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等 差 数 列 前 n 项 和(教案定稿) 北方交大附中高一数学组牟柏林等差数列前n项和【教学目标】 一、知识与技能 1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前n项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。 2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。 二、过程与方法 1、启发式教学。 从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。 2、探究式学习。 从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。 三、情感态度与价值观 1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。 2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。 【教学重点、难点】重点探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。 难点等差数列前n项和公式推导思路的获得。 解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。 问1印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是莫卧儿王朝第5代皇帝沙贾汗为了纪念他已故皇后泰姬玛哈尔而建立的陵墓，被誉为“完美建筑”,成为世界七大奇迹之一。 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑.你知道这个图案一共花了多少宝石吗？即:1+2+3+100=？问2这个求和问题数学家高斯少年时代也曾经算过，有谁知道高斯是如何快速地得出了结论的吗？这种算法的特点是什么啊？高斯用的是首尾配对的方法。 特点首项与末项的和1100101，第2项与倒数第2项的和299101，第3项与倒数第3项的和398101，第50项与倒数第50项的和5051101，于是所求的和是101505050。 S100=1+2+3+100=10150=5050特点是首尾配对得等量.问3那还有没有别的巧算或速算的方法呢？1北方交大附中高一数学组牟柏林试一试“假如再给你同样多的珠宝构成的三角形图，在只允许两个图形拼接的基础上你能设计出一个什么样的图案方便计算呢？”把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。 平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。 有什么启发？1+2+3+?+98+99+100100+99+98+?+3+2+11+2+3+100=（100+1）1002=5050点出方法倒序相加法，计算目的仍是凑等量.速算图中这堆钢管共有多少根？(5?9)?556789=352推导公式探究1求1到n的正整数之和即S n=1?2?n?s n?1?2?3?(n?1)?n?1s n?n?(n?1)?(n?2)?2?2s n?(1?n)?(1?n)?(1?n)?n探究2那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？即S n=a1s n?n(n?1)2?a2?a nS n?a1?a2?a n (1)2)证明S n?a n?a n?1?a1(?a1?a n?a2?a n?1?a3?a n?2?a n?a1 （1）+ （2）可得2S n?n(a1?a n)S n?n(a1?a n)2n(n?1)d2公式变形将a n?a1?(n?1)d代入可得S n?na1?综上所述等差数列求和公式为S n?n(a1?a n)n(n?1)?na1?d222北方交大附中高一数学组牟柏林认识公式 （1）用面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式. （2）公式特点 （1）相同点都需知道a1与n； （2）不同点第一个还需知道a n，第二个还需知道d.公式应用例1求等差数列-10，-6，-2，2，?前10项的和.变式题等差数列-10，-6，-2，2，?前多少项和是54？练习一 1、根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和 （1）a1?100，d?2，n?50； （2）a1?4，a8?18，n?8； 2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和.例 2、已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12（能力提高）练习二 1、已知一等差数列中a5?10，则S9?（C）A、45B、60C、90D、120公式的变式s n?(a1?a n)n(a2?a n?1)n(a?a n?k?1)n?k222想一想等差数列有奇数项，那么前n项和等于（中间项乘以项数）课堂小结 1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法； 2、倒序相加的方法，数形结合的思想； 3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。 3北方交大附中高一数学组牟柏林【教学设计说明】 一、情景引入 1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。 2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。 我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。 二、两个探究 1、探究1，从特殊数列入手，让学生更好地体会“倒序相加法”的优点。 2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。 3、探究2公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。 从情景引入到探究 1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。 三、例题及习题的选择例1及变式题到例2有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。 练习一是基本运用，体现了一定