圆压轴八大模型题(3)-双切线组合.doc

圆压轴题八大模型题（三）泸州市七中佳德学校 易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型3 双切线组合径在直角边直径在直角三角形的直角边上.RtPBC中，ABC90，RtPBC的直角边PB上有一点A，以线段AB为直径的O与斜边相切于点D.图(1)图(2)图(3)(6)求证:OCAD（变式）.(7)若AB2,BC,求AD、PD、PA的长.(4)PD2PAPB;(5)PB8，tana，求PA和AD.(1)PB8,BC6,求O的半径r.(2)PD4,PB8,求BC的长.(3)PD4,PA2,求O的半径r.【分析】(1)由PC=,PODPCB得，r=3.(2)设BC=CD=x，在RtPBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在RtPDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由PDAPBD得：PD2=PAPB.(5)由PDAPBD得，PB=8,PD=4,PA=2,AB=6.设AD=x,DB=2x,在RtADB中，x2+(2x)2=62,AD=x= .(6)由DEC=ADB=90得OCAD.(7)由AB=2,则OB=1,又BC=OC=,在RtOBC中，BEOC，得OE=,由中位线定理得：AD=2OE=.DB=,由PDAPBD得：,设PA=x,则PD=x,在RtPDO中，(x)2+1=(x+1)2得x=2,PA=2,PD=2.(8)由ADOC得,设AO=DO=BO=m，则PA=2m，P0=3m，PD=2m，由PDAPBD得,且AD+BD=2+2，图(4)(8) PD:DC2:1,ADBD22,求SABC.AD=2,BD=2,则AB=2=2m,m=,PB=3,PD=2,PC=3,BC=3,SPBC=BCPB=13.5.【典例】（2018四川乐山）如图，P是O外的一点，PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC（1）求证：ACPO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若O的半径为3，CQ2，求的值图3-1【分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所对的圆周角是直角得同位角相等。（2）在RtOQA中，由勾股定理得QA4，在RtPBQ中，由勾股定理得PAPB6，因此FD3，BFAF又由中位线定理FDAP得，FE：EA3：4，因此设AE4t,则EF3t，BF10t，所以AE：BE2：5.（1）证明：PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，PAPB，且PO平分BPA，POABBC是直径，CAB90，ACAB，ACPO；（2）解：连结OA、DF，如图， PA、PB是O的两条切线，A、B是切点，OAQPBQ90在RtOAQ中，OAOC3，OQ5图a由QA2OA2OQ2，得QA4在RtPBQ中，PAPB，QBOQOB8，由QB2PB2PQ2，得82PB2（PB4）2，解得PB6，PAPB6OPAB，BFAFAB又D为PB的中点，DFAP，DFPA3，DFEQEA， ，设AE4t，FE3t，则AFAEFE7t，BEBFFEAFFE7t3t10t， 【点拨】由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形，常涉及用到等腰“三线合一”、“射影定理”、中位线定理、勾股定理，平行线分线段成比例，切割线定理等的综合运用。因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基本图形模型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。【变式运用】1.（2016 青海西宁）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，求BE的长（12分）【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到ADO+1=90，而CDA=CBD，CBD=1，于是CDA+ADO=90；图3-2（2）根据已知条件得到CDACBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BEBC根据勾股定理列方程即可得到结论（1）证明：连结OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB是O的直径，ADB=90，ADO+ODB=90，ADO+CDA=90，即CDO=90，ODCD，OD是O半径，CD是O的切线（2）解：C=C，CDA=CBD图bCDACBD ，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切线BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE= 2.（2018湖北武汉）如图，PA是O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PAPB.(1) 求证：PB是O的切线.(2) 若APC3BPC，求的值.（1）证明： 分别连接OP，OB.图3-3在OAP和OBP中，OAPOBP. OAP=OBP,PA是O的切线，OBP=OAP=90，PB是O的切线.（2）连接BC，设OP交AB于点F，AC是O的直径，ABC=90.PA，PB是O的切线，PO垂直平分AB，PO平分APB，图cBCOP，OPC=PCB，APC=3BPC，OPC=CPB，PCB=CPB，BC=BP.设OF=t,则BC=PB=2t，由PBFPOB，得PB2=PFPO，即（2t）2=PF(PF+t)解得PF=t，（取正值）PFECBE，3.（2017泸州）如图，O与RtABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G（1）求证：DFAO；（2）若AC6，AB10，求CG的长解：（1）证明：连接OD图3-4AB与O相切与点D，又AC与O相切与点， ACAD，OCOD，OACD，