高考数学第一轮复习椭圆.doc

椭圆知识梳理定义1.到两个定点F1、F2的距离之和等于定长（|F1F2|）的点的轨迹2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e（0，1）的点的轨迹3.参数方程方程1. +=1（ab0），c=，焦点是F1（c，0），F2（c，0）2.+=1（ab0），c=，焦点是F1（0，c），F2（0，c）x=acos，为参数y=bsin性质E：+=1（ab0）1.范围：|x|a，|y|b2.对称性：关于x，y轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A1（a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，b），B2（0，b）4.离心率：e=（0，1）5.准线：l1：x=，l2：x=6.焦半径：P（x，y）Er1=|PF1|=a+ex，r2=|PF2|=aex椭圆定义的应用一定义定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1PxyoRS要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。如图作直线AF1交椭圆于R、S两点，则 -|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前多了个系数2，也只能是2（否则无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。AF2F1PxyoMl椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。如图，PMl于M，则，所以|PM|=|PF2|本题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，则P即为所求作。这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。本文例5的问题具体解答如下：AF2F1PxyoRS(1) 由已知椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点，因为|PA|-|PF1|AF1|=，AF2F1PxyoMl所以8-|PA|+|PF2|8+当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8-当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+(2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8过P作l的垂线交l于M点，则|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).（四）巧用定义求轨迹例6F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）. A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线分析:延长F2P交F1Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线， |F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为. 设P点坐标(x, y), P为F2M中点， ，代入，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, x2+y2=a2, 选A.例7某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O相内切，与A、B相外切.建立如图所示的坐标系，并设P的半径为r,则|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圆柱的直径为 cm.（五）巧用定义求相关量的范围例8椭圆的焦点为。点P为其上的动点，当 为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ （2000年全国高考试题） xyP 分析：方法一，由余弦定理： 由椭圆的定义 得，8， 由椭圆的第二定义得， 方法二先考虑时，=20，又由椭圆定义 点击双基1.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用椭圆的定义易知B正确.答案：B2.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为A. B.3 C. D. 解析：由余弦定理判断P2，即k0，0k0，n0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2=（）2，将m+n=2代入，得mn=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1.8.设x、yR，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8.轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.解法二：由题知，+=8，移项，得=8，两边平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，两边平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展开，整理得+=1.（2）l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.=+=0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此时，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒