2012全国高考湖北卷文科数学解析.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷解析）数学（文史类）试卷一、选择题： 1已知集合，则满足条件的集合C的个数为A1 B2 C3 D4 考点分析：本题考察集合间的关系。 难易度： 解析:,则集合C的个数为，故选D2容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组频数234542则样本数据落在区间的频率为A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 考点分析：本题考察频率分布。 难易度： 解析：样本数据落在区间的个数，所以频率， 故选B3函数在区间上的零点的个数为A2 B3 C4 D5 考点分析：本题考察函数与方程，函数的零点 难易度： 解析：，则或， 考虑到，则，所以零点的个数为5，故选D4命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 考点分析：本题考察含有全称量词与存在量词，以及命题的否定。 难易度： 解析：对于命题的否定，既否定条件，也否定结论，故选B5过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A B C D考点分析：本题考察直线与圆的位置关系。难易度：解析：要使两部分的面积之差最大，则应使过该点的弦长最短，即弦垂直于直线，且过点，则，整理得，故选A6已知定义在区间上的函数第6题图O12x的图象如图所示，则的图象为AO12xBO12xCO12xDO12x 考点分析：本题考察函数图象的对称变换。 难易度： 解析：，故选B7定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A B C D 考点分析：本题考察等比数列的判定。 难易度： 解析 ：记等比数列的公比为q 对， 对， 对， 对 ，=，故选c8设的内角，所对的边分别为，. 若三边的长为连续的三个正整数，且，则为A B C D 考点分析：本题考察三角函数的正，余弦定理。 难易度： 解析： ，故排除B。 对A，连续自然数，故a=4,b=3,c=2,显然不成立。 对C，连续自然数，故a=5,b=4,c=3，显然不成立。 故选D。9设，则“”是“”的A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要的条件 考点分析：本题考察柯西不等式，常用逻辑用语。 难易度： 解析：= 由柯西不等式可得： 即：， ， 已知 ，可得 故选A10如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A B第10题图C D考点分析：本题考察几何概型。难易度：解析：利用图形的拆分计算不规则图形的面积。假设弧在单位圆上。半圆内部的阴影面积可以利用圆与三角形面积的做差,半圆外部的阴影面积所以，故选C二、填空题 11一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人考点分析：本题考察分层抽样的方法。难易度：解析：设女运动员有x人，根据分层抽样方法的特点，有，求出.12 若（，为实数，为虚数单位），则 .考点分析：本题考察复数的基本运算。难易度：解析：.13已知向量，则（）与同向的单位向量的坐标表示为 ；（）向量与向量夹角的余弦值为 .考点分析：本题考察向量的的坐标表示和数量积，及夹角公式。难易度：解析：（）由于，于是同方向的单位向量（设为）；（）由于于是由向量的夹角（设为）公式.14 若变量满足约束条件 则目标函数的最小值是 .考点分析：本题考察线性规划问题求最优解.难易度：解析：由约束条件可得可行域，如图所示，阴影部分为可行域，由Z=2x+3y得y=,把直线向上平移，由图像可知，图像经过B（1,0）处时，z=2x+3y取得最小值，即.15 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .第16题图侧视图正视图442俯视图11第15题图考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：解析：由三视图可知，该几何体的形状如图所示，左右面为短型圆柱体，中间为长型圆柱体，则短型圆柱体长型圆柱体所以16阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .考点分析：本题考察程序框图。难易度：解析：最终输出结果为91063117传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：第17题图将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列. 可以推测：（）是数列中的第_项；（）_.（用k表示）考点分析：本题考察数列的通项公式。难易度：解析：通过观察图中的三角形数，可以知道，于是的通项公式；是中能被5整除的项，则可写出的前几项，如下：，通过观察，可以作如下变形：，（）于是，即是数列中的第5030项；（）.三、解答题：18（本小题满分12分）设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数的值域. 考点分析：本题考察三角函数的恒等变换、三角函数的图像与性质。难易程度：解析：（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故，函数的值域为. 19（本小题满分12分）A2B2C2D2CBADA1B1C1D1第19题图某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱. （）证明：直线平面； （）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知，（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ 考点分析：本题考察空间的线面位置关系、空间几何体体积，是与实际问题的结合。难易程度：解析：（）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，所以，. 又因为，所以平面ABCD. 连接BD，因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD是正方形，所以. 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. 又已知平面ABCD平面，且平面平面，平面平面，所以B1 D1BD. 于是由，B1 D1BD，可得，.又因为，所以平面. （）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以.又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以. 于是该实心零部件的表面积为，故所需加工处理费为（元）. 20（本小题满分13分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.考点分析：本题考察等差等比数列的性质及运用、等差等比数列的前n项和运算。难易程度：解析：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或. （）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 21（本小题满分14分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，且它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 考点分析：本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求。难易度：解析：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 22（本小题满分14分）设函数，为正整数，a，b为常数. 曲线在 处的切线方程为.（）求a，b的值；（）求函数的最大值；（）证明：.考点分析：本题主要考察导数的几何意义，利用导数求函数的最值和单