 0 0 4 9 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 8 7 表3 聚合矩阵的函数函数功能horzcat水平聚合矩阵vertcat垂向聚合矩阵repmat通过复制和迭置矩阵来创建新矩阵bladiag用已有矩阵创建对角块矩阵cat沿指定的维聚合矩阵（二）用MATLAB获取矩阵的相关信息在某些矩阵运算情况之前，都应先获得矩阵的一些信息，比如说获取矩阵的元素、形状和大小、共轭转置等信息，这样便于往后的计算。以下就陈述一下用MATLAB获取矩阵的相关信息。1.获取矩阵的某个元素或数个元素利用编号和索引,可以获取矩阵的元素,要找出数组的某个元素或数个元素,可参考以下的例子：A=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0;A(8) %第8个A的元素ans=1.6000A(1:5) %列出第1到第5个A的元素ans =0 0.2000 0.4000 0.6000 0. 8000A(3:-1:1) %列出第3到第1个A的元素,3为起始值,1为终止值,-1为增量ans = 0. 4000 0. 2000 0A(2:2:6) % 列出第2到第6个A的元素,2为起始值,6为终止值,2为增量ans = 0. 2000 0. 6000 1. 2000A(4 2 5 1) %列出A的元素,排列元素依序为原来A 矩阵的4,2,5,1个ans = 0. 6000 0. 2000 0. 8000 02.求矩阵共轭转置的命令在这里我们就实数矩阵和复数矩阵来讨论： 使矩阵共轭转置的命令是“”，使用格式为A，输出矩阵的共轭转置矩阵AT。 使矩阵变成其共轭矩阵的命令是conj，使用格式为conj（A），输出A的共轭矩阵A。 利用上述两个命令使矩阵仅发生转置的方法为：方法一：如果A是实数矩阵，用“”就可得出它的转置矩阵，即用A就得出AT。方法二：如果A是复数矩阵，用conj (A)或conj(A)可得出AT。例：在命令窗口输入矩阵a=2i3+i42+6i34+2i569+4i,求a的共轭矩阵和共轭转置矩阵。a=2i,3+i,4;2+6i,3,4+2i;5,6,9+4i; %创建矩阵b=conj(a)， %求共轭矩阵c=a %求共轭转置矩阵按回车得出b = 8 1 6 3 5 7 4 9 2c = 8 3 4 1 5 9 6 7 23.获取矩阵的形状和大小信息表4 中的函数可以返回关于矩阵形状和大小的信息。表4 矩阵信息函数函数功能length返回最长维的长度nidims返回维数numel返回元素的个数size返回每一维的长度其中size函数在矩阵中常用，使用格式是：Size(a)或size(a,k)输入参数a为待查的已输入矩阵输入参数r可取1或2。当r=1时，输出a的行数；当r=2时，输出矩阵a的列数。省略输入参数r，仅有参数a时，输出二维向量(m,n），表示矩阵a是mn维。下面就以上的函数举例说明： A=1,2,4,4,5,5,2;1,2,5,1,2,4,1;-4,11,-2,35,3,4,11; size(A)ans = 3 7 %表明矩阵A是一个37的矩阵 nume(A)ans = 21 %表明矩阵A共有21个元素 ndims(A)ans = 2 %表明矩阵A是2维矩阵（三）矩阵简单的运算我们主要介绍一下矩阵算法，而所谓矩阵算法就是把每个矩阵都看成一个整体，各种运算完全按照线性代数的矩阵运算法则进行，运算的书写形式和运算符号都与矩阵理论中的几乎完全一样。1.矩阵的基本运算MATLAB提供基本的算术运算有:加(+)、减(-)、乘(.*)、左除(./)、右除(.)、幂次方(.)、转置(.)。首先介绍一下矩阵加、减和乘法运算。其运算符号为“+”、“-”、“*”用这些符号把参与运算矩阵连接起来，回车便可得出计算结果。矩阵进行加、减运算时，它们的维数必须相同，即行数、列数分别相等。两矩阵相乘时，它们内维数必须相等，即左矩阵的列数，必须等于右矩阵的行数，用a*b或命令mtimes(a,b)。进行方阵a的n次幂an运算时，输入an或mpower(a,n)，这时，若整数n0，输出方阵等于n个a相乘的结果；若整数n A=2,5,1;7,3,8;4,5,21;16,13,0; A=A; %A的转置矩阵,去掉“;”可显示运算结果 A=4,-1,3;B=-2,5,2; A+B; %矩阵A, B 的和 A=2,5,1;0,3,-1; B=1,0,2;-1,4,-2;5,2,1; C=A*B; %矩阵相乘,注意二个矩阵的大小须相容 A=2,1,-,5;4,3,25; A.2; %矩阵A的每个元素平方对比较复杂的矩阵计算,可以用MATLAB内置的矩阵运算函数方便的计算。这个地方最能体现MATLAB强大的矩阵计算能力。2.矩阵求逆和除法运算MATLAB的矩阵算法中定义了两种除法：左除和右除，它们都是又逆阵引出来的。求矩阵逆阵的命令inv同维数矩阵a，b满足ab=ba=E（E为与a同维的单位矩阵）则称a，b互为逆阵，可记为b=a-1或a=b-1。在MATLAB中求矩阵a逆阵命令inv的调用格式为inv(a)。输入的a必须是矩阵。输出a的逆阵a-1。求矩阵伪逆阵的命令pinv对于奇异阵或长矩阵b，把同时满足xbx=b和bxb=x(penrose第一、二方程)的方阵x叫做b的伪逆阵，记为br-或b1,2，在MATLAB中求伪逆阵x的命令为pinv(b)。左除解矩阵方程ax=b可得x=ba-1，在MATLAB中记为x=inv(a)*b或x=ab，或mrdivide(b,a)即用a-1左乘矩阵b，记为ab，称为a左除b。右除解矩阵方程xa=b可得x=ba-1，在MATLAB中记为x=b*inv(a)或x=b/a，或mrdivide(a,b)即用a-1右乘矩阵b，记为b/a，称为a右除b。虽然矩阵的左除和右除都可由矩阵求逆推出算法，大事考虑到计算精度和运算速度，MATLAB中除法的实际计算并不用求逆阵后相乘计算得出，而是通过矩阵的三角分解法求得。3.矩阵函数和计算函数定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数，它们有多种定义方法。当用方阵幂数级数的和函数来定义矩阵函数时，方阵函数fx=k=0Ckak,其中，自变量a和fa都是n阶方阵；Ck是常系数。表5列出了MATLAB中常用的矩阵函数求值命令。表5 常用矩阵函数求值命令命令名数学意义命令名数学意义expm(a)ea=1+a1!+a22!+sqrtm(a)矩阵a的平方根logma(a)ln(a)funm(a,f)矩阵a的任意函数fa设矩阵a=371419265，求sin(a)。在命令窗口键入命令a=3,7,1;4,1,9;2,6,5;sina=funm(a,sin)按回车键得出:sina = 0.7720 0.0354 -0.4121 -0.0717 0.4231 -0.0446 -0.1809 -0.1012 0.5785常见的矩阵计算函数有:det( )计算行列式的值；rank( )计算矩阵的秩；inv( )计算已知矩阵的逆矩阵；lu( )对矩阵进行三角分解；qr( )对矩阵进行正交分解。下面举例说明矩阵函数的用法:(1) 计算行列式的值 A=1,2,3;111,2,33;-8,5,99; det(A)ans = -20760(2) 计算已知矩阵的逆矩阵 A=magic(3); %建立一个矩阵 inv(A) %求矩阵A 的逆矩阵ans =0.1472 -0.1444 0.0639- 0.0611 0.0222 0.1056- 0.0194 0.1889 -0.102注:用inv( )求逆矩阵的前提是待求矩阵的逆矩阵存在,否则MATLAB会给出警告。(3) 三角分解三角分解也称LU分解,将矩阵A分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积,即A=LU,在MATLAB中有函数lu( )完成此工作。如: A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; L,U=lu(A)运行结果略。四、用MATLAB在解决矩阵特征值的应用求解矩阵特征值的方法有多种，有的方法只能求出一个特征值，有的方法能求出所有的特征值；有的只能求出实特征值，有的能求出复特征值；有的能附带求出特征向量，而有的只能求出特征值。下面将介绍各种求矩阵特征值的算法以及在MATLAB中的应用。1.特征多项式法这方法是通过求解特征多项式的根来求解特征值。在MATLAB中实现此方法的函数是：Chapoly。功能：通过求矩阵多项式的根来求特征值。调用格式：a=Chapoly(A)其中，A为已知矩阵，a为求得的矩阵特征值。function a=Chapoly(A)syms t;N=size(A);n=N(1,1);y=det(A-t*eye(n,n);a=solve(y);a=vpa(1,5); %结果取5位精度2.幂法幂法的基本原理：幂法用于计算实矩阵按模最大的特征值（称为主特征值或强特征值）及对应的特征向量。幂法的最大优点是方法简单，对大型的稀疏矩阵较为合适。幂法在MATLAB中的应用:在MATLAB中实现此方法的函数是：pmethod。功能：幂法求矩阵的主特征值及主特征向量。调用格式：l,v,s=pmethod(A,x0,eps)其中，A为已知矩阵；x0为迭代初始向量，不能取零向量；eps为迭代精度；l为求得的矩阵主特征值；v为求得的矩阵主特征向量；s为迭代步数。幂法的MATLAB程序代码如下：function l,v,s= pmethod(A,x0,eps)if nargin=2eps=1.0e-6endv=x0; %v为主特征向量M=5000; %迭代步数限制m=0;l=0;for(k=1:M)y=A*v;m=max(y); %m为按模最大的分量v=y/m;if(abs(m-1)eps) l=m; %到所需精度，退出，l为主特征值 s=k; %s为迭代步数 return;else if(k=M) disp(迭代步数太多，收敛速度太慢！) l=m; s=M; else l=m;endendend3.反幂法反幂法的基本原理：反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。反幂法在MATLAB中的应用:在MATLAB中实现此方法的函数是：ipmethod。功能：反幂法求矩阵按模的最小主特征值及其特征向量调用格式：l,v=ipmethod(a,x0,eps)其中，A为已知矩阵； x0为迭代初始向量； eps为迭代精度； l为求得的矩阵按模的最小特征值； v为求得矩阵值l对应的特征向量。反幂法的MATLAB程序代码如下：function l,v,s= pmethod(A,x0,eps)if nargin=2eps=1.0e-6endv=x0; M=5000; %迭代步数限制m=0;l=0;for(k=1:M)y=Av;m=max(y); %m为按模最大的分量v=y/m;if(abs(m-1)PHO=0.5000,0.4402,0.4589,0.5843,0.5556,0.5878,0.6315,0.6308, 0.6070,0.6140; 0.4402,0.5000,0.4937,0.6341,0.5526,0.4367,0.4130,0.6348,0.6023, 0.6378;0.4589,0.4937,0.5000,0.6397,0.5989,0.4353,0.4557,0.6260,0.6178, 0.5441;0.5843,0.6341,0.6397,0.5000,0.4485,0.5512,0.4672,0.5100,0.3839, 0.4541;0.5556,0.5526,0.5989,0.4485,0.5000,0.3904,0.4259,0.4737,0.5100, 0.4689;0.5878,0.4367,0.4353,0.5512,0.3904,0.5000,0.5015,0.5612,0.5353, 0.4478;0.6315,0.4130,0.4557,0.4672,0.4259,0.5015,0.5000,0.5239,0.5207, 0.5139;0.6308,0.6348,0.6260,0.5100,0.4737,0.5612,0.5239,0.5000,0.4537, 0.4570;0.6070,0.6023,0.6178,0.3839,0.5100,0.5353,0.5207,0.4537,0.5000, 0.5030;0.6140,0.6378,0.5441,0.4541,0.4689,0.4478,0.5139,0.4570,0.5030, 0.5000; %利用pcacov函数根据相关系数矩阵作主成分分析，返回主成分表达式的系数矩阵COEFF%返回相关系数矩阵的特征向量latent和主成分贡献率向量explained COEEF,latent,explained=pcacov(PHO)latent = 5.2153 0.5158 0.2960 0.1857 0.1656 0.0983 0.0924 0.0357 0.0317 0.0138explained = 78.4222 7.7562 4.4507 2.7930 2.4894 1.4780 1.3895 0.5371 0.47660.2074%为了更加直观，以元胞数组形式显示结果 result1(1,:)=特征值,差值,贡献率,累积贡献率; result1(2:11,1)=num2cell(latent); result1(2:10,2)=num2cell(-diff(latent); result1(2:11,3:4)=num2cell(explained,cumsum(explained)result1 = 特征值 差值 贡献率 累积贡献率 5.2153 4.6995 78.4222 78.4222 0.5158 0.2198 7.7562 86.1784 0.2960 0.1102 4.4507 90.6291 0.1857 0.0202 2.7930 93.4221 0.1656 0.0673 2.4894 95.9115 0.0983 0.0059 1.4780 97.3895 0.0924 0.0567 1.3895 98.7790 0.0357 0.0040 0.5371 99.3161 0.0317 0.0179 0.4766 99.79260.0138 0.2074 100.0000%以元胞数组形式显示前三个主成分表达式 s=标准化变量;x1:考试成绩;x2:课堂表现;x3:课后表现;x4:思想意识;x5:道德品质;x6:文艺方面;x7:身体素质;x8:社会实践能力;x9:组织能力;x10:人际交往能力; result2(:,1)=s; result2(1,2:4)=Print1,Print2,Print3; result2(2:11,2:4)=num2cell(COEEF(:,1:3)result2 = 标准化变量 Print1 Print2 Print3 x1:考试成绩 -0.3391 0.3857 -0.3859 x2:课堂表现 -0.3240 0.4524 0.4126 x3:课后表现 -0.3254 0.4111 0.3551 x4:思想意识 -0.3144 -0.3678 0.1220 x5:道德品质 -0.2994 -0.1544 0.3448 x6:文艺方面 -0.3004 0.1253 -0.4355 x7:身体素质 -0.3008 0.0460 -0.4751 x8:社会实践能力-0.3263 -0.3441 -0.0250 x9:组织能力 -0.3177 -0.3412 -7.3167e-004 x10:人际交往能力-0.3124 -0.2565 0.0709为了结果看上去更加直观，上面定义了两个元胞数组：result1和result2，用result1存放特征值、贡献率和累积贡献率等数据，用result2存放前3个主成分表达式的系数数据，即COEFF矩阵的前3列。这样做的目的仅是为了直观，使研究人员可以直接对pcacov函数返回的结果进行分析。结果分析：从result1的数据中来看前3个主成分的累积贡献