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第二章 二阶线性偏微分方程及其分类二阶线性偏微分方程的一般形式：其中是自变量的函数，如果f=0，则方程是线性齐次方程，否则方程是非线性齐次方程。（一）两个自变量方程的分类：一般形式： （1）其中只是x，y的函数。以下讨论时，假定是实数。作变量代换，则在上式代换下方程（1）变为 （2）其中系数： （3）从（3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程 （4）的一个特解作为，则从而A11=0。如果取（4）的另外一个特解作为，则A22=0，这样方程（2）就可以简化。一阶偏微分方程（4）的求解可以转化为常微分方程的求解，将（4）改写成：如果将看作定义隐函数的方程，则从而有： （5）常微分方程（5）叫做二阶线性偏微分方程的特征方程。特征方程的一般积分和叫做特征线。（5）的解为 （6）若，二阶线性偏微分方程为双曲型方程若，二阶线性偏微分方程为抛物型方程若，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程1：双曲型当时，（6）式给出一族实的特征曲线，取，则，这时方程变为若再作则上述方程变为：2：抛物型当，这时（6）式只有一个解它只能给出一个实的特征线，。取与函数无关的作为另一个新的变量，则3：椭圆型当时，（6）式各给出一族复特征线，在该变换下：且方程化为：令则有：例：判断下面偏微分方程的类型并化简解：， 故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程或故有或取新变量，则，代入原方程得：即：例：判定下列二阶方程的类型（1）（2）（3）（二）数学物理方程解的基本性质1方程的解定义：如果有一个函数在某一自变量取值区域中具有所需的各阶连续偏导数，并且代入数学物理方程后使该方程成为恒等式，则称此函数为在该取值区域方程的解。2解的基本性质性质1：设和u2都是线性齐次方程解，则也是线性齐次方程的解。其中 是线性微分算子。性质2：设都是线性齐次方程的解，且级数是收敛的，并且对自变量均可两次通项微分，则u是线性齐次方程的解。这个结论叫解的叠加原理。性质3：设u1是线性齐次方程的解，u2是非线性齐次方程的解，则也是非线性齐次方程的解。3定解问题的适应性在数学上，适应性问题包括：解的存在性，解的唯一性、解的稳定性。解的稳定性是研究定解条件发生微小变化时，解是否也发生微小变化。下面列举不稳定的定解问题，即著名的哈达马问题拉普拉氏方程的初值问题为：初值发生微小变化，定解问题为：解为当n
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