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非线性 时间 信号处理 陶超2010 3 3 第二章非线性动力学初步 2 1动力学系统的含义 Ameansofdescribinghowonestatedevelopsintoanotherstateoverthecourseoftime Technically adynamicalsystemisasmoothactionoftherealsortheintegersonanotherobject Whentherealsareacting thesystemiscalledacontinuousdynamicalsystem andwhentheintegersareacting thesystemiscalledadiscretedynamicalsystem 2 2线性系统 微分方程的的矩阵形式 二阶线性微分方程记矩阵形式 三阶线性微分方程 2 3常系数线性微分方程组的解与相图 常系数微分方程组的解 常系数微分方程组 解可以写成一个标量和一个向量的乘积 由于 所以 或者 是非零解当且仅当v是特征值 对应的特征向量 如果特征方程有n个互不相同的实特征值 1 n 它们所对应的特征向量为v1 vn 方程组的n个线性无关解通解为 得到特征值 第一步 解特征方程 常系数微分方程组的求解步骤 第二步 解线性方程组 例一 鞍点 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 时间序列 x1 0 2 x2 0 2 c1 2 c2 0 x1 0 0 1 x2 0 0 1 c1 0 c2 0 1 x1 0 2 x2 0 1 995 c1 1 9975 c2 0 0025 相图 x1 x2 坐标平面中画出的解的图像也非常有指导性x空间中的图像称为解的相图 2维 相平面 高维 相空间 有两个异号实特征值的线性系统的零解 相平面的原点 称为鞍点 也称这种系统为鞍点 例二 稳定节点 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 稳定节点的相图 两个负实特征值 稳定节点节点 node 本意是群枝分出的点稳定 stable t趋向无穷大时 解趋向于原点 v2 例三 不稳定节点 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 不稳定节点的相图 两个正实特征值 不稳定节点 例四 零特征值 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 相图 例五 复特征值 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 相图 x2 两个纯虚数特征值 中心点 例六 稳定焦点 考虑方程 第一步 求特征值 第二步 求特征向量 方程的通解 稳定焦点 特征值是一对负实部共轭复数的微分系统称之为稳定焦点 x1 例七 拟周期 准周期 系统 考虑非耦合调和振子 令 方程的解 准周期解 若R1 R2都不等零 则这个解是以T为周期的周期解当且仅当存在整数k m使得 若解是周期解 两个频率的比值必须是有理数 若这个比值是无理数 则此解不
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