高等数字信号处理第2章_现代谱估计.ppt

第二章现代谱估计 现代谱估计概述AR模型谱估计线性预测Burg算法ARMA模型谱估计扩展Prony方法多重信号分类 MUSIC 法 2 1现代谱估计概述 经典谱估计的主要问题基于信号参数模型的谱估计方法 2 2AR模型谱估计 AR模型的正则方程Levinson Durbin算法AR谱估计的自相关法AR模型阶次的选择AR模型谱估计的性质 2 2 1AR模型的正则方程 假定 都是实平稳的随机信号 为白噪声 方差为 为服从AR过程的因果信号 由AR模型的差分方程 有将上式两边同乘以 并求均值 得 2 2 1AR模型的正则方程 a 式中 为AR模型的单位取样响应 由z变换的性质 当时 有 将之代入上式 有 b 2 2 1AR模型的正则方程 综合式 a 与式 b 有在上述推导中 应用了实信号自相关函数的偶对称性 即 由上式可得个方程 写成矩阵形式为 2 2 1AR模型的正则方程 上述两式即为AR模型的正则方程 又称Yule Walker方程 2 2 1AR模型的正则方程 需要指出的是 上式中的自相关矩阵为Toeplitz矩阵 若是复过程 那么 则其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵 这类矩阵具有一系列好的性质 利用这些性质 可以找到快速求解AR模型参数的高效算法 2 2 2Levinson Durbin算法 Levinson Durbin递推算法是求解Yule Walker方程的快速有效算法 这种算法利用了方程组系数矩阵 自相关矩阵 所具有的一系列好的性 使运算量大大减少 其推导的方法有多种 这里只介绍一种较为简便的推导方法 设已求得阶Yule Walker方程 2 2 2Levinson Durbin算法 a 2 2 2Levinson Durbin算法 的参数 要求解的m阶Yule Walker方程为 2 2 2Levinson Durbin算法 b 2 2 2Levinson Durbin算法 为此 将式 a 的系数矩阵增加一行和增加一列 成为下式 2 2 2Levinson Durbin算法 c 2 2 2Levinson Durbin算法 式中利用前述的系数矩阵的特点 将式 c 的行倒序 同时列也倒序 得到 2 2 2Levinson Durbin算法 d 2 2 2Levinson Durbin算法 将待求解的m阶Yule Walker方程表示成式 c 和式 d 的线性组合形式 即 e 2 2 2Levinson Durbin算法 或式中 是待定系数 称为反射系数 式 e 两边各右乘以m阶系数矩阵 得到 f 2 2 2Levinson Durbin算法 由式 f 可求出由式 c 的第一个方程可求出从上面的推导中可归纳出由m 1阶模型参数求m阶模型参数的计算公式如下 2 2 2Levinson Durbin算法 对于AR p 模型 递推计算直到p阶为止 2 2 3AR谱估计的自相关法 已知N点观测数据和AR的阶数p 则AR谱估计可按下述步骤来进行 由已知的估计令 2 2 3AR谱估计的自相关法 用代替L D递推算法式中的 对于 重新求解Yule Walker方程 这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值 即和将这些参数代入下式 得到的功率谱的估计 即 2 2 3AR谱估计的自相关法 若在 0 2 内对进行N点均匀抽样 则得到离散谱式中 2 2 4AR模型阶次的选择 FPE准则 最终预测误差准则 随着m的增加 使达到最小值时的 AIC准则 信息论准则 前者表征将随着m的增加而单调下降 后者表示计算误差将随着m的增加而增长 2 2 5AR模型谱估计的性质 平滑特性 2 2 5AR模型谱估计的性质 频率分辨率AR谱估计的频率分辨率 要优于经典谱估计方法 其原因在于求解AR模型参数的过程 实际上意味着将根据估计的按一定准则进行了外推 AR谱的匹配性质 2 3线性预测 前向线性预测后向线性预测格形滤波器 2 3 1前向线性预测 已知n时刻以前的m个信号数据 用这m个数据来线性预测n时刻信号的值 如图所示 预测值为式中 上标f表示前向预测 2 3 1前向线性预测 其预测误差为 a 称此预测器为m阶前向线性预测器 令 由此解得将式 a 代入上式 得 2 3 1前向线性预测 b 由最小均方误差的表达式及正交性原理可知 c 联立式 b 与式 c 得 2 3 1前向线性预测 d 前向线性预测的Wiener Hopf方程解此方程则得m阶线性预测器的最佳参数及 2 3 1前向线性预测 上式与AR模型参数的正则方程式极其相似 若令 则有 成立 这说明 对于同一个p阶的AR随机信号 其AR模型和同阶的最佳线性预测器模型是等价的 所以有 f 即p阶线性预测器的输出是一个白噪声序列 2 3 1前向线性预测 结论 对于给定的随机信号 若其最佳前向线性预测器的阶次等于的AR模型阶次时 其前向线性预测误差为白噪声序列 所以阶次等于AR模型阶次的最佳前向预测误差滤波器实际上是AR模型的逆系统 即白化滤波器 2 3 2后向线性预测 与前向线性预测对应的还有后向线性预测器 即由n时刻以后的p个数据来预测 即式中 上标b代表后向预测 在实际工作中 总是用同一组数据来同时实现前向和后向预测 这样上式可改写为 2 3 2后向线性预测 预测误差但习惯上常将写成 即仿照前向预测器的推导方法 同样可导出下列公式 最佳均方误差及 2 3 2后向线性预测 对于实序列有及若为复数序列 则 2 3 3格形滤波器 对于m阶的前 后向预测误差 有如下递推公式成立式中 称为反射系数 且 2 3 3格形滤波器 2 4Burg算法 Burg算法的基本概念Burg算法存在的问题改进的协方差算法 2 4 1Burg算法的基本概念 基本思想自相关法进行AR谱估计时 是遵循以下思路进行的 由观测的信号数据先估计自相关函数 根据估计的自相关函数 利用Levinson Durbin递推算法求解模型参数 由得出的AR模型参数计算信号的功率谱 2 4 1Burg算法的基本概念 1967年提出的Burg算法在一定程度上改善了这种状况 它所遵循的计算思路是 由观测的信号数据先估计反射系数 根据估计出的反射系数 利用Levinson Durbin算法递推出AR模型参数 由得出的AR模型参数计算信号的功率谱 2 4 1Burg算法的基本概念 由于在计算中避开了估计自相关函数 而直接从输入数据计算AR模型参数所以减小了计算误差 从而改善了的频率分辨率 Burg算法的另一特点是 使用前向 后向预测误差平方和最小的原则来估计 而不是象自相关法那样只按前向预测误差的方差最小的原则导出其正则方程 2 4 1Burg算法的基本概念 算法推导令应满足在上式中代入格形滤波器公式 可得 2 4 1Burg算法的基本概念 估计出后 阶次m时的AR模型参数系数仍然由Levinson Durbin算法递推求出 即有 2 4 1Burg算法的基本概念 计算步骤由初始条件 再由式 2 4 2 求出 由得时的参数由及式 2 3 15 求出和 再由式 2 4 2 估计 依照式 2 4 3 式 2 4 5 求出时的参数 及 重复上述过程 直到 求出所有阶次时的AR参数 2 4 1Burg算法的基本概念 若定义式 2 4 2 的分母为那么可以证明 可以由和递推计算 即这样 可以有效地提高计算速度 2 4 2Burg算法存在的问题 Burg算法由于避免了直接计算自相关函数 所以估计误差 频率分辨率要高于自相关法 但由于它仍然用Levinson Durbin算法来求AR模型参数 因此 仍存在谱峰分裂与偏移问题 当使用单频正弦信号 周期为T 加白噪声作试验数据时 有如下规律 信噪比高时容易发生 由于此时谱峰突出 因此已不再是AR过程 而是退化的ARMA过程 2 4 2Burg算法存在的问题 当信号长度 为采样周期 时 对任何整数k 任何的初始相位 谱峰无分裂 当信号长度 的初始相位为0或时 谱峰无分裂 当信号长度 的初始相位为的奇数倍时 谱峰分裂严重 N充分大时 分裂现象逐渐减弱 2 4 3改进的协方差算法 基本思想 由观测的数据直接估计 而不需要估计 从而无需使用Levinson Durbin算法 具体说来 其思路是首先定义 然后 令也就是说 在令为最小时 不是仅令其相对为最小 而是令其相对都为最小 m由1至p 2 5ARMA模型谱估计 噪声对AR模型谱估计的影响MA模型谱估计ARMA模型谱估计 2 5 1噪声对AR谱估计的影响 设是一个p阶AR过程 它被测量噪声污染后成为 即如果是方差为的白噪声 且与不相关 则有 2 5 2MA谱估计的计算 2 5 3 2 5 4 2 5 5 由式 2 5 3 得 2 5 6 2 5 2MA谱估计的计算 将上式两边同乘以 并求均值 得 2 5 7 式中 2 5 2MA谱估计的计算 将式 1 6 6 代入 并注意到是方差为的白噪声 有 2 5 8 对MA q 模型 由式 2 5 4 得 2 5 2MA谱估计的计算 所以 可以求出MA q 模型的正则方程 即有MA q 的功率谱为等效于经典谱估计中的自相关法 即MA谱估计等效为信号长度为q 1的自相关法谱估计 2 5 3ARMA模型谱估计 ARMA p q 模型的差分方程式中 类似地 可导出其正则方程如下 2 5 3ARMA模型谱估计 式中 是系数和的函数 前q 1个方程是高度非线性的 从第q 1个方程开始是线性的 可以解出AR部分的系数 将上式中的第二个方程写成如下展开形式 2 5 3ARMA模型谱估计 上式虽然可解出AR部分的系数 但存在以下两个问题 由于式中的真实自相关函数是未知的 因此只能使用估计值来代替 且要用到大延迟的估计值 最大延迟是p q 而对于给定的信号长度 这将造成估计很不准确 因而 也就不能得到AR部分系数的准确估计 2 5 3ARMA模型谱估计 式中阶次p和q都是未知的 需要事先指定 而p和q的不正确指定有可能导致式 2 5 13 的系数矩阵奇异 因此 在实际应用中 对式 2 5 13 采用更一般的形式 即取L个方程 这里 即式中 2 5 3ARMA模型谱估计 由此得到的最小二乘解为求得ARMA p q 模型中的AR参数 余下的任务就是求解MA部分的参数 2 5 3ARMA模型谱估计 利用求得的AR系数先得到一个FIR系统为序列经此FIR系统滤波 得到一个输出序列ARMA p q 模型与FIR系统级联 近似于模型 2 5 3ARMA模型谱估计 因此 可以利用输出序列估计自相关序列并按MA q 模型谱估计公式来得到MA谱 即得到MA谱估计后 利用下式即可求得ARMA谱估计 2 6扩展Prony方法 扩展Prony方法对于N点复数序列采用的估计模型是一组p个具有任意幅值 相位 频率与衰减因子的指数函数 即式中 为幅值 为相位 单位 弧度 为衰减因子 表示振荡频率 代表采样间隔 2 6扩展Prony方法 为叙述方便起见 先将上式写成如下形式 a 式中 并定义特征多项式 b 式中 显然 式 a 中的即为此多项式的根 2 6扩展Prony方法 由 a 式可得两边同乘 并求和 得上式等于零是因为第二个求和项恰好是式 b 位于根处的特征多项式 上式意味着 满足递推差分方程式 2 6扩展Prony方法 令 则该式表明 此过程是一个特殊的ARMA p p 过程 2 6扩展Prony方法 不妨令可得这就将参数估计问题转化为AR模型参数估计问题了 当找到之后 利用特征方程式求出 然后 利用式 b 可构成以下方程 2 6扩展Prony方法 式中 这里 是一维Vandermonde矩阵 2 6扩展Prony方法 使为最小的解为从而 正弦信号的振幅 相位 衰减因子与频率可由以下算法得出 振幅相位衰减因子频率 2 7多重信号分类 MUSIC 法 相关矩阵的特征分解基于信号子空间的频率估计基于噪声子空间的频率估计改进的MUSIC法 2 7 1相关矩阵的特征分解 基本思想 将自相关矩阵中的信息空间分解成两个子空间 即信号子空间和噪声子空间 设式中 2 7 1相关矩阵的特征分解 可得自相关函数 式中 是第i个复正弦的功率 若定义矢量是由复正弦波的N个取样值构成的矢量 则可写为式中称为信号矢量 2 7 1相关矩阵的特征分解 令是由的N个取样数据构成的矢量 即是由白噪声的N个取样值构成的矢量 即由前述式可得的自相关矩阵为 2 7 1相关矩阵的特征分解 若再定义信号自相关矩阵及噪声自相关矩阵如下 则 都是N阶方阵 其秩分别为M和N 而可写为若 显然 是奇异的 但由于的存在而正定 2 7 1相关矩阵的特征分解 现对方阵做特征分解 得 式中 为特征向量所对应的特征值 即并且且特征向量之间是正交的 即 2 7 1相关矩阵的特征分解 由于的秩为M 故其特征值中必有个0 因此 可写成如下形式称为主特征向量 它所张的空间称为信号子空间 其维数为M 而由所张的空间称为噪声子空间 其维数为 显然 这两个子空间互为正交补空间 2 7 1相关矩阵的特征分解 对于单位阵I 也可表示为特征向量的外积 即因此 可表示为 2 7 2基于信号子空间的频率估计 若舍去特征向量 仅保留信号子空间 那么我们将用秩为M的相关阵来近似 这样可大大提高信号的信噪比 基于矩阵 再用前面所介绍的方法来估计的功率谱 将得到好的频率估计和功率谱估计 2 7 3基于噪声子空间的频率估计 对于的非零特征值所对应的特征矢量 有成立 从而可得因为标量 所以有 2 7 3基于噪声子空间的频率估