高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1.3课件新人教A版选修2_3.ppt

第3课时排列的综合应用 类型一与数字有关的排列问题 典例1 2017 杭州高二检测 用0 1 2 3 4 5这六个数字 完成下面两个小题 1 若数字不允许重复 可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数 2 若直线方程ax by 0中的a b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字 则直线方程表示的不同直线共有多少条 解题指南 1 依据能被5整除的数 其个位是0或5 分两类 由加法原理得到结论 2 分两类 一类是a b均不为零 第二类a b中有一个为0 则不同的直线仅有两条 根据分类加法计数原理得到结果 解析 1 当末位数字是0时 百位数字有4个选择 共有4 96个 当末位数字是5时 若首位数字是3 共有 24个 当末位数字是5时 若首位数字是1或2或4 共有3 3 54个 故共有96 24 54 174个 2 a b中有一个取0时 有2条 a b都不取0时 有 20 条 但a 1 b 2与a 2 b 4重复 a 2 b 1与a 4 b 2重复 a b都不为0时有20 2 18条 所以共有18 2 20条 延伸探究 1 若本例条件不变 问能组成多少个无重复数字的六位奇数 解析 方法一 直接法 分三步完成 第一步先填个位 有种填法 第二步再填十万位 有种填法 第三步填其他位 有种填法 故共有 288 个 六位奇数 方法二 直接法 0不在两端有种排法 从1 3 5中任选一个排在个位有种排法 其他各位上用剩下的元素做全排列有种排法 故共有 288 个 六位奇数 方法三 排除法 6个数字的全排列有个 0 2 4在个位上的六位数为3个 1 3 5在个位上 0在十万位上的六位数有3个 故满足条件的六位奇数共有 288 个 2 若题 1 条件不变 能组成多少个没有重复数字且比210435大的六位数 解析 首位是3 4 5时满足要求 有3 个 首位是2时 当万位是3 4 5时满足要求 有3 个 当万位是1时 千位是3 4 5时满足要求 有3 个 当首位为2 万位是1 千位是0时 若百位是5 有个 若百位是4 则十位为5只有1个 由分类加法计数原理知 共有比210435大的六位数 453 个 方法总结 数字排列问题的解题策略 1 解题原则 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子不排某些元素 解决该类排列问题的方法主要是按 优先 原则 即优先 排特殊元素或优先满足特殊位子 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时 应分类讨论 2 常用方法 直接法 间接法 3 注意事项 解决数字问题时 应注意题干中的限制条件 恰当地进行分类和分步 尤其注意特殊元素 0 的处理 补偿训练 用0 9这10个数字 按下列不同要求 求可组成的三位数的个数 1 组成没有重复数字的三位奇数 2 组成没有重复数字的三位偶数 3 组成大于300的三位无重复数字的偶数 解析 1 先填个位有5种 再填首位有8种 再填十位有8种 共有5 8 8 320 个 2 直接法 个位为0有 72个 个位不是0 有4 8 8 256 个 共有72 256 328 个 间接法 5 8 8 328 个 3 分两类 第一类首位是3 5 7 9时 可组 160 个 第二类首位是4 6 8时 可组成 96 个 共有大于300的无重复数字的偶数的个数为160 96 256 个 类型二 相邻 与 相间 问题 典例2 三个女生和五个男生排在一排 1 如果女生必须全排在一起 可有多少种不同的排法 2 如果女生必须全分开 可有多少种不同的排法 3 如果两端都不能排女生 可有多少种不同的排法 4 如果两端不能都排女生 可有多少种不同的排法 解题指南 1 把三个女生看成一个元素与其他元素排列 2 把三个女生排在五个男生之间及两边的空位置中 3 两端先排上两个男生 其余人再排列 4 两端都是男生或一端是男生一端是女生 解析 1 捆绑法 因为三个女生必须排在一起 所以可以先把她们看成一个整体 这样同五个男生合在一起共有六个元素 排成一排有种不同的排法 对于其中的每一种排法 三个女生之间又有种不同的排法 因此共有 4320 种 不同的排法 2 插空法 要保证女生全分开 可先把五个男生排好 每两个相邻的男生之间留出一个空位 这样共有四个空位 加上两边男生外侧的两个空位 共有六个空位 再把三个女生插入这六个空位里 只要保证每个位置至多插入一个女生 就能保证任意两个女生都不相邻 由于五个男生排成一排有种不同排法 对于其中任意一种 排法 从上述六个空位中选出三个让三个女生插入都有种排法 因此共有 14400 种 不同的排法 3 方法一 位置分析法 因为两端都不能排女生 所以两端只能挑选五个男生中的两个 有种不同的排法 对于其中的任意一种不同的排法 其余六个位置都有种不同的排法 所以共有 14400 种 不同的排法 方法二 间接法 三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法 但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次 所以还需加回来一次 由于两端都是女生有种不同的排法 所以共有 14400 种 不同的排法 方法三 元素分析法 从中间六个位置挑选三个让三个女生排入 有种不同的排法 对于其中的任意一种排法 其余五个位置又都有种不同的排法 所以共有 14400 种 不同的排法 4 位置分析法 因为只要求两端不能都排女生 所以如果首位排了男生 那么末位就不再受条件限制了 这样可有种不同的排法 如果首位排女生 有种排法 那么末位就只能排男生 这样可有种不同的排法 因此共有 36000 种 不同的排法 方法总结 相邻 与 不相邻 问题解决方法 1 相邻 问题 元素相邻问题 一般用 捆绑法 先把相邻的若干个元素 捆绑 为一个大元素与其余元素全排列 然后再松绑 将这若干个元素内部全排列 2 不相邻 问题 元素不相邻问题 一般用 插空法 先将不相邻元素以外的 普通 元素全排列 然后在 普通 元素之间及两端插入不相邻元素 巩固训练 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 解析 插空法 8名学生的排列方法有种 隔开了9个空位 在9个空位中排列2位老师 方法数为 由分步乘法计数原理 排法总数为 2903040 答案 2903040 补偿训练 求不同的排法种数 1 6男2女排成一排 2女相邻 2 6男2女排成一排 2女不能相邻 3 4男4女排成一排 同性者之间不能存在异性 4 4男4女排成一排 同性者不能相邻 解析 类型三排列的综合应用角度1 元素的 在 与 不在 问题 典例3 3名男生 4名女生站成一排照相 若甲不站中间也不站两端 则有 种不同的站法 解题指南 例题中学生甲是特殊元素 中间和两端是特殊位置 解析 第一步 安排甲 在除中间 两端以外的4个位置上任选一个位置安排 有种排法 第二步 安排其余6名学生 有种排法 由分步乘法计数原理 共有 2880种不同排法 答案 2880 角度2 固定顺序排列问题 典例4 7人站成一排 1 甲 乙 丙三人排列顺序一定时 有 种不同排法 2 甲在乙的左边 有 种不同的排法 解题指南 1 中三人位置确定时 顺序一定 有一种排法 顺序任意 有 6种不同排法 2 中甲在乙的左边 甲与乙可能相邻 也可能不相邻 解析 1 方法一 7人的所有排列方法有种 其中甲 乙 丙的排序有种 又对应甲 乙 丙只有一种排序 所以甲 乙 丙排序一定的排法共有 840种 方法二 插空法 7人站定7个位置 只要把其余4人排好 剩下的3个空位 甲 乙 丙就按他们的顺序去站 只有一种站法 故 7 6 5 4 840种 2 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等 而7人排列数恰好是这二者之和 因此满足条件的有 2520种 答案 1 840 2 2520 方法总结 1 在 与 不在 排列问题解题原则及方法 1 原则 解 在 与 不在 的有限制条件的排列问题时 可以从元素入手也可以从位置入手 原则是谁特殊谁优先 2 方法 从元素入手时 先给特殊元素安排位置 再把其他元素安排在其他位置上 从位置入手时 先安排特殊位置 再安排其他位置 2 固定顺序的排列问题的求解方法这类问题的解法是采用分类法 n个不同元素的全排列有种排法 m个元素的全排列有种排法 因此种排法中 关于m个元素的不同分法有类 而且每一分类的排法数是一样的 当这m个元素顺序确定时 共有种排法 巩固训练 1 某展览会一周 七天 内要接待三所学校学生参观 每天只安排一所学校 其中甲学校要连续参观两天 乙 丙两学校均参观一天且参观安排在甲学校参观之后 则不同的安排方法有 A 40种B 50种C 60种D 120种 解析 选A 先安排甲在第1 2天 则乙 丙两学校有种安排方法 同理安排甲在第2 3天 则乙 丙学校有种安排方法 安排甲在第3 4天 则乙 丙两学校有种安排方法 安排甲在第4 5天 则乙 丙两学校有种安排方法 故共有 40 种 2 2017 郑州高二检测 某校举办优质课比赛 决赛阶段共有6名教师参加 如果甲 乙 丙三人中有一人第一个出场 且最后一个出场的只能是甲或乙 则不同的出场方案共有 种 解析 若第一场比赛从甲或乙开始 则最后一场从甲或乙产生 故 48种 若第一场比赛从丙开始 最后一场从甲或乙产生 故 48种 根据分类加法计数原理 不同的安排方案共有48 48 96种 答案 96 补偿训练 1 从1 2 8中任取3个数组成无重复数字的三位数 共有多少个 2 从8位候选人中任选3位 分别担任团支部书记 组织委员和宣传委员 共有多少种不同的选法 3 3位同学坐8个座位 每个座位坐1人 共有多少种坐法 4 8个人坐3个座位 每个座位坐1人 共有多少种坐法 5 一火车站有8个岔道 停放3列火车 每列火车停在不同的岔道上 有多少种不同的停法 6 8种不同的菜种 任选3种种在不同土质的三块土地上 有多少种不同的种法 解析 1 按顺序 有百位