高中数学第1章直线多边形圆1.2.5相交弦定理学案北师大版选修4_.doc

2.5相交弦定理1.掌握相交弦定理及其证明过程.2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.基础初探教材整理相交弦定理图12104(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形表示如图12104，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PAPBPCPD.1.在O中，弦AB和CD相交于点P，PA3 cm，PB5 cm，PC2.5 cm，则弦CD的长为() 【导学号：96990033】A.6 cmB.7.5 cmC.8 cmD.8.5 cm【解析】利用相交弦定理，得PAPBPCPD，即352.5PD，所以PD6 cm.所以PDPCCD8.5 cm.【答案】D2.圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB8，AB把CD分成长为3和4两部分，求AP.【解】设APx，则BP8x，由相交弦定理得x(8x)34，x2或6，即AP2或AP6.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型相交弦定理的简单应用如图12105，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于C，D两点，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.图12105【精彩点拨】由相交弦定理知PCPDAPPB，又P为AB的中点，PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可.【证明】连接OP，P为AB的中点，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEAO.PDPCPAPBAP2，PDPCAEAO.1.相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明.2.由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.再练一题1.如图12106，已知AB是O的直径，OMON，P是O上的点，PM，PN的延长线分别交O于Q，R.求证：PMMQPNNR.图12106【证明】OMON，OAOB，AMBN，BMAN，AMBMANBN，又PMMQAMBM，PNNRANBN，PMMQPNNR.相交弦定量的综合应用如图12107，ABC内接于O，P是ABC的高CE的延长线上一点，PC交O于D，若PA2PDPC，AE2，CE3，cosACB，求BE的长.图12107【精彩点拨】由PA2PDPC知PA是O的切线，ACB等于PAE，则PA可求，在RtAPE中PE可求，由切割线定理求出PD，进而求出DE，再由相交弦定理求BE.【自主解答】由PA2PDPC，知PA是O的切线，PAEACB.PCAB，AEP90.又cosACB，在RtPAE中，cosPAE.AE2，PA6.在RtPAE中，PE4，PCPECE437，PA2PDPC，PD，DEPEPD4.AEBEDECE，BE.1.解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论.2.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论.再练一题2.如图12108所示，已知O1和O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线，交O2于点C，过点B作两圆的割线分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.图12108(1)求证：PAPEPCPD；(2)当AD与O2相切且PA6，PC2，PD12时，求AD的长.【解】(1)证明：连接AB，CE，CA切O1于点A，1D.又1E，DE.又23，APDCPE.，即PAPEPCPD.(2)PA6，PC2，PD12.6PE212，PE4.由相交弦定理，得PEPBPAPC.4PB62，PB3.BDPDPB1239，DEPDPE16.DA切O2于点A，DA2DBDE，即AD2916，AD12.探究共研型相交弦定理、切割线定理、切线长定理的关系探究1相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论.若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想.探究2应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可.如图12109所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦CDAP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2EFEC.图12109(1)求证：PEDF；(2)求证：CEEBEFEP；(3)若CEBE32，DE6，EF4，求PA的长.【精彩点拨】本题考查切割线定理、相交弦定理.以及相似三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用.解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用.【自主解答】(1)证明：DE2EFEC，DECEEFED.DEF是公共角，DEFCED.EDFC.CDAP，CP.PEDF.(2)证明：PEDF，DEFPEA，DEFPEA.DEPEEFEA.即EFEPDEEA.弦AD，BC相交于点E，DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.CEBE32，BE6.CEEBEFEP，964EP.解得：EP.PBEPBE6，PCEPCE9，又AP2BPPC，PA.相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题.因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理.再练一题3.如图12110所示，已知：从圆外一点P，作切线PA.A为切点，从PA的中点B作割线BCD，交圆于C，D，连接PC，PD，分别交圆于E，F.求证：EFPA.图12110【证明】PBA是圆的切线，BCD是圆的割线.BA2BCBD.又B为PA中点，PBBA.即PB2BCBD，.又PBCDBP，BPCBDP，BPCD.又ED，BPCE，EFPA.构建体系1.如图12111所示，O的两条弦AB，CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是()图12111A.PCCAPBBDB.CEAEBEEDC.CECDBEBAD.PBPDPCPA【解析】由切割线定理的推论知PBPDPCPA，故选项D正确.【答案】D2.如图12112，A，B是圆O上的两点，且OAOB，OA2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD_. 【导学号：96990034】图12112【解析】延长CO交圆于点E，依题意得，BC，BCCDCACE，CD13，因此CD.【答案】3.O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE6 cm，BE2 cm，CD7 cm，那么CE_cm.【解析】AB与CD相交于E，AEBECEDE.AE6 cm，BE2 cm，CD7 cm，DECDCE7CE.62CE(7CE)，即CE27CE120，CE3(cm)或CE4(cm).【答